Công thức tính Tích có hướng của hai vecto trong không gian cực hay
Bài giảng: Các dạng bài tập hệ trục tọa độ trong không gian - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên Tôi)
1. Định nghĩa:
Trong không gian Oxyz cho hai vecto a=(a1;a2;a3 ) và b=(b1;b2;b3 ). Tích có hướng của hai vecto a và b , kí hiệu là [a , b ], được xác định bởi
Chú ý: Tích có hướng của hai vecto là một vecto, tích vô hướng của hai vecto là một số.
2. Tính chất
+ [a, b ] a ; [a , b ] b
+ [a , b ]=-[b, a ]
+ [i, j ]=k ; [ j , k ]= i ; [k , i ]= j
+ |[ a , b ]|=| a |.| b |.sin( a , b )
+ a , b cùng phương [a , b ]= 0 (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
3. Ứng dụng của tích có hướng (chương trình nâng cao)
+ Điều kiện đồng phẳng của ba vecto:
a , b và c đồng phẳng [ a , b ]. c =0
+ Diện tích hình bình hành ABCD:
SABCD=|[AB ; AD ]|
+ Diện tích tam giác ABC:
SABC=1/2 |[AB ; AC ]|
+ Thể tích khối hộp ABCD.ABCD:
VABCD.A'B'C'D'=|[AB; AD ]. AA' |
+ Thể tích tứ diện ABCD
VABCD=1/3 |[AB ; AC ]. AD |
Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; 1), B(-1; 1; 2), C(-1; 1; 0), D(2; -1; -2).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A
Hướng dẫn:
AB =(-2;1;1); AC =(-2;1; -1); AD =(1; -1; -3)
[AB , AC ]=(-2;-4;0) [ AB , AC ]. AD =20
AB , AC , AD không đồng phẳng.
Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) VABCD=1/6 |[AB , AC ]. AD |=2/6=1/3
Ta có: BC =(0;0; -2), BD =(3; -2; -4)
[ BC , BD ]=(-4; -6;0)SBCD=1/2 |[BC , BD ]|=13
VABCD=1/3 d(A;(BCD)).SBCD
d(A;(BCD))
Bài 2: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(-3; 5; 15), B(0; 0; 7), C(2; -1; 4), D(4; -3; 0). Chứng minh AB và CD cắt nhau.
Hướng dẫn:
+ Ta có: AB =(3; -5; -8); AC =(5; -6; -11);
AD =(7; -8; -15), CD =(2; -2; -4)
[ AB , AC ]=(7;-7;7) [ AB ,(AC) ].(AD) =0
AB , AC , AD đồng phẳng.
A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng (1)
+ [AB , CD ]=(4; -4;4) 0 AB , CD không cùng phương (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB và CD cắt nhau.
Bài 3: : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1; 1; 1), B(2; 1; 2), E(-1; 2; -2), D(3; 1; 2). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DCGH)
Hướng dẫn:
+ AB=(1;0;1), AD=(2;0;1), AE=(-2;1; -3)
[ AB , AD ]=(0;1;0)[ AB , AD ]. AE=1
VABCD.EFGH=|[ AB , AD ]. AE |=1
+ SAEFB=|[ AB , AE ]|=3
SDCGH=SAEFB=3
VABCD.EFGH=d(A;(DCGH)).SDCGH
d(A;(DCGH))
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;2;1), B(1;0;2), C(-1;2;3). Diện tích tam giác ABC là:
A. (35)/2B. 35
C. 45D. 5/2
Đáp án : B
Giải thích :
AB =(3; -2;1); AC =(1;0;2)[AB , AC ]=(-4; -5;2)
SABC=1/2 |[AB , AC ]|=(35)/2
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(-2;1;-1). Thể tích của tứ diện ABCD là:
A. 1B. 2
C. 1/3D. 1/2
Đáp án : D
Giải thích :
AB =(-1; 1;0); AC=(-1;0;1); AD=(-3;1; -1)
[AB , AC ]=(1;1;1) AD . [AB , AC ]=-3
VABCD=1/6 |AD . [AB , AC ]|=1/2
Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0). Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:
A. 5B. 3
C. 42D. 25
Đáp án : A
Giải thích :
AB=(-5; 0;-10); AC=(3;0;-6); BC=(8;0;4)
AB=55;AC=35;BC=45
SABC=1/2 |[ AB , AC ]|=30
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, p là nửa chu vi tam giác
Ta có:
S=pr
r=5
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(2;-1;1), B(5;5;4), C(3;2;-1), D(4;1;3). Thể tích tứ diện ABCD là:
A. 3B. 4
C. 9D. 6
Đáp án : C
Giải thích :
AB=(3; 6;3); AC=(1;3;-2); AD=(2;-2; 2)
[ AB , AC ]=(-21;9;3) AD . [AB , AC ]=-54
VABCD=1/6 |AD . [AB , AC ]|=9
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD. Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD cho bởi công thức nào sau đây:
A.
