Cách tìm cực trị của hàm số cực hay
Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên Tôi)
1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là -; b là +) và điểm x0(a;b).
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x)< f(x0 ) với mọi x (x0 - h;x0 + h) và xx_0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.
Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x) >f(x0 ) với mọi x (x0 - h;x0 + h) và x x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.
2.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên
K=(x0 - h;x0 + h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x0}, với h >0.
Nếu f'(x)> 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) <0 trên (x0;x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).
Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) >0 trên (x0;x0+ h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
Minh họa bằng bảng biến thiến
Chú ý.
Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCÑ (fCT), còn điểm M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3.Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệuxi (i=1,2,3,...)là các nghiệm của nó.
Bước 3. Tính f''(x) và f''(xi ) .
Bước 4. Dựa vào dấu của f''(xi )suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = 2x3 - 6x + 2.
Hướng dẫn
Tập xác định D = R.
Tính y' = 6x2 - 6. Cho y'= 0 6x2 - 6 = 0 x = ±1.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,y = -2.
Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y = x4 - 2x2 + 2.
Hướng dẫn
Tập xác định D = R.
Tính y' = 4x3 - 4x. Cho y'= 0 4x3 - 4x = 0 .
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 1 và hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2.
Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số y =
Hướng dẫn
Tập xác định D = R\{2}. Tính
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Bài 1. Tìm cực trị của hàm số y = -x3 + 3x2 - 4
Tập xác định D = R.
Tính y'= -3x2 + 6x.
Cho y'= 0-3x2 + 6x = 0
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0,y = -4 và hàm số đạt cực đại tại x = 2,y = 0.
Bài 2. Tìm cực trị của hàm số y = -x3 + 3x3 - 3x + 2
Tập xác định D = R.
Tính y' = -3x2 + 6x-3.
Cho y'= 0 -3x2+ 6x-3 = 0 x = 1.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Bài 3. Gọi A,B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x3 - 3x2 - 12x + 1. Tìm tọa độ A,B và phương trình đường thẳng qua hai điểm đó.
Tập xác định D = R.
Tính y' = 6x2 - 6x - 12.
Cho y'= 0
Bảng biến thiên
Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là A(-1;8), B(2;-19).
Vậy phương trình đường thẳng AB là 9x + y + 1 = 0.
Bài 4. Cho hàm số y = x3 - 3x2 có đồ thị (C). Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị (C)và khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó.
Tập xác định D = R.
Tính y'= 3x2-6x.
Cho y'= 0
Bảng biến thiên
Vậy tọa độ hai điểm cực trị là A(-1;8),B(2;-19). Khi đó AB =
Bài 5. Tìm cực trị của hàm số y = x4/4 - x2 + 2
Tập xác định D = R.
Tính y'= 2x3-2x.
Cho y'= 0 4x3 - 4x = 0
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 3/2 và hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2.
Bài 6. Tìm cực trị của hàm số y = -x4 + 4x2 - 5
Tập xác định D = R.
Tính y'= -4x3 + 8x.
Cho y'= 0 -4x3 + 8x = 0
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y = -5 và hàm số đạt cực đại tại x = ±2, y = -1.
Bài 7. Tìm cực trị của hàm số y =
Tập xác định D = R\{-1}.
Tính y' =
Cho y' = 0 x2 + 2x - 3 = 0 
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -3, y = -7 và đạt cực tiểu tại x = 1, y = 1.
Bài 8. Tìm cực trị của hàm số y = x - 5 + 1/x
Tập xác định D = R\{0}.
Tính 
Cho y' = 0x2 - 1 = 0 
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1, y = -7 và đạt cực tiểu tại x = 1, y = -3.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi