Mục lục
§
§
§
§
§
§
§
§
1
2
3
4
5
6
7
8
Giới thiệu tổng quát về chức năng Casio fx 570MS và Casio fx 570ES
Đại số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Số học phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hình học trung học cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cấp số, dãy số và giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Toán phần trăm, toán kỹ thuật, tính thời gian . . . . . . . . . . . . . . . .
Một số dạng toán đại học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Giới thiệu các đề thi máy tính cầm tay THCS cấp khu vực và toàn quốc
2
8
17
32
39
44
50
53
Tài liệu tham khảo
54
Các phụ lục
55
? A Mẫu phiếu điền kết quả dành cho thi kết thúc môn học . . . . . . . . . . . . . . .
? B Trích Tập san Toán học: Giải toán trên máy tính bỏ túi, bạn cần gì? . . . . . . .
? C Trích Tập san Toán học: Xấp xỉ nghiệm của bài toán Cauchy bằng MT Casio
fx570MS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
? D Giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 1, 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
? E Dùng máy tính cầm tay (Casio fx500,570(MS,ES)) hỗ trợ xử lý số liệu thống kê .
? F Cách đổi năm dương lịch ra năm âm lịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
56
63
67
70
76
ab
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bc
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
fggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh
Học viên chuẩn bị ít nhất một trong các loại máy sau để tham gia học tập: Casio fx
570MS, Casio fx 570ES, Casio fx 570ES PLUS, Casio fx 991ES (2 kiểu năng
lượng), Casio fx 991ES PLUS, VinaCal 570MS, VinalCal 570ES, VinalCal
570ES PLUS, VietNamCalculator Vn-570RS.
Môn học thiên về giải Toán bằng giải thuật lập trình nên các dòng máy Casio fx
500MS, VinaCal 500MS, Casio fx 500ES xem như không dùng được cho môn học
này. Các mục ghi "tham khảo thêm" sẽ không được hướng dẫn trên lớp, học viên tự
nghiên cứu thêm (không thi).
Mong góp ý của các bạn sinh viên, học viên để quyển bản thảo này hoàn chỉnh hơn
cho các khóa dạy sau. Thông tin liên lạc với GV: 0985 572 881; ;
1
§1
Giới thiệu tổng quát về chức năng Casio fx 570MS
và Casio fx 570ES
1.1. Chương trình giả lập máy tính cầm tay trên vi tính
Học viên có thể download các chương trình giả lập máy tính cầm tay trên vi tính tại trang
www.bitex.edu.vn.
> Giả lập Casio fx 570MS:
Ngoài chức năng tương tự như một máy tính Casio fx 570MS, chương trình này cho phép
gọi ra dãy phím vừa bấm trên máy (với thời gian cụ thể kèm theo) bằng chức năng "View
log". Thuận lợi của chức năng này là người báo cáo thuyết trình về máy tính cầm tay có
thể cho hiện lại thao tác ấn phím một cách nhanh chóng để người nghe thực hiện theo;
hơn nữa giáo viên có thể copy các phím này vào bài soạn máy tính cầm tay của mình.
Bạn có thể liên hệ với tác giả của chương trình giả lập Casio fx 570MS qua địa chỉ
"" để được khắc phục sự cố chương trình (nếu có)
và cập nhật miễn phí chương trình này.
Chú ý : Nhấp chuột phải vào chương trình giả lập này để tùy chọn hoặc thoát (exit).
2
> Giả lập VinaCal-570MS:
So với Casio fx 570MS thì dòng máy VinaCal 570MS có thêm chức năng giải hệ phương
trình tuyến tính bậc nhất 4 ẩn; tính toán với ma trận cỡ tối đa 4 × 4.
Chú ý : Nhấp chuột phải vào chương trình giả lập này để tùy chọn hoặc thoát (exit).
1.2. Máy Casio fx 570MS
> Các chức năng Mode:
MODE 1: COMP (COMPUTING) Tính toán thông thường.
MODE 2: CMPLX (COMPLEX) Tính toán với số phức.
MODE2 1: SD (STANDAR DEVIATION) Toán thống kê.
MODE2 2: REG (REGRESSIVE) Toán hồi quy, tương quan.
Một số chức năng cài đặt trong MODE REG như sau:
1 LIN (LINEAR): Hồi quy tuyến tính.
2 LOG (LOGARIT): Hồi quy logarit.
3 EXP (EXPONENTIAL): Hồi quy mũ
MODE2 3: BASE Toán trên các hệ đếm 2-8-10-16.
MODE3 1: EQN (EQUATION) Giải phương trình, hệ phương trình.
Một số chức năng cài đặt trong MODE EQN như sau:
2 UNKNOWNS, 3 UNKNOWNS: Hệ phương trình tuyến tính 2, 3 ẩn (unknown).
2 DEGREE, 3 DEGREE: Phương trình bậc (degree) 2, bậc 3.
3
MODE3 2: MAT (MATRIX) Toán ma trận.
MODE3 3: VCT (VECTOR) Toán véctơ.
MODE4 1: DEG (DEGREE) Cài đặt chế độ "độ" cho phép tính lượng giác.
MODE4 2: RAD (RADIAN) Cài đặt chế độ "radian" cho phép tính lượng giác.
MODE4 3: GRA (GRADE) Cài đặt chế độ "grát" cho phép tính lượng giác (1gra =
0, 90 ).
MODE5 1: FIX (FIXED NUMERIC FORMAT) Cài đặt làm tròn kết quả hiển thị từ 0
đến 9 chữ số thập phân sau dấu phẩy.
MODE5 2: SCI (SCIENTIFIC NUMBER) Cài đặt hiển thị dạng số kỹ thuật a.103k .
MODE5 3: NORM (NORMAL).
MODE6 1: DISP (DISPLAY).
Một số chức năng cài đặt trong MODE DISP như sau:
1: ENG ON, 2: ENG OFF Bật, tắt chế độ hiển thị số kỹ thuật.
I 1: ab/c, 2: d/c Quy định một phân số
m
n
(có m > n) luôn hiển thị dạng hổn số
hoặc không.
I I 1: DOT, 2: COMMA Quy định hiển thị dấu phân cách các chữ số (bộ ba
số: nghìn, triệu, tỷ,...) và dấu phân cách thập phân là dấu phẩy (comma) hay dấu
chấm (dot).
> Biến nhớ và cách sử dụng:
Các biến gồm: A, B, C, D, E, F, X, Y, M, Ans, trong đó Ans là biến nhận giá trị hiện hành
trên máy.
Lưu giá trị vào biến:
Lưu 10 vào biến A, thao tác 10 Shift
Sto A, sau này ta viết tắc là 10 A.
Lưu 20+100 vào biến D, thao tác 20+ 100 Shift
Sto D, viết tắc là 20 + 100 D.
Riêng biến M sẽ thay đổi giá trị khi ấn phím M+ hoặc MVí dụ: 5 M , sau đó ấn 7 M+, khi đó biến M sẽ nhận giá trị 12.
Gọi giá trị biến ra:
= , kết quả: 10 (vì đã lưu 10 A ở trên).
Ấn Alpha A + Alpha D = , kết quả: 130.
Ấn Alpha A
Đối với biến Ans: Máy tự động lưu lại giá trị hiện hành vào Ans.
Ấn 2+8
= , ấn tiếp Ans +5 = , kết quả: 15.
> Một số phím chức năng thường dùng:
AC (CANCEL): Hủy lệnh (công thức) vừa nhập.
DEL (DELETE), INS (INSERT): Xóa, chèn ký tự.
SHIFT: Gọi chức năng các phím màu vàng.
ALPHA (ALPHABET): Gọi chức năng các phím màu đỏ.
CLR (CLEAR): Xóa cài đặt các Mode để trở về trạng thái mặc định ban đầu của máy.
4
CALC (CALCULATE): Tính giá trị biểu thức chứa biến (một hoặc nhiều biến).
SOLVE: Giải gần đúng phương trình dạng tổng quát f (x) = 0.
Dấu
"=" màu đỏ, dấu ":" màu đỏ: Dùng vào lập trình.
Chú ý : Trong giải thuật lập trình sau này quy ước nếu viết = thì hiểu dấu bằng màu đỏ
lập trình, nếu viết
= thì hiểu dấu bằng màu trắng.
CONV (CONVERT) Đổi các đơn vị vật lý (Y ard m, mile km,hp KW ...) Xem
thông số chuyển đổi ở nắp máy.
CONST (CONSTANT) Hằng số vật lý quốc tế (Xem ở nắp máy).
ab/c, d/c: Chuyển đổi qua lại giữa dạng số thập phân và phân số.
LOGIC Thực hiện phép toán lôgic và các hệ đếm.
DEC (DECIMAL) Hệ thập phân, HEX (HEXADECIMAL) Hệ thập lục phân, BIN
(BINARY) Hệ nhị phân, OCT (OCTAL) Hệ bát phân.
ex ex
ex + ex
Hyp (Hyperpolic): sinh x =
, cosh x =
ở Mode COMP.
2
2
sin1 : arcsin Hàm ngược của hàm sin (VD: sin π4 = 22 arcsin( 22 ) = π4 )
ENG (ENGINE) Hiển thị kiểu số kỹ thuật a.10x .
i màu xanh (Imaginary): Đơn vị ảo i của số phức.
Arg (Argument) Argument ϕ của số phức z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Abs (Absolute) Trị tuyệt đối, môđun số phức.
Conj (Conjugate) Số phức liên hợp.
Pol( (Polarity) Chuyển đổi dạng cực của số phức.
Rec( (Rectangle) Chuyển đổi dạng đại số của số phức z = a + bi.
ReIm (Real, Image): Gọi ra phần thực, phần ảo.
EXP (EXPONENTIAL): 10x , ví dụ để nhập 90000, ấn 9 EXP 4.
Rnd (Round): Làm tròn số trong tính toán.
Ran # (Random): Gọi ra một số ngẫu nhiên từ máy.
DRG (Degree, Radian, Grade): Tính toán một biểu thức có nhiều chế độ tính, ví dụ
π
tính giá trị biểu thức A = sin 300 + cos( ) tan 26g
7r
MAT (Matrix ): Tính toán với ma trận (Dim (chiều, cỡ), Edit (sửa), Det (định thức),
Trn (vết),...)
VCT (Vector): Tính toán với vectơ (Dim (chiều), Edit (sửa), Dot (tích vô hướng),...)
DT (DATA): Nhập số liệu (toán thống kê hoặc toán hồi quy).
S-Sum (Sumary), S-Var (Variance): Gọi kết quả thống kê.
DISTR (Distribute) Tính giá trị hàm phân phối chuẩn tắc Φ(x).
n!
nPr: Chỉnh hợp Arn =
.
(n r)!
n!
nCr: Tổ hợp Cnr =
.
r!(n r)!
5
Các ký hiệu màu vàng: k (kilo) 103 , M (mega) 106 , G (giga) 1)9 , T (tera) 1012 , m (mili)
103 , µ (micro) 106 , p (pico) 1012 , n (nano) 109 , f (femto) 1015 .
1.3. Máy Casio fx 570ES (= 991ES (máy 2 năng lượng))
> Các Mode và phím chức năng:
Ở đây chỉ nêu một số chức năng MODE khác so với máy 570MS.
Các chế độ MODE:
MODE STAT (STATISTICS): Toán thống kê.
MODE TABLE: Liệt kê bảng giá trị của hàm số f (x) với các thông tin nhập vào như:
Giá trị biến khởi đầu (Start); giá trị biến kết thúc (End) và bước nhảy (Step). Chức
năng quan trọng nhất của TABLE trong giải toán là ứng dụng vào việc dò tìm khoảng
phân ly nghiệm của phương trình, dò tìm cực trị của hàm số.
Các Phím chức năng:
SETUP: Cài đặt các hiển thị.
Bấm Shift SETUP để chọn các chức năng cài đặt theo ý riêng như sau:
1: MthIO Chọn hiển thị phân số dạng sách giáo khoa (dạng ab ).
2: LineIO Chọn hiển thị phân số trên 1 dòng (dạng ayb).
38: Deg, Rad, Gra, Fix, Sci, Norm Chức năng tương tự máy 570MS.
Ấn tiếp dấu mũi tên H, chọn các chức năng sau:
1, 2: ab/c, d/c Hiển thị phân số dạng
a
b
hay hổn số a cb khi tử số lớn hơn mẫu số.
3: CMPLX Hiển thị một số phức ở dạng đại số hay dạng lượng giác.
4: STAT Bật hay tắt cột tần số trên màn hình nhập dữ liệu thống kê, hồi quy.
5: Disp Cài đặt hiển thị dấu phẩy của số thập phân là dấu "," hay "."
6: CONST (Contrast) Tăng I, giảm J độ tương phản trên màn hình máy tính.
SD: Chuyển đổi qua lại giữa dạng số thập phân và phân số.
Các chức năng còn lại có ký hiệu tương tự như trên máy 570MS.
Chú ý: Đối với máy 570ES, khi dùng phím Solve để giải ẩn thì ẩn cần phải được dùng
là X hoặc Y.
> Biến nhớ và cách sử dụng: Hoàn toàn tương tự máy 570MS.
> So sánh một số điểm yếu và điểm mạnh cơ bản trong giải toán của hai dòng
máy 570MS và 570ES :
Viết tắt MS thay cho dòng máy Casio fx 570MS, VinalCal 570MS; ES thay cho dòng
máy Casio fx 570 ES.
+ MS bấm lập trình nhanh hơn ES (ES phải ấn thêm Calc).
+ MS có chức năng Copy dùng kết nối biểu thức (ES không có chức năng này).
+ MS nhập thống kê được nhiều bộ giá trị (xi ; ni ) hơn ES.
+ MS cho phép giải ẩn là các biến tùy ý trong biểu thức, đối với máy ES thì ẩn phải
được dùng là biến X hoặc Y.
6
+ Ở Mode BASE, MS có chức năng viết ra các chữ số sau dấu phẩy của phép chia
a
b
một cách nhanh chóng, máy ES không có chức năng này.
+ ES có thêm chức năng Table có thể áp dụng tìm khoảng phân ly nghiệm hoặc tìm cực
trị.
+ ES được thiết kế tính toán thuận tiện hơn MS, trong khi MS phải thao tác đúng theo
cú pháp (VD tính tích phân, ma trận, véctơ).
+ ES cho kết quả nhiều chữ số hơn MS.
+ ES hiển thị được phân số dạng
a
b
đối với số lớn hơn mà trên máy MS không hiển thị
được.
+ ES có phím
P
thuận lợi hơn MS đối với việc tính tổng có biến chỉ số chạy.
...
ab
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bc
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
dfgggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggghe
Chiếc máy tính bỏ túi EL-801 (ELSI MINI) do hãng Sharp của Nhật Bản chế tạo
năm 1972. Sharp được coi là khai sinh ra loại máy tính bỏ túi (calculator).
Nguồn: vintagecalculators.com.
7
§2
Đại số sơ cấp
2.1. Tính giá trị biểu thức không chứa biến và chứa biến
> Giải theo nhiều cách: Dùng các biến A, B, C, ..., Ans, dùng phím Calc , dùng Table.
Chú ý: Thiết lập chế độ tính toán phù hợp (rad, độ, grad) đối với bài toán lượng giác.
Bài tập
5
3
tan sinh( 2) log
5
3
1B Cho biểu biểu thức A =
, trong đó sinh x, cosh x lần lượt là
cot cosh( 2)
sinhyperpolic và coshyperpolic của x.
a) Tính A ở chế độ radian.
b) Tính A ở chế độ độ.
ĐS:
3a2 b
2B Tính giá trị biểu thức I =
a) a = π + 1, b = e, c = 5 2;
2
2
2ac3 + 5bc 3
tại
6ab2 + ac
b) a = sin π5 , b = log e, c = C74 .
ĐS:
sin x cos x2
tại x = 10, x = 1, 572, x = π 2 .
ex
2 sin2 x + (3 + 3) sin x cos x + ( 3 1) cos2 x
b) Tính gần đúng giá trị của hàm số f (x) =
5 tan x 2 cot x + sin2 x2 + cos 2x
π
3π
tại x = 2;
; 1, 25;
.
6
5
Chế độ tính đối với câu a) và b) là radian.
3B a) Tính giá trị hàm số f (x) =
ĐS:
1 + cos α
.
1 sin α
b) Biết cos 2x = 53 , tính J = sin3 x + cos3 x.
4B a) Cho biết tan α2 =
7, tính I =
ĐS:
4x3 x4
, tính các giá trị của y khi x nhận giá trị từ 2 đến 5
5ex2
với bước nhảy 0,5. Nêu ít nhất 3 quy trình bấm phím.
5B Cho hàm số y = f (x) =
ĐS:
sin x + 1
, hãy tính tổng sau ở chế độ radian và đặt ra một số bài
x2
toán mở rộng khác (nếu có thể)?
6B * Cho hàm số f (x) =
a) A = f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (40).
π
π
π
π
b) B = f ( ) + f ( ) + f ( ) + ... + f ( ).
1
2
3
20
c) C = f (1) f (2) + f (3) f (4) + ... f (40).
π
1
π
1
π
π
1
d) D = f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + ... + f ( ) + f ( ).
1
3
4
5
19
20
P2
HD: Dùng phím
(máy ES), lập trình (máy ES và MS).
ĐS:
8
7B * Cũng với câu hỏi như bài tập trên nhưng thay f (x) bởi g(x) = ln | sin x + π 2 | .
HD: Phím giá trị tuyệt đối trên máy ở chế độ Mode COMP là gì?
ĐS:
8B * Cho hàm số f (x) =
S1 =
2009
X
i=1
4x
, tính
4x + 2
i
f(
);
2010
HD: Không thể dùng phím
S2 =
2009
X
f sin(
i=1
P
iπ
)
2010
(sẽ bị "treo máy"). Chứng minh được: x + y = 1
f (x) + f (y) = 1, tách tổng thành nhiều cặp (x, y) có tổng 1.
ĐS:
2.2. Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0
> Dùng phím Solve (chỉ dùng cho 570MS, 570ES).
> Phương pháp lặp đơn (có thể áp dụng chung cho 500MS, 500ES).
> Phương pháp Newton (pp tiếp tuyến) (có thể áp dụng chung cho 500MS, 500ES).
Chú ý: Phím Solve được xây dựng trên cơ sở phương pháp Newton. Không phải mọi
phương trình đều có thể giải được bằng cách dùng phím Solve .
Bài tập
1B Tìm nghiệm của phương trình:
2x 3 = x 3.
ĐS:
2B Tìm nghiệm của phương trình: 32x+5 = 3x+2 + 2.
ĐS:
3B Tìm nghiệm của phương trình sau ở radian: 3 cos 3x 4x + 2 = 0.
ĐS:
4B Tìm nghiệm của phương trình: (3x 4) ln(5x + 2) + 3x2 7 = 0.
ĐS:
5B Chứng tỏ rằng phương trình 2x = 3 sin x + 4x có hai nghiệm trong khoảng (0, 4). Tính
gần đúng hai nghiệm của phương trình đã cho.
ĐS: f (0) = 1 > 0; f (1) 4.524412954 < 0; f (4) 2.270407486 > 0
x1 0.15989212; x2 3.728150048.
1 6
3 7
15 11
2+ 3
x
x
=
6B Tìm nghiệm của phương trình:
3 5
3+ 2
4 3
2 35
ĐS:
7B Tìm một nghiệm gần đúng (ở radian) của phương trình : sin(3x + 5x ) = 7x (log3 x + 1).
ĐS:
8B Tìm nghiệm thực của phương trình
1
1
1
4448
+
+
=
.
x+1 x+2 x+3
6435
ĐS:
9
9B Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình sau với sai số bé hơn 109 (ở chế độ radian)
p
p
p
x
sin( 2009 x) + sin( 2007 (x + 2)) + sin( 2005 (x + 4)) + sin( 2003 (x + 6)) = 0.
2
ĐS:
10B Tìm một nghiệm gần đúng (ở radian) của phương trình: ln(3x + 5x ) = x sin(x2 ) + 1.
ĐS:
Zx
11B Tìm x > 1 sao cho:
2
et dt + x2 x 4 = 0.
1
HD: Dùng phương pháp lặp đơn (rút x2 sẽ hội tụ nhanh).
ĐS: 2,527537423.
12B Tìm x Z+ , biết
a) 1 + 2 + 3 3 + 4 4 + ... + x x 142, 717.
b) 1 × 2 × 3 3 × 4 4 × ... × x x 357, 2708.
1 1
1
c) 1 + + + ... + 5.
2 3
x
1
1
1
5.
d) 1 + + + ... +
2! 3!
x!
HD: Lập trình, cho biến X chạy từ 1, quan sát giá trị của biến tổng để kết luận.
ĐS:
2.3. Phương trình nghiệm nguyên hai biến x, y
Một số phương pháp cơ bản tìm nghiệm nguyên của phương trình f (x, y) = 0(1) trên máy
tính cầm tay.
> Dạng đặc biệt ax + by = c :
+ Điều kiện có nghiệm nguyên: (a, b) là ước của c. Nếu phương trình có 1 cặp nghiệm
nguyên (x0 ; y0 ) thì sẽ có vô số nghiệm nguyên.
+ Công thức nghiệm nguyên: x = x0 + db t;
y = y0 ad t,
t Z, d = (a, b).
> Dạng tổng quát (1) nhưng có thể rút được 1 biến biểu thị qua biến còn lại: Giả sử rút x
được x = g(y), lập trình, cho x chạy, tìm y nguyên (kết hợp điều kiện từ đề bài để dừng).
> Dạng tổng quát (1) nhưng có thể đưa về phương trình bậc hai theo 1 biến: Giả sử
A(x)y 2 + B(x)y + C(x) = 0, giải tìm y theo công thức nghiệm được y1 , y2 , sau đó lập
trình cho x chạy tìm y nguyên (kết hợp điều kiện > 0).
> Một số dạng giải nhờ suy luận, kết hợp suy luận và lập trình.
Bài tập
x
1B Giải phương trình nghiệm nguyên 3 x < 20 thỏa A62x C15
x! 57!9005 = 0
ĐS:
10
2B Cho đường thẳng (d) :
2x + 3y = 7. Hãy tìm tất các các cặp (x, y) thuộc (d) thỏa:
a) x, y đều nguyên dương.
b) x, y đều nguyên âm.
c) x, y tùy ý.
ĐS:
3B Tìm cặp số nguyên dương (x, y) với x nhỏ nhất thỏa
3
156x2 + 807 + (12x)2 = 20y 2 +
52x + 59.
ĐS: x = 11, y = 29.
4B Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa phương trình
a) x2 + y 2 = 2008.
b) x2 y 2 = 2008.
HD: b) Hằng đẳng thức x2 y 2 = (x + y)(x y).
ĐS: b) (503;501), (503;-501), (-503;501), (-503;-501), (253;249), (253;-249), (-253;249),
(-253;-249).
5B Cho phương trình x3 y 2 = xy
(*), hãy:
a) Tìm cặp số tự nhiên (x, y) với x bé nhất có 3 chữ số và thỏa mãn (*).
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) với x bé hơn 100 và thỏa mãn (*).
HD: Đưa về phương trình bậc hai theo y, x chạy từ 100.
ĐS: a) (110, 1100);
b)
6B Tìm cặp số tự nhiên (x; y) biết x, y có hai chữ số và thỏa mãn phương trình x4 y 3 = xy 2 .
HD: Ta có: x4 y 3 = xy 2 x4 = y 3 + xy 2 . Vì x và y chỉ có 2 chữ số, nên vế phải tối
4
đa là 2.993 , nên x tối đa là 2.993 < 38 suy ra 10 < x < 38.
Dùng chức năng giải phương trình bậc ba để giải phương trình bậc ba, biến y:
y 3 + by 2 b4 = 0,
(thử lần lượt các giá trị của b tìm y nguyên, với b = 10, 11, ...., 38).
Hoặc nhập vào phương trình X 3 + BX B 4 = 0, dùng chức năng Solve, lần lượt gán
B từ 10 cho đến 38, gán giá trị đầu X = 0.
ĐS: (12; 24)
2.4. Giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình (tham khảo thêm)
1B Để đắp 1 con đê, địa phương đã huy động 4 nhóm người gồm học sinh, công nhân, nông
dân và bộ đội. Thời gian làm việc như sau (giả sử thời gian làm việc của mỗi người
trong một nhóm là như nhau): Nhóm bộ đội mỗi người làm việc 7 giờ; nhóm công nhân
mỗi người làm việc 4 giờ; nhóm nông dân mỗi người làm việc 6 giờ; nhóm học sinh nỗi
em làm việc 0,5 giờ.
11
Địa phương cũng đã chi tiền như nhau cho từng người trong một nhóm theo cách: Nhóm
bộ đội mỗi người nhận 50.000 đồng; nhóm công nhân mỗi người nhận 30.000 đồng; nhóm
nông dân mỗi người nhận 70.000 đồng, nhóm học sinh mỗi em nhận 2.000 đồng.
Cho biết: Tổng số người của 4 nhóm là 100; Tổng thời gian làm việc của 4 nhóm là 488;
Tổng số tiền của bốn nhóm nhận là 5.360.000 đồng.
Hãy tìm số người trong từng nhóm?
ĐS:
2B Theo di chúc, bốn người con được hưởng số tiền 9902490255 đồng chia theo tỷ lệ giữa
người thứ nhất và người thứ hai là 2:3; người thứ hai và người thứ ba là 4:5; người thứ
ba và người thứ tư là 6:7. Tính số tiền nhận được của mỗi người con?
ĐS:
3B Tìm bán kính của hình cầu nội tiếp trong một hình lập phương, biết rằng tổng của thể
tích, diện tích toàn phần và độ dài tất cả các cạnh của hình lập phương có giá trị gấp
3 lần giá trị của thể tích của hình cầu này.
ĐS: 17,79151445.
4B Một người nông dân có một cánh đồng cỏ hình tròn bán kính R = 100m, đầy cỏ, không
có khoảnh nào trống. Ông ta buộc con bò vào một cây cọc trên mép cánh đồng. Hãy
tính chiều dài đoạn day buộc sao cho con bò chỉ ăn được một nửa cánh đồng.
ĐS: 115,8728473 m.
5B Cho x1000 + y 1000 = 6, 912; x2000 + y 2000 = 33, 76244. Tính x3000 + y 3000 .
ĐS:
6B Cho hai đường thẳng (d1 ), (d2 ), biết (d1 ) đi qua A(2;-3) và B(7;7), (d1 ) có hệ số góc là
-2 và đi qua C(-1;2). Gọi I là giao điểm của (d1 ) và (d2 ), tính dộ dài AI.
ĐS:
2.5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 1 biến (tham khảo thêm)
> Một số phương pháp thường dùng: Tam thức bậc hai; Đặt ẩn phụ; Dùng chức năng Table
(máy 570ES); Đạo hàm; Bất đẳng thức.
Bài tập
3,
1
2
5
1B Cho hàm số y = 1, 32x2 +
x 7, 8 + 3 2
6, 4 7, 2
a) Tính y khi x = 2 + 3 5;
b) Tính ymax .
ĐS:
2B Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) = cos3 x 6cos2 x + 9 cos x + 5.
ĐS:
3B Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) = 3x + 5 cos 5x trên đoạn
[0; π].
ĐS: max f (x) = 12, 5759;
min f (x) = 3, 1511.
12
4B Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) = 2 sin x 2 cos x
5 sin x cos x.
ĐS: max f (x) = 3, 9465;
min f (x) = 2, 0125.
1
5B Tính gần đúng cực đại và cực tiểu của hàm số f (x) = x4 + x3 3x2 12x + 3.
4
ĐS:
esin x + x2 cos x + 1
trên
6B Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) =
x2 + 1
đoạn [0; 1].
7B Cho x, y nguyên dương thỏa x3 + y 3 = 2009 , tìm giá trị lớn nhất của sin(xy) (chế dộ
rad). Hãy tổng quát bài toán?
ĐS:
2.6. Đa thức, sơ đồ Hoocne
> Tính giá trị đa thức dạng đặc biệt.
> Tìm đa thức dư trong phép chia hai đa thức.
> Thao tác ấn phím nhanh đối với sơ đồ Hoocne tìm đa thức thương và dư.
> Tìm đa thức thỏa điều kiện ban đầu.
Bài tập
1B Tính giá trị của đa thức
P (x) = 1 + x + x2 + x3 + ... + x2009 và Q(x) = x11 + x12 + x13 + ... + x2010
tại x = 0, 570038.
ĐS:
2B Tìm dư trong phép chia P (x) = x7 2x5 3x4 + x 1 cho (x + 5).
ĐS:
3B Tìm dư khi chia đa thức P (x) = 3x40 +x11 2x8 1 cho đa thức Q(x) = 10x2 21x+11.
ĐS:
4B Tìm dư khi chia đa thức P (x) = 3x2009 +x2001 2x1995 +1990 cho đa thức Q(x) = x3 x.
ĐS:
5B Khai triển biểu thức P (x) = (20x2013 3x92 + 26)3 ta được đa thức a0 + a1 x + ... +
a6039 x6039 . Hãy tính:
a)
S1 = a0 + a1 + a2 + ... + a6038 + a6039 ;
b)
S2 = a0 + a2 + a4 + ... + a6036 + a6038 ;
c)
S3 = a1 + a3 + a5 + ... + a6037 + a6039 .
HD: a) P(?);
b), c) P(?)+/- P(?) KQ.
ĐS:
13
6B Khai triển biểu thức P (x) = (1 + 2x + 3x2 )15 ta được đa thức a0 + a1 x + ... + a30 x30 .
Tính giá trị biểu thức A = a0 2a1 + 4a2 8a3 + ... 536870912a29 + 1073741824a30 .
HD: A = P (?)
ĐS:
7B Khai triển A = (1 + x 7)2 (1 + ax)8 dưới dạng 1 + 10x + bx2 + ... Hãy tìm các hệ số a, b.
2 7 + C 1 a = 10
8
HD: A = (1 + 2 7x + 7x2 )(1 + C81 ax + C82 a2 x2 + ...)
C 2 a2 + 27C 1 a + 7 = b
8
8
ĐS:
8B Cho đa thức bậc ba, biết f (0) = 10, f (1) = 12, f (2) = 4, f (3) = 1. Tìm f (10)?
ĐS:
9B Cho f (x) là đa thức bậc 3, biết rằng khi chia f (x) cho (x 1), (x 2), (x 3) đều được
dư 6 và f (1) = 18. Tính f (2009)?
ĐS:
10B Tìm m, n để 2 đa thức sau có chung nghiệm x =
1
2
với P (x) = 3x2 4x+5m+n;
Q(x) =
x3 + 3mx2 + 7 + n.
ĐS:
11B Tìm a, b, c để đa thức P (x) =
2), (x 7), (x + 1).
1 4
x + ax3 + 2bx2 5x + c chia hết cho đa thức (3x +
2
ĐS:
12B Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P (x) = ax3 + bx2 + cx 2007 để sao cho P (x) chia
cho (x 16) có số dư là 29938 và chia cho (x2 10x + 21) có đa thức dư là
10873
x 3750.
16
ĐS:
13B Tìm thương và dư trong phép chia P (x) = x7 2x5 3x4 + x 1 cho (x + 5) bằng sơ
đồ Hoocne, viết thuật toán.
ĐS:
14B Chia x8 cho (x + 0, 5) được thương q1 (x) dư r1 , chia q1 (x) cho (x + 0, 3) được thương là
q2 (x) và dư r2 . Tìm r2 bằng cách dùng sơ đồ Hoocne.
ĐS:
15B Tìm thưong và dư khi chia P (x) = 2x6 + 30x5 x2 + 90x + 2008 cho (x + 5)(x 3) bằng
sơ đồ Hoocne.
HD: Dùng sơ đồ Hoocne 2 lần liên tiếp tương tự như câu trên, dư cần tìm của bài toán
là r2 (x + 5) + r1 , thương là q2 (x).
ĐS:
1 9
1
13
82
32
x x7 + x5 x3 + x.
630
21
30
63
35
a) Tính P (x) khi x = 4, 3, 2, ..., 3, 4.
16B Cho đa thức P (x) =
b) Chứng minh rằng P (x) Z x Z.
14
HD: 630=2.5.7.9.
ĐS:
17B Cho đa thức bậc 5, P (x) = x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx+e. Biết P (1) = 3, P (2) = 9, P (3) =
19, P (4) = 33, P (5) = 51. Tính P (6), P (7) và P (29).
HD:
Cách 1: Lập hpt 5 ẩn a, b, c, d, e. Khử lần lượt các biến để đưa về hpt 3 ẩn, 3 pt rồi giải.
Cách 2: Đặt Q(x) = 2x2 + 1. Khi đó P (i) = Q(i), i = 1, 2, 3, 4, 5. Suy ra P (x) =
(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) + 2x2 + 1.
ĐS: P (6) = 193; P (7) = 819; P (29) = 11795283.
n
2.7. Các lập trình tính giá trị hàm số tích tại x0 , f (x 0 ) = f
n
m
f g (x 0 ) , n,m N
n-1
f (x0 ) , f n g m (x0 ) =
> Dùng biến Ans (không an toàn nếu ấn dư phím hoặc thiếu phím).
> Dùng lập trình trên các biến A, B, C, ...
Bài tập
1B Cho hàm số f (x) = 12x
3
x + 2009, tính f 30 (2.1011 ).
ĐS:
2009
x)
+ 3 7.x + 5 5 (xét ở chế độ radian).
2B Cho hàm số f (x) = esin(
a) Tính f 30 ( π).
b)* Tính max {f k ( π)}; min {f k ( π)}.
0k32
0k32
HD: b) Lập trình kết hợp công thức max{A, B} =
A+B+|AB|
, min{A, B}
2
=
A+B|AB|
.
2
ĐS:
3B Cho hàm số f (x) =
7
x3 , tìm f 2009 (logπ e).
ĐS:
4B Cho hai hàm số f (x) = sinh(cos x), g(x) =
sin x1
,
3
hãy tính a = f 15 g 22 ( π3 ), b = g 15 f 22 ( π3 )
(ở chế độ radian). Trong đó sinh x là sinhyperpolic của x.
ĐS:
7
5
5B Cho hai hàm số f (x) = 9 x5 + 7 x3 + 5 3 x + 1, g(x) = sin(x 2 ) (xét ở chế độ radian).
Tính f 12 g(12, 56), gf 5 (π 2 ), f 9 g 9 (0, 259 ).
ĐS:
1
6B * Cho hàm số f (x) = x +
+ 1, hãy tính tổng sau:
2x
a) A = f ( 2) + f 2 ( 2) + f 3 ( 2) + ... + f 43 ( 2).
b) B = f 5 ( 3) + f 10 ( 3) + f 15 ( 3) + f 20 ( 3) + ... + f 80 ( 3).
15
HD: a) Lập trình, hoặc dùng biến tổng là M + ; b) Dùng phím M + cho biến tổng là M
(với lưu ý là phải lưu 0 M trước khi chạy vòng lặp).
ĐS:
ab
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bc
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
fggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh
Vẻ đẹp của Toán học qua các con số (nguồn: diendantoanhoc.net):
1x8+1=9
1 x 9 + 2 = 11
12 x 8 + 2 = 98
12 x 9 + 3 = 111
123 x 8 + 3 = 987
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 8 + 4 = 9876
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 8 + 5 = 98765
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 8 + 6 = 987654
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 8 +7 = 9876543
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 8 + 8 = 98765432
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 8 + 9 = 987654321
123456789 x 9 + 10 = 1111111111
9 x 9 + 7 = 88
1x1=1
98 x 9 + 6 = 888
11 x 11 = 121
987 x 9 + 5 = 8888
111 x 111 = 1231
9876 x 9 + 4 = 88888
1111 x 1111 = 1234321
98765 x 9 + 3 = 888888
11111 x 11111 = 123454321
987654 x 9 + 2 = 8888888
111111 x 1111111 = 12345654321
9876543 x 9 + 1 = 88888888
1111111 x 11111111 = 1234567654321
98765432 x 9 + 0 = 888888888
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 1111111111 = 12345678987654321
16
§3
Số học phổ thông
3.1. Số nguyên tố và các thuật toán kiểm tra nguyên tố
Để kiểm tra 1 số nguyên dương A có là số nguyên tố hay không ta chỉ cần kiểm tra A có
ước từ 2 đến A hay không.
A
=
= ...
> Thao tác 1: 1 X, X = X + 2 :
X
X chạy đến A, nếu thấy thương đều lẻ thì kết luận A nguyên tố.
> Thao tác 2: Kiểm tra A có chia hết cho 3 không, nếu không thì lập trình như sau
A
A
0 X, X = X + 1 :
:
=
= ...
6X 1 6X + 1
Câu hỏi: Giải thích các thao tác ấn phím 1 và 2?
Bài tập
1O Kiểm tra số 647 có phải là số nguyên tố không?
ĐS:
2O Kiểm tra số 2191 có phải là số nguyên tố không?
ĐS:
3O Phân tích thành thừa số nguyên tố các số sau: 252633033 và 8863701824.
ĐS:
3.2. Tìm số dư khi chia số nguyên dương a cho số nguyên dương b (a>b)
Giả sử a chia b dư r (r < b), ta chia các trường hợp sau:
> Trường hợp 1 : a chia b có phần nguyên q không tràn màn hình.
Ta có a = bq + r suy ra r = a bq với q là phần nguyên của thương.
Ví dụ:
2009
4
= 502, 25 suy ra số dư khi chia 2009 cho 4 là 2009-4.502=1.
> Trường hợp 2 : a chia b có phần nguyên tràn màn hình.
Giả sử
a = a1 a2 a3 ...an = a1 a2 ...ak .10nk + ak+1 ak+2 ...an
trong đó a1 a2 a3 ...ak chia b có phần nguyên không tràn màn hình. Như vậy ta có thể tìm
được dư r1 khi chia a1 a2 a3 ...ak cho b theo trường hợp 1.
Khi đó, a chia b dư
r1 .10nk + ak+1 ak+2 ...an = r1 ak+1 ak+2 ...an , với r1 < b
(*)
Theo (*) ta có quy tắc: Tách số bị chia a thành hai phần và lấy dư r1 của phần thứ nhất
khi chia cho b. Sau đó "gắn" số dư r1 này vào phần thứ 2 còn lại để được số bị chia mới
bé hơn a, thực hiện thao tác này một cách liên tục thì ta được số bị chia mới cũng giảm
liên tục, đến một lúc nào đó số bị chia mới đủ bé, khi đó ta tìm được dư r của bài toán
theo trường hợp 1.
Câu hỏi: Giải thích (*)?
17
Bài tập
1O Tìm dư khi chia 123456789 cho 12345.
ĐS:
2O Tìm dư khi chia 111122223333444455556666777788889999 cho 2010.
ĐS:
3O Tìm dư khi chia 9999999998888888877777776666665555544443332210 cho 123456789012345.
ĐS:
4O Tìm dư khi chia -2008200920102011201220132014201520162017 cho 65432.
ĐS:
5O Tìm dư khi chia 987654321012345678903 + 999997777755555333333 cho 2020.
ĐS:
3.3. Liên phân số hữu hạn
> Thuật toán tìm liên phân số hữu hạn.
> Thao tác bấm máy nhanh đưa liên phân số về dạng phân số ab .
1
q0 +
a
=
b
1
q1 +
x
1
q2 +
q3 + ... +
ấn phím liên tục
1
1
qn1 +
qn
1
+ qn2
x1 + qn3
...
x
1
...
=
=
+ q1
x1 + q0
Chú ý : Một số liên phân số khi đưa về phân số thì máy không hiển thị dạng
màn hình. Để đưa liên phân số này về dạng
a
b
18
a
b
được trên
ta cần thực hiện quy trình bấm phím nhanh
trên sau một số bước rồi thực hiện thao tác thủ công trên máy.
Bài tập
=
=
=
qn x1 +qn1
1O Biểu diễn số hữu tỷ sau dạng liên phân số
275
453
20092
a)
b)
c)
3
127
2007
ĐS:
2O Lập quy trình ấn phím liên tục để đưa liên phân số sau về dạng phân số tối giản ab .
1
1
a) 4 +
b) 10 +
1
1
2+
9+
1
1
3+
8+
1
1
4+
7+
1
4
6+
5
ĐS:
1
5116
=1+
dưới dạng liên phân số như sau
.
3O a) Biểu diễn phân số 5116
3927
1
3927
3+
3 + ...
Hỏi trong dạng liên phân số trên có bao nhiêu chữ số 3?
ĐS:
b) Biểu diễn phân số
1393
985
dưới dạng liên phân số như sau
1393
=1+
985
1
2+
1
2 + ...
.
Hỏi trong dạng liên phân số trên có bao nhiêu chữ số 2?
ĐS:
4O Cho B = 27 +
27
15 +
7
2009
1
, biết B = k0 +
1
k1 +
1
k2 + ... +
kn1 +
1
kn
Tìm dãy số k0 , k1 , ..., kn .
ĐS:
1
5O Cho dãy số {un } xác định: u1 = 2 + ;
2
u2 = 2 +
1
1
2+
2
;
1
u3 = 2 +
1
2+
;
...
1
2
Hãy tính giá trị chính xác của u9 và giá trị gần đúng của u15 , u20 . Dự đoán lim un .
2+
n
5741
ĐS: u9 =
; u15 , u20 = 2, 414213562.
2378
6O Cho dãy số {un } xác định như sau:
1
1
1
; u3 = 2 +
;
u1 = 2 + ; u2 = 3 +
1
1
3
2+
3+
1
3
2+
3
1
u4 = 3 +
;
1
2+
1
3+
1
3
= u1 + u2 +
2+
Hãy tìm ít nhất 4 giải thuật trên máy để tính gần đúng u20 , u25 và tổng S27
u3 + ... + u27 .
ĐS:
3.4. Đồng dư số học, ứng dụng của hàm Ơle trong đồng dư số học
Nếu a chia b dư r (hoặc a và r chia b có cùng số dư) thì ta viết a r( mod b).
19
...
§
§
§
§
§
§
§
§
1
2
3
4
5
6
7
8
Giới thiệu tổng quát về chức năng Casio fx 570MS và Casio fx 570ES
Đại số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Số học phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hình học trung học cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cấp số, dãy số và giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Toán phần trăm, toán kỹ thuật, tính thời gian . . . . . . . . . . . . . . . .
Một số dạng toán đại học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Giới thiệu các đề thi máy tính cầm tay THCS cấp khu vực và toàn quốc
2
8
17
32
39
44
50
53
Tài liệu tham khảo
54
Các phụ lục
55
? A Mẫu phiếu điền kết quả dành cho thi kết thúc môn học . . . . . . . . . . . . . . .
? B Trích Tập san Toán học: Giải toán trên máy tính bỏ túi, bạn cần gì? . . . . . . .
? C Trích Tập san Toán học: Xấp xỉ nghiệm của bài toán Cauchy bằng MT Casio
fx570MS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
? D Giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 1, 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
? E Dùng máy tính cầm tay (Casio fx500,570(MS,ES)) hỗ trợ xử lý số liệu thống kê .
? F Cách đổi năm dương lịch ra năm âm lịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
56
63
67
70
76
ab
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bc
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
fggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh
Học viên chuẩn bị ít nhất một trong các loại máy sau để tham gia học tập: Casio fx
570MS, Casio fx 570ES, Casio fx 570ES PLUS, Casio fx 991ES (2 kiểu năng
lượng), Casio fx 991ES PLUS, VinaCal 570MS, VinalCal 570ES, VinalCal
570ES PLUS, VietNamCalculator Vn-570RS.
Môn học thiên về giải Toán bằng giải thuật lập trình nên các dòng máy Casio fx
500MS, VinaCal 500MS, Casio fx 500ES xem như không dùng được cho môn học
này. Các mục ghi "tham khảo thêm" sẽ không được hướng dẫn trên lớp, học viên tự
nghiên cứu thêm (không thi).
Mong góp ý của các bạn sinh viên, học viên để quyển bản thảo này hoàn chỉnh hơn
cho các khóa dạy sau. Thông tin liên lạc với GV: 0985 572 881; ;
1
§1
Giới thiệu tổng quát về chức năng Casio fx 570MS
và Casio fx 570ES
1.1. Chương trình giả lập máy tính cầm tay trên vi tính
Học viên có thể download các chương trình giả lập máy tính cầm tay trên vi tính tại trang
www.bitex.edu.vn.
> Giả lập Casio fx 570MS:
Ngoài chức năng tương tự như một máy tính Casio fx 570MS, chương trình này cho phép
gọi ra dãy phím vừa bấm trên máy (với thời gian cụ thể kèm theo) bằng chức năng "View
log". Thuận lợi của chức năng này là người báo cáo thuyết trình về máy tính cầm tay có
thể cho hiện lại thao tác ấn phím một cách nhanh chóng để người nghe thực hiện theo;
hơn nữa giáo viên có thể copy các phím này vào bài soạn máy tính cầm tay của mình.
Bạn có thể liên hệ với tác giả của chương trình giả lập Casio fx 570MS qua địa chỉ
"" để được khắc phục sự cố chương trình (nếu có)
và cập nhật miễn phí chương trình này.
Chú ý : Nhấp chuột phải vào chương trình giả lập này để tùy chọn hoặc thoát (exit).
2
> Giả lập VinaCal-570MS:
So với Casio fx 570MS thì dòng máy VinaCal 570MS có thêm chức năng giải hệ phương
trình tuyến tính bậc nhất 4 ẩn; tính toán với ma trận cỡ tối đa 4 × 4.
Chú ý : Nhấp chuột phải vào chương trình giả lập này để tùy chọn hoặc thoát (exit).
1.2. Máy Casio fx 570MS
> Các chức năng Mode:
MODE 1: COMP (COMPUTING) Tính toán thông thường.
MODE 2: CMPLX (COMPLEX) Tính toán với số phức.
MODE2 1: SD (STANDAR DEVIATION) Toán thống kê.
MODE2 2: REG (REGRESSIVE) Toán hồi quy, tương quan.
Một số chức năng cài đặt trong MODE REG như sau:
1 LIN (LINEAR): Hồi quy tuyến tính.
2 LOG (LOGARIT): Hồi quy logarit.
3 EXP (EXPONENTIAL): Hồi quy mũ
MODE2 3: BASE Toán trên các hệ đếm 2-8-10-16.
MODE3 1: EQN (EQUATION) Giải phương trình, hệ phương trình.
Một số chức năng cài đặt trong MODE EQN như sau:
2 UNKNOWNS, 3 UNKNOWNS: Hệ phương trình tuyến tính 2, 3 ẩn (unknown).
2 DEGREE, 3 DEGREE: Phương trình bậc (degree) 2, bậc 3.
3
MODE3 2: MAT (MATRIX) Toán ma trận.
MODE3 3: VCT (VECTOR) Toán véctơ.
MODE4 1: DEG (DEGREE) Cài đặt chế độ "độ" cho phép tính lượng giác.
MODE4 2: RAD (RADIAN) Cài đặt chế độ "radian" cho phép tính lượng giác.
MODE4 3: GRA (GRADE) Cài đặt chế độ "grát" cho phép tính lượng giác (1gra =
0, 90 ).
MODE5 1: FIX (FIXED NUMERIC FORMAT) Cài đặt làm tròn kết quả hiển thị từ 0
đến 9 chữ số thập phân sau dấu phẩy.
MODE5 2: SCI (SCIENTIFIC NUMBER) Cài đặt hiển thị dạng số kỹ thuật a.103k .
MODE5 3: NORM (NORMAL).
MODE6 1: DISP (DISPLAY).
Một số chức năng cài đặt trong MODE DISP như sau:
1: ENG ON, 2: ENG OFF Bật, tắt chế độ hiển thị số kỹ thuật.
I 1: ab/c, 2: d/c Quy định một phân số
m
n
(có m > n) luôn hiển thị dạng hổn số
hoặc không.
I I 1: DOT, 2: COMMA Quy định hiển thị dấu phân cách các chữ số (bộ ba
số: nghìn, triệu, tỷ,...) và dấu phân cách thập phân là dấu phẩy (comma) hay dấu
chấm (dot).
> Biến nhớ và cách sử dụng:
Các biến gồm: A, B, C, D, E, F, X, Y, M, Ans, trong đó Ans là biến nhận giá trị hiện hành
trên máy.
Lưu giá trị vào biến:
Lưu 10 vào biến A, thao tác 10 Shift
Sto A, sau này ta viết tắc là 10 A.
Lưu 20+100 vào biến D, thao tác 20+ 100 Shift
Sto D, viết tắc là 20 + 100 D.
Riêng biến M sẽ thay đổi giá trị khi ấn phím M+ hoặc MVí dụ: 5 M , sau đó ấn 7 M+, khi đó biến M sẽ nhận giá trị 12.
Gọi giá trị biến ra:
= , kết quả: 10 (vì đã lưu 10 A ở trên).
Ấn Alpha A + Alpha D = , kết quả: 130.
Ấn Alpha A
Đối với biến Ans: Máy tự động lưu lại giá trị hiện hành vào Ans.
Ấn 2+8
= , ấn tiếp Ans +5 = , kết quả: 15.
> Một số phím chức năng thường dùng:
AC (CANCEL): Hủy lệnh (công thức) vừa nhập.
DEL (DELETE), INS (INSERT): Xóa, chèn ký tự.
SHIFT: Gọi chức năng các phím màu vàng.
ALPHA (ALPHABET): Gọi chức năng các phím màu đỏ.
CLR (CLEAR): Xóa cài đặt các Mode để trở về trạng thái mặc định ban đầu của máy.
4
CALC (CALCULATE): Tính giá trị biểu thức chứa biến (một hoặc nhiều biến).
SOLVE: Giải gần đúng phương trình dạng tổng quát f (x) = 0.
Dấu
"=" màu đỏ, dấu ":" màu đỏ: Dùng vào lập trình.
Chú ý : Trong giải thuật lập trình sau này quy ước nếu viết = thì hiểu dấu bằng màu đỏ
lập trình, nếu viết
= thì hiểu dấu bằng màu trắng.
CONV (CONVERT) Đổi các đơn vị vật lý (Y ard m, mile km,hp KW ...) Xem
thông số chuyển đổi ở nắp máy.
CONST (CONSTANT) Hằng số vật lý quốc tế (Xem ở nắp máy).
ab/c, d/c: Chuyển đổi qua lại giữa dạng số thập phân và phân số.
LOGIC Thực hiện phép toán lôgic và các hệ đếm.
DEC (DECIMAL) Hệ thập phân, HEX (HEXADECIMAL) Hệ thập lục phân, BIN
(BINARY) Hệ nhị phân, OCT (OCTAL) Hệ bát phân.
ex ex
ex + ex
Hyp (Hyperpolic): sinh x =
, cosh x =
ở Mode COMP.
2
2
sin1 : arcsin Hàm ngược của hàm sin (VD: sin π4 = 22 arcsin( 22 ) = π4 )
ENG (ENGINE) Hiển thị kiểu số kỹ thuật a.10x .
i màu xanh (Imaginary): Đơn vị ảo i của số phức.
Arg (Argument) Argument ϕ của số phức z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Abs (Absolute) Trị tuyệt đối, môđun số phức.
Conj (Conjugate) Số phức liên hợp.
Pol( (Polarity) Chuyển đổi dạng cực của số phức.
Rec( (Rectangle) Chuyển đổi dạng đại số của số phức z = a + bi.
ReIm (Real, Image): Gọi ra phần thực, phần ảo.
EXP (EXPONENTIAL): 10x , ví dụ để nhập 90000, ấn 9 EXP 4.
Rnd (Round): Làm tròn số trong tính toán.
Ran # (Random): Gọi ra một số ngẫu nhiên từ máy.
DRG (Degree, Radian, Grade): Tính toán một biểu thức có nhiều chế độ tính, ví dụ
π
tính giá trị biểu thức A = sin 300 + cos( ) tan 26g
7r
MAT (Matrix ): Tính toán với ma trận (Dim (chiều, cỡ), Edit (sửa), Det (định thức),
Trn (vết),...)
VCT (Vector): Tính toán với vectơ (Dim (chiều), Edit (sửa), Dot (tích vô hướng),...)
DT (DATA): Nhập số liệu (toán thống kê hoặc toán hồi quy).
S-Sum (Sumary), S-Var (Variance): Gọi kết quả thống kê.
DISTR (Distribute) Tính giá trị hàm phân phối chuẩn tắc Φ(x).
n!
nPr: Chỉnh hợp Arn =
.
(n r)!
n!
nCr: Tổ hợp Cnr =
.
r!(n r)!
5
Các ký hiệu màu vàng: k (kilo) 103 , M (mega) 106 , G (giga) 1)9 , T (tera) 1012 , m (mili)
103 , µ (micro) 106 , p (pico) 1012 , n (nano) 109 , f (femto) 1015 .
1.3. Máy Casio fx 570ES (= 991ES (máy 2 năng lượng))
> Các Mode và phím chức năng:
Ở đây chỉ nêu một số chức năng MODE khác so với máy 570MS.
Các chế độ MODE:
MODE STAT (STATISTICS): Toán thống kê.
MODE TABLE: Liệt kê bảng giá trị của hàm số f (x) với các thông tin nhập vào như:
Giá trị biến khởi đầu (Start); giá trị biến kết thúc (End) và bước nhảy (Step). Chức
năng quan trọng nhất của TABLE trong giải toán là ứng dụng vào việc dò tìm khoảng
phân ly nghiệm của phương trình, dò tìm cực trị của hàm số.
Các Phím chức năng:
SETUP: Cài đặt các hiển thị.
Bấm Shift SETUP để chọn các chức năng cài đặt theo ý riêng như sau:
1: MthIO Chọn hiển thị phân số dạng sách giáo khoa (dạng ab ).
2: LineIO Chọn hiển thị phân số trên 1 dòng (dạng ayb).
38: Deg, Rad, Gra, Fix, Sci, Norm Chức năng tương tự máy 570MS.
Ấn tiếp dấu mũi tên H, chọn các chức năng sau:
1, 2: ab/c, d/c Hiển thị phân số dạng
a
b
hay hổn số a cb khi tử số lớn hơn mẫu số.
3: CMPLX Hiển thị một số phức ở dạng đại số hay dạng lượng giác.
4: STAT Bật hay tắt cột tần số trên màn hình nhập dữ liệu thống kê, hồi quy.
5: Disp Cài đặt hiển thị dấu phẩy của số thập phân là dấu "," hay "."
6: CONST (Contrast) Tăng I, giảm J độ tương phản trên màn hình máy tính.
SD: Chuyển đổi qua lại giữa dạng số thập phân và phân số.
Các chức năng còn lại có ký hiệu tương tự như trên máy 570MS.
Chú ý: Đối với máy 570ES, khi dùng phím Solve để giải ẩn thì ẩn cần phải được dùng
là X hoặc Y.
> Biến nhớ và cách sử dụng: Hoàn toàn tương tự máy 570MS.
> So sánh một số điểm yếu và điểm mạnh cơ bản trong giải toán của hai dòng
máy 570MS và 570ES :
Viết tắt MS thay cho dòng máy Casio fx 570MS, VinalCal 570MS; ES thay cho dòng
máy Casio fx 570 ES.
+ MS bấm lập trình nhanh hơn ES (ES phải ấn thêm Calc).
+ MS có chức năng Copy dùng kết nối biểu thức (ES không có chức năng này).
+ MS nhập thống kê được nhiều bộ giá trị (xi ; ni ) hơn ES.
+ MS cho phép giải ẩn là các biến tùy ý trong biểu thức, đối với máy ES thì ẩn phải
được dùng là biến X hoặc Y.
6
+ Ở Mode BASE, MS có chức năng viết ra các chữ số sau dấu phẩy của phép chia
a
b
một cách nhanh chóng, máy ES không có chức năng này.
+ ES có thêm chức năng Table có thể áp dụng tìm khoảng phân ly nghiệm hoặc tìm cực
trị.
+ ES được thiết kế tính toán thuận tiện hơn MS, trong khi MS phải thao tác đúng theo
cú pháp (VD tính tích phân, ma trận, véctơ).
+ ES cho kết quả nhiều chữ số hơn MS.
+ ES hiển thị được phân số dạng
a
b
đối với số lớn hơn mà trên máy MS không hiển thị
được.
+ ES có phím
P
thuận lợi hơn MS đối với việc tính tổng có biến chỉ số chạy.
...
ab
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bc
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
ddd
eee
dfgggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggghe
Chiếc máy tính bỏ túi EL-801 (ELSI MINI) do hãng Sharp của Nhật Bản chế tạo
năm 1972. Sharp được coi là khai sinh ra loại máy tính bỏ túi (calculator).
Nguồn: vintagecalculators.com.
7
§2
Đại số sơ cấp
2.1. Tính giá trị biểu thức không chứa biến và chứa biến
> Giải theo nhiều cách: Dùng các biến A, B, C, ..., Ans, dùng phím Calc , dùng Table.
Chú ý: Thiết lập chế độ tính toán phù hợp (rad, độ, grad) đối với bài toán lượng giác.
Bài tập
5
3
tan sinh( 2) log
5
3
1B Cho biểu biểu thức A =
, trong đó sinh x, cosh x lần lượt là
cot cosh( 2)
sinhyperpolic và coshyperpolic của x.
a) Tính A ở chế độ radian.
b) Tính A ở chế độ độ.
ĐS:
3a2 b
2B Tính giá trị biểu thức I =
a) a = π + 1, b = e, c = 5 2;
2
2
2ac3 + 5bc 3
tại
6ab2 + ac
b) a = sin π5 , b = log e, c = C74 .
ĐS:
sin x cos x2
tại x = 10, x = 1, 572, x = π 2 .
ex
2 sin2 x + (3 + 3) sin x cos x + ( 3 1) cos2 x
b) Tính gần đúng giá trị của hàm số f (x) =
5 tan x 2 cot x + sin2 x2 + cos 2x
π
3π
tại x = 2;
; 1, 25;
.
6
5
Chế độ tính đối với câu a) và b) là radian.
3B a) Tính giá trị hàm số f (x) =
ĐS:
1 + cos α
.
1 sin α
b) Biết cos 2x = 53 , tính J = sin3 x + cos3 x.
4B a) Cho biết tan α2 =
7, tính I =
ĐS:
4x3 x4
, tính các giá trị của y khi x nhận giá trị từ 2 đến 5
5ex2
với bước nhảy 0,5. Nêu ít nhất 3 quy trình bấm phím.
5B Cho hàm số y = f (x) =
ĐS:
sin x + 1
, hãy tính tổng sau ở chế độ radian và đặt ra một số bài
x2
toán mở rộng khác (nếu có thể)?
6B * Cho hàm số f (x) =
a) A = f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (40).
π
π
π
π
b) B = f ( ) + f ( ) + f ( ) + ... + f ( ).
1
2
3
20
c) C = f (1) f (2) + f (3) f (4) + ... f (40).
π
1
π
1
π
π
1
d) D = f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + ... + f ( ) + f ( ).
1
3
4
5
19
20
P2
HD: Dùng phím
(máy ES), lập trình (máy ES và MS).
ĐS:
8
7B * Cũng với câu hỏi như bài tập trên nhưng thay f (x) bởi g(x) = ln | sin x + π 2 | .
HD: Phím giá trị tuyệt đối trên máy ở chế độ Mode COMP là gì?
ĐS:
8B * Cho hàm số f (x) =
S1 =
2009
X
i=1
4x
, tính
4x + 2
i
f(
);
2010
HD: Không thể dùng phím
S2 =
2009
X
f sin(
i=1
P
iπ
)
2010
(sẽ bị "treo máy"). Chứng minh được: x + y = 1
f (x) + f (y) = 1, tách tổng thành nhiều cặp (x, y) có tổng 1.
ĐS:
2.2. Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0
> Dùng phím Solve (chỉ dùng cho 570MS, 570ES).
> Phương pháp lặp đơn (có thể áp dụng chung cho 500MS, 500ES).
> Phương pháp Newton (pp tiếp tuyến) (có thể áp dụng chung cho 500MS, 500ES).
Chú ý: Phím Solve được xây dựng trên cơ sở phương pháp Newton. Không phải mọi
phương trình đều có thể giải được bằng cách dùng phím Solve .
Bài tập
1B Tìm nghiệm của phương trình:
2x 3 = x 3.
ĐS:
2B Tìm nghiệm của phương trình: 32x+5 = 3x+2 + 2.
ĐS:
3B Tìm nghiệm của phương trình sau ở radian: 3 cos 3x 4x + 2 = 0.
ĐS:
4B Tìm nghiệm của phương trình: (3x 4) ln(5x + 2) + 3x2 7 = 0.
ĐS:
5B Chứng tỏ rằng phương trình 2x = 3 sin x + 4x có hai nghiệm trong khoảng (0, 4). Tính
gần đúng hai nghiệm của phương trình đã cho.
ĐS: f (0) = 1 > 0; f (1) 4.524412954 < 0; f (4) 2.270407486 > 0
x1 0.15989212; x2 3.728150048.
1 6
3 7
15 11
2+ 3
x
x
=
6B Tìm nghiệm của phương trình:
3 5
3+ 2
4 3
2 35
ĐS:
7B Tìm một nghiệm gần đúng (ở radian) của phương trình : sin(3x + 5x ) = 7x (log3 x + 1).
ĐS:
8B Tìm nghiệm thực của phương trình
1
1
1
4448
+
+
=
.
x+1 x+2 x+3
6435
ĐS:
9
9B Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình sau với sai số bé hơn 109 (ở chế độ radian)
p
p
p
x
sin( 2009 x) + sin( 2007 (x + 2)) + sin( 2005 (x + 4)) + sin( 2003 (x + 6)) = 0.
2
ĐS:
10B Tìm một nghiệm gần đúng (ở radian) của phương trình: ln(3x + 5x ) = x sin(x2 ) + 1.
ĐS:
Zx
11B Tìm x > 1 sao cho:
2
et dt + x2 x 4 = 0.
1
HD: Dùng phương pháp lặp đơn (rút x2 sẽ hội tụ nhanh).
ĐS: 2,527537423.
12B Tìm x Z+ , biết
a) 1 + 2 + 3 3 + 4 4 + ... + x x 142, 717.
b) 1 × 2 × 3 3 × 4 4 × ... × x x 357, 2708.
1 1
1
c) 1 + + + ... + 5.
2 3
x
1
1
1
5.
d) 1 + + + ... +
2! 3!
x!
HD: Lập trình, cho biến X chạy từ 1, quan sát giá trị của biến tổng để kết luận.
ĐS:
2.3. Phương trình nghiệm nguyên hai biến x, y
Một số phương pháp cơ bản tìm nghiệm nguyên của phương trình f (x, y) = 0(1) trên máy
tính cầm tay.
> Dạng đặc biệt ax + by = c :
+ Điều kiện có nghiệm nguyên: (a, b) là ước của c. Nếu phương trình có 1 cặp nghiệm
nguyên (x0 ; y0 ) thì sẽ có vô số nghiệm nguyên.
+ Công thức nghiệm nguyên: x = x0 + db t;
y = y0 ad t,
t Z, d = (a, b).
> Dạng tổng quát (1) nhưng có thể rút được 1 biến biểu thị qua biến còn lại: Giả sử rút x
được x = g(y), lập trình, cho x chạy, tìm y nguyên (kết hợp điều kiện từ đề bài để dừng).
> Dạng tổng quát (1) nhưng có thể đưa về phương trình bậc hai theo 1 biến: Giả sử
A(x)y 2 + B(x)y + C(x) = 0, giải tìm y theo công thức nghiệm được y1 , y2 , sau đó lập
trình cho x chạy tìm y nguyên (kết hợp điều kiện > 0).
> Một số dạng giải nhờ suy luận, kết hợp suy luận và lập trình.
Bài tập
x
1B Giải phương trình nghiệm nguyên 3 x < 20 thỏa A62x C15
x! 57!9005 = 0
ĐS:
10
2B Cho đường thẳng (d) :
2x + 3y = 7. Hãy tìm tất các các cặp (x, y) thuộc (d) thỏa:
a) x, y đều nguyên dương.
b) x, y đều nguyên âm.
c) x, y tùy ý.
ĐS:
3B Tìm cặp số nguyên dương (x, y) với x nhỏ nhất thỏa
3
156x2 + 807 + (12x)2 = 20y 2 +
52x + 59.
ĐS: x = 11, y = 29.
4B Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa phương trình
a) x2 + y 2 = 2008.
b) x2 y 2 = 2008.
HD: b) Hằng đẳng thức x2 y 2 = (x + y)(x y).
ĐS: b) (503;501), (503;-501), (-503;501), (-503;-501), (253;249), (253;-249), (-253;249),
(-253;-249).
5B Cho phương trình x3 y 2 = xy
(*), hãy:
a) Tìm cặp số tự nhiên (x, y) với x bé nhất có 3 chữ số và thỏa mãn (*).
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) với x bé hơn 100 và thỏa mãn (*).
HD: Đưa về phương trình bậc hai theo y, x chạy từ 100.
ĐS: a) (110, 1100);
b)
6B Tìm cặp số tự nhiên (x; y) biết x, y có hai chữ số và thỏa mãn phương trình x4 y 3 = xy 2 .
HD: Ta có: x4 y 3 = xy 2 x4 = y 3 + xy 2 . Vì x và y chỉ có 2 chữ số, nên vế phải tối
4
đa là 2.993 , nên x tối đa là 2.993 < 38 suy ra 10 < x < 38.
Dùng chức năng giải phương trình bậc ba để giải phương trình bậc ba, biến y:
y 3 + by 2 b4 = 0,
(thử lần lượt các giá trị của b tìm y nguyên, với b = 10, 11, ...., 38).
Hoặc nhập vào phương trình X 3 + BX B 4 = 0, dùng chức năng Solve, lần lượt gán
B từ 10 cho đến 38, gán giá trị đầu X = 0.
ĐS: (12; 24)
2.4. Giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình (tham khảo thêm)
1B Để đắp 1 con đê, địa phương đã huy động 4 nhóm người gồm học sinh, công nhân, nông
dân và bộ đội. Thời gian làm việc như sau (giả sử thời gian làm việc của mỗi người
trong một nhóm là như nhau): Nhóm bộ đội mỗi người làm việc 7 giờ; nhóm công nhân
mỗi người làm việc 4 giờ; nhóm nông dân mỗi người làm việc 6 giờ; nhóm học sinh nỗi
em làm việc 0,5 giờ.
11
Địa phương cũng đã chi tiền như nhau cho từng người trong một nhóm theo cách: Nhóm
bộ đội mỗi người nhận 50.000 đồng; nhóm công nhân mỗi người nhận 30.000 đồng; nhóm
nông dân mỗi người nhận 70.000 đồng, nhóm học sinh mỗi em nhận 2.000 đồng.
Cho biết: Tổng số người của 4 nhóm là 100; Tổng thời gian làm việc của 4 nhóm là 488;
Tổng số tiền của bốn nhóm nhận là 5.360.000 đồng.
Hãy tìm số người trong từng nhóm?
ĐS:
2B Theo di chúc, bốn người con được hưởng số tiền 9902490255 đồng chia theo tỷ lệ giữa
người thứ nhất và người thứ hai là 2:3; người thứ hai và người thứ ba là 4:5; người thứ
ba và người thứ tư là 6:7. Tính số tiền nhận được của mỗi người con?
ĐS:
3B Tìm bán kính của hình cầu nội tiếp trong một hình lập phương, biết rằng tổng của thể
tích, diện tích toàn phần và độ dài tất cả các cạnh của hình lập phương có giá trị gấp
3 lần giá trị của thể tích của hình cầu này.
ĐS: 17,79151445.
4B Một người nông dân có một cánh đồng cỏ hình tròn bán kính R = 100m, đầy cỏ, không
có khoảnh nào trống. Ông ta buộc con bò vào một cây cọc trên mép cánh đồng. Hãy
tính chiều dài đoạn day buộc sao cho con bò chỉ ăn được một nửa cánh đồng.
ĐS: 115,8728473 m.
5B Cho x1000 + y 1000 = 6, 912; x2000 + y 2000 = 33, 76244. Tính x3000 + y 3000 .
ĐS:
6B Cho hai đường thẳng (d1 ), (d2 ), biết (d1 ) đi qua A(2;-3) và B(7;7), (d1 ) có hệ số góc là
-2 và đi qua C(-1;2). Gọi I là giao điểm của (d1 ) và (d2 ), tính dộ dài AI.
ĐS:
2.5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 1 biến (tham khảo thêm)
> Một số phương pháp thường dùng: Tam thức bậc hai; Đặt ẩn phụ; Dùng chức năng Table
(máy 570ES); Đạo hàm; Bất đẳng thức.
Bài tập
3,
1
2
5
1B Cho hàm số y = 1, 32x2 +
x 7, 8 + 3 2
6, 4 7, 2
a) Tính y khi x = 2 + 3 5;
b) Tính ymax .
ĐS:
2B Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) = cos3 x 6cos2 x + 9 cos x + 5.
ĐS:
3B Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) = 3x + 5 cos 5x trên đoạn
[0; π].
ĐS: max f (x) = 12, 5759;
min f (x) = 3, 1511.
12
4B Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) = 2 sin x 2 cos x
5 sin x cos x.
ĐS: max f (x) = 3, 9465;
min f (x) = 2, 0125.
1
5B Tính gần đúng cực đại và cực tiểu của hàm số f (x) = x4 + x3 3x2 12x + 3.
4
ĐS:
esin x + x2 cos x + 1
trên
6B Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) =
x2 + 1
đoạn [0; 1].
7B Cho x, y nguyên dương thỏa x3 + y 3 = 2009 , tìm giá trị lớn nhất của sin(xy) (chế dộ
rad). Hãy tổng quát bài toán?
ĐS:
2.6. Đa thức, sơ đồ Hoocne
> Tính giá trị đa thức dạng đặc biệt.
> Tìm đa thức dư trong phép chia hai đa thức.
> Thao tác ấn phím nhanh đối với sơ đồ Hoocne tìm đa thức thương và dư.
> Tìm đa thức thỏa điều kiện ban đầu.
Bài tập
1B Tính giá trị của đa thức
P (x) = 1 + x + x2 + x3 + ... + x2009 và Q(x) = x11 + x12 + x13 + ... + x2010
tại x = 0, 570038.
ĐS:
2B Tìm dư trong phép chia P (x) = x7 2x5 3x4 + x 1 cho (x + 5).
ĐS:
3B Tìm dư khi chia đa thức P (x) = 3x40 +x11 2x8 1 cho đa thức Q(x) = 10x2 21x+11.
ĐS:
4B Tìm dư khi chia đa thức P (x) = 3x2009 +x2001 2x1995 +1990 cho đa thức Q(x) = x3 x.
ĐS:
5B Khai triển biểu thức P (x) = (20x2013 3x92 + 26)3 ta được đa thức a0 + a1 x + ... +
a6039 x6039 . Hãy tính:
a)
S1 = a0 + a1 + a2 + ... + a6038 + a6039 ;
b)
S2 = a0 + a2 + a4 + ... + a6036 + a6038 ;
c)
S3 = a1 + a3 + a5 + ... + a6037 + a6039 .
HD: a) P(?);
b), c) P(?)+/- P(?) KQ.
ĐS:
13
6B Khai triển biểu thức P (x) = (1 + 2x + 3x2 )15 ta được đa thức a0 + a1 x + ... + a30 x30 .
Tính giá trị biểu thức A = a0 2a1 + 4a2 8a3 + ... 536870912a29 + 1073741824a30 .
HD: A = P (?)
ĐS:
7B Khai triển A = (1 + x 7)2 (1 + ax)8 dưới dạng 1 + 10x + bx2 + ... Hãy tìm các hệ số a, b.
2 7 + C 1 a = 10
8
HD: A = (1 + 2 7x + 7x2 )(1 + C81 ax + C82 a2 x2 + ...)
C 2 a2 + 27C 1 a + 7 = b
8
8
ĐS:
8B Cho đa thức bậc ba, biết f (0) = 10, f (1) = 12, f (2) = 4, f (3) = 1. Tìm f (10)?
ĐS:
9B Cho f (x) là đa thức bậc 3, biết rằng khi chia f (x) cho (x 1), (x 2), (x 3) đều được
dư 6 và f (1) = 18. Tính f (2009)?
ĐS:
10B Tìm m, n để 2 đa thức sau có chung nghiệm x =
1
2
với P (x) = 3x2 4x+5m+n;
Q(x) =
x3 + 3mx2 + 7 + n.
ĐS:
11B Tìm a, b, c để đa thức P (x) =
2), (x 7), (x + 1).
1 4
x + ax3 + 2bx2 5x + c chia hết cho đa thức (3x +
2
ĐS:
12B Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P (x) = ax3 + bx2 + cx 2007 để sao cho P (x) chia
cho (x 16) có số dư là 29938 và chia cho (x2 10x + 21) có đa thức dư là
10873
x 3750.
16
ĐS:
13B Tìm thương và dư trong phép chia P (x) = x7 2x5 3x4 + x 1 cho (x + 5) bằng sơ
đồ Hoocne, viết thuật toán.
ĐS:
14B Chia x8 cho (x + 0, 5) được thương q1 (x) dư r1 , chia q1 (x) cho (x + 0, 3) được thương là
q2 (x) và dư r2 . Tìm r2 bằng cách dùng sơ đồ Hoocne.
ĐS:
15B Tìm thưong và dư khi chia P (x) = 2x6 + 30x5 x2 + 90x + 2008 cho (x + 5)(x 3) bằng
sơ đồ Hoocne.
HD: Dùng sơ đồ Hoocne 2 lần liên tiếp tương tự như câu trên, dư cần tìm của bài toán
là r2 (x + 5) + r1 , thương là q2 (x).
ĐS:
1 9
1
13
82
32
x x7 + x5 x3 + x.
630
21
30
63
35
a) Tính P (x) khi x = 4, 3, 2, ..., 3, 4.
16B Cho đa thức P (x) =
b) Chứng minh rằng P (x) Z x Z.
14
HD: 630=2.5.7.9.
ĐS:
17B Cho đa thức bậc 5, P (x) = x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx+e. Biết P (1) = 3, P (2) = 9, P (3) =
19, P (4) = 33, P (5) = 51. Tính P (6), P (7) và P (29).
HD:
Cách 1: Lập hpt 5 ẩn a, b, c, d, e. Khử lần lượt các biến để đưa về hpt 3 ẩn, 3 pt rồi giải.
Cách 2: Đặt Q(x) = 2x2 + 1. Khi đó P (i) = Q(i), i = 1, 2, 3, 4, 5. Suy ra P (x) =
(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) + 2x2 + 1.
ĐS: P (6) = 193; P (7) = 819; P (29) = 11795283.
n
2.7. Các lập trình tính giá trị hàm số tích tại x0 , f (x 0 ) = f
n
m
f g (x 0 ) , n,m N
n-1
f (x0 ) , f n g m (x0 ) =
> Dùng biến Ans (không an toàn nếu ấn dư phím hoặc thiếu phím).
> Dùng lập trình trên các biến A, B, C, ...
Bài tập
1B Cho hàm số f (x) = 12x
3
x + 2009, tính f 30 (2.1011 ).
ĐS:
2009
x)
+ 3 7.x + 5 5 (xét ở chế độ radian).
2B Cho hàm số f (x) = esin(
a) Tính f 30 ( π).
b)* Tính max {f k ( π)}; min {f k ( π)}.
0k32
0k32
HD: b) Lập trình kết hợp công thức max{A, B} =
A+B+|AB|
, min{A, B}
2
=
A+B|AB|
.
2
ĐS:
3B Cho hàm số f (x) =
7
x3 , tìm f 2009 (logπ e).
ĐS:
4B Cho hai hàm số f (x) = sinh(cos x), g(x) =
sin x1
,
3
hãy tính a = f 15 g 22 ( π3 ), b = g 15 f 22 ( π3 )
(ở chế độ radian). Trong đó sinh x là sinhyperpolic của x.
ĐS:
7
5
5B Cho hai hàm số f (x) = 9 x5 + 7 x3 + 5 3 x + 1, g(x) = sin(x 2 ) (xét ở chế độ radian).
Tính f 12 g(12, 56), gf 5 (π 2 ), f 9 g 9 (0, 259 ).
ĐS:
1
6B * Cho hàm số f (x) = x +
+ 1, hãy tính tổng sau:
2x
a) A = f ( 2) + f 2 ( 2) + f 3 ( 2) + ... + f 43 ( 2).
b) B = f 5 ( 3) + f 10 ( 3) + f 15 ( 3) + f 20 ( 3) + ... + f 80 ( 3).
15
HD: a) Lập trình, hoặc dùng biến tổng là M + ; b) Dùng phím M + cho biến tổng là M
(với lưu ý là phải lưu 0 M trước khi chạy vòng lặp).
ĐS:
ab
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bc
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
d
e
fggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh
Vẻ đẹp của Toán học qua các con số (nguồn: diendantoanhoc.net):
1x8+1=9
1 x 9 + 2 = 11
12 x 8 + 2 = 98
12 x 9 + 3 = 111
123 x 8 + 3 = 987
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 8 + 4 = 9876
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 8 + 5 = 98765
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 8 + 6 = 987654
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 8 +7 = 9876543
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 8 + 8 = 98765432
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 8 + 9 = 987654321
123456789 x 9 + 10 = 1111111111
9 x 9 + 7 = 88
1x1=1
98 x 9 + 6 = 888
11 x 11 = 121
987 x 9 + 5 = 8888
111 x 111 = 1231
9876 x 9 + 4 = 88888
1111 x 1111 = 1234321
98765 x 9 + 3 = 888888
11111 x 11111 = 123454321
987654 x 9 + 2 = 8888888
111111 x 1111111 = 12345654321
9876543 x 9 + 1 = 88888888
1111111 x 11111111 = 1234567654321
98765432 x 9 + 0 = 888888888
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 1111111111 = 12345678987654321
16
§3
Số học phổ thông
3.1. Số nguyên tố và các thuật toán kiểm tra nguyên tố
Để kiểm tra 1 số nguyên dương A có là số nguyên tố hay không ta chỉ cần kiểm tra A có
ước từ 2 đến A hay không.
A
=
= ...
> Thao tác 1: 1 X, X = X + 2 :
X
X chạy đến A, nếu thấy thương đều lẻ thì kết luận A nguyên tố.
> Thao tác 2: Kiểm tra A có chia hết cho 3 không, nếu không thì lập trình như sau
A
A
0 X, X = X + 1 :
:
=
= ...
6X 1 6X + 1
Câu hỏi: Giải thích các thao tác ấn phím 1 và 2?
Bài tập
1O Kiểm tra số 647 có phải là số nguyên tố không?
ĐS:
2O Kiểm tra số 2191 có phải là số nguyên tố không?
ĐS:
3O Phân tích thành thừa số nguyên tố các số sau: 252633033 và 8863701824.
ĐS:
3.2. Tìm số dư khi chia số nguyên dương a cho số nguyên dương b (a>b)
Giả sử a chia b dư r (r < b), ta chia các trường hợp sau:
> Trường hợp 1 : a chia b có phần nguyên q không tràn màn hình.
Ta có a = bq + r suy ra r = a bq với q là phần nguyên của thương.
Ví dụ:
2009
4
= 502, 25 suy ra số dư khi chia 2009 cho 4 là 2009-4.502=1.
> Trường hợp 2 : a chia b có phần nguyên tràn màn hình.
Giả sử
a = a1 a2 a3 ...an = a1 a2 ...ak .10nk + ak+1 ak+2 ...an
trong đó a1 a2 a3 ...ak chia b có phần nguyên không tràn màn hình. Như vậy ta có thể tìm
được dư r1 khi chia a1 a2 a3 ...ak cho b theo trường hợp 1.
Khi đó, a chia b dư
r1 .10nk + ak+1 ak+2 ...an = r1 ak+1 ak+2 ...an , với r1 < b
(*)
Theo (*) ta có quy tắc: Tách số bị chia a thành hai phần và lấy dư r1 của phần thứ nhất
khi chia cho b. Sau đó "gắn" số dư r1 này vào phần thứ 2 còn lại để được số bị chia mới
bé hơn a, thực hiện thao tác này một cách liên tục thì ta được số bị chia mới cũng giảm
liên tục, đến một lúc nào đó số bị chia mới đủ bé, khi đó ta tìm được dư r của bài toán
theo trường hợp 1.
Câu hỏi: Giải thích (*)?
17
Bài tập
1O Tìm dư khi chia 123456789 cho 12345.
ĐS:
2O Tìm dư khi chia 111122223333444455556666777788889999 cho 2010.
ĐS:
3O Tìm dư khi chia 9999999998888888877777776666665555544443332210 cho 123456789012345.
ĐS:
4O Tìm dư khi chia -2008200920102011201220132014201520162017 cho 65432.
ĐS:
5O Tìm dư khi chia 987654321012345678903 + 999997777755555333333 cho 2020.
ĐS:
3.3. Liên phân số hữu hạn
> Thuật toán tìm liên phân số hữu hạn.
> Thao tác bấm máy nhanh đưa liên phân số về dạng phân số ab .
1
q0 +
a
=
b
1
q1 +
x
1
q2 +
q3 + ... +
ấn phím liên tục
1
1
qn1 +
qn
1
+ qn2
x1 + qn3
...
x
1
...
=
=
+ q1
x1 + q0
Chú ý : Một số liên phân số khi đưa về phân số thì máy không hiển thị dạng
màn hình. Để đưa liên phân số này về dạng
a
b
18
a
b
được trên
ta cần thực hiện quy trình bấm phím nhanh
trên sau một số bước rồi thực hiện thao tác thủ công trên máy.
Bài tập
=
=
=
qn x1 +qn1
1O Biểu diễn số hữu tỷ sau dạng liên phân số
275
453
20092
a)
b)
c)
3
127
2007
ĐS:
2O Lập quy trình ấn phím liên tục để đưa liên phân số sau về dạng phân số tối giản ab .
1
1
a) 4 +
b) 10 +
1
1
2+
9+
1
1
3+
8+
1
1
4+
7+
1
4
6+
5
ĐS:
1
5116
=1+
dưới dạng liên phân số như sau
.
3O a) Biểu diễn phân số 5116
3927
1
3927
3+
3 + ...
Hỏi trong dạng liên phân số trên có bao nhiêu chữ số 3?
ĐS:
b) Biểu diễn phân số
1393
985
dưới dạng liên phân số như sau
1393
=1+
985
1
2+
1
2 + ...
.
Hỏi trong dạng liên phân số trên có bao nhiêu chữ số 2?
ĐS:
4O Cho B = 27 +
27
15 +
7
2009
1
, biết B = k0 +
1
k1 +
1
k2 + ... +
kn1 +
1
kn
Tìm dãy số k0 , k1 , ..., kn .
ĐS:
1
5O Cho dãy số {un } xác định: u1 = 2 + ;
2
u2 = 2 +
1
1
2+
2
;
1
u3 = 2 +
1
2+
;
...
1
2
Hãy tính giá trị chính xác của u9 và giá trị gần đúng của u15 , u20 . Dự đoán lim un .
2+
n
5741
ĐS: u9 =
; u15 , u20 = 2, 414213562.
2378
6O Cho dãy số {un } xác định như sau:
1
1
1
; u3 = 2 +
;
u1 = 2 + ; u2 = 3 +
1
1
3
2+
3+
1
3
2+
3
1
u4 = 3 +
;
1
2+
1
3+
1
3
= u1 + u2 +
2+
Hãy tìm ít nhất 4 giải thuật trên máy để tính gần đúng u20 , u25 và tổng S27
u3 + ... + u27 .
ĐS:
3.4. Đồng dư số học, ứng dụng của hàm Ơle trong đồng dư số học
Nếu a chia b dư r (hoặc a và r chia b có cùng số dư) thì ta viết a r( mod b).
19
...