B.
C.
D.
Đáp án : D
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A là:
A. (230)/5B. (30)/5
C. (10)/5D. (6)/2
Đáp án : B
Giải thích :
AB=(-1; 0;1); AC=(1;1;1)[AB , AC ]=(-1;2;-1)
SABC=1/2 |[ AB , AC ]|=6/2
BC=| BC |=5
SABC=1/2 h.BC h=(2S)/BC=(30)/5
Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.OAMN với S(0;0;1), A(1;1;0), M(m;0;0), N(0;n;0). Trong đó m>0, n>0 và m+n=6. Thể tích hình chóp S.OAMN là:
A. 1B. 2
C. 4D. 6
Đáp án : A
Giải thích :
OA=(1;1;0), OM=(m;0;0), ON=(0;n;0), OS=(0;0;1)
[ OA , OM ]=(0;0; -m) OS . [ OA , OM ]=(0;0; -m)
VS.OAM=1/6 |OS . [OA , OM ]|=m/6
[OA , ON ]=(0;0; m) OS . [OA , OM ]=(0;0; n)
VS.OAN=1/6 |OS . [OA , ON ]|=n/6
Ta có:
VS.OAMN=m/6+n/6=(m+n)/6=1
Bài 8: Cho A(1;-2;0), B(3;3;2), C(-1;2;2), D(3;3;1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng
A. 3B. 4
C. 5D. 6
Đáp án : A
Giải thích :
AB=(2;5-;2); AC=(-2;4;2); AD=(2;5;1)
[AB , AC ]=(2; -8;18) AD . [AB , AC ]=-18
VABCD=1/6 |AD . [AB , AC ]|=3
Bài 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1). Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD là:
A. 5B. 6
C. 7D. 9
Đáp án : D
Giải thích :
Áp dụng công thức:
tính được: h= 9
Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1; 0; 0); B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
A. Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
B. Tam giác ABD là tam giác đều.
C. ABCD
D. Tam giác BCD là tam giác vuông.
Đáp án : D
Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(4;0;0), B(x0;y0;0) với x0>0, y0>0 sao cho OB=8 và góc AOBˆ=600 . Gọi C(0;0;c) với c>0. Để thể tích tứ diện OABC bằng 163 thì giá trị thích hợp của c là:
A. 6B. 3
C. 3D. 63
Đáp án : A
Giải thích :
OA=(4;0;0), OB=(x0;y0;0); OC=(0;0;c)
OB=(x02+y02 )=8 y0=43
OA=(4;0;0); OB=(4;43;0) [ OA , OB ]=(0;0;163)
OC[ OA , OB ]=16c3
VABCD=1/6 |OC [ OA , OB]|=1/6.16c3=163 c=6
Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng:
A. 30B. 40
C. 50D. 60
Đáp án : A
Giải thích :
VABCD=1/6 |AD . [ AB , AC ]|=30
Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) điểm D thuộc Oy và thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ của D là:
Đáp án : C
Giải thích :
D thuộc Oy D(0;y;0)
AB=(1;-1;2); AC=(0;-2;4); AD=(-2;y-1;1)
[AB , AC ]=(0; -4;-2) AD . [AB , AC ]=2-4y
VABCD=1/6 |AD . [ AB , AC ]|=|2-4y|/6=5
|2-4y|=30
Bài 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(0;0;2), B(3;0;5), C(1;1;0), D(4;1;2). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống (ABC) là:
A. (11)B. (11)/11
C. 1D. 11
Đáp án : B
Giải thích :
Ta có AB(3;0;3), AC(1;1;-2), và AD(4;1;0).
Dễ thấy [AB, AC]=(-3;9;3),
nên SABC=1/2|[AB, AC]|
Vậy chiều cao hạ từ đỉnh D của tứ diện là
Bài 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(0; 2; -2); B(-3; 1; -1);
C(4; 3; 0), D(1; 2; m). Tìm m để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Một học sinh giải như sau:
Bước 1: AB=(-3;-1;1), AC=(4;1;2), AD= (1;0;m+2)
Bước 2: [AB, AC]=(-3;10;1)
[AB , AC ]. AD= 3+m+2 = m+5
Bước 3: A, B, C, D đồng phẳng[AB, AC]. AD= 3+m+2 = m+5 = 0 m= -5.
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Đúng.B. Sai từ bước 1.
C. Sai từ bước 2.D. Sai từ bước 3.
Đáp án : C
Giải thích :
Bước 2 sai. Phép tính đúng ở đây phải là [AB, AC] . AD = -3+m +2= m -1.
Bài 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;1), B(0;2;3), C(2;1;0). Độ dài đường cao của tam giác kẻ từ C là:
A. (26)B. (26)/2
C. (26)/3D. 26
Đáp án : C
Giải thích :
AB(-1;2;2), AC(1;1;-1). Độ dài đường cao kẻ từ C của tam giác ABC là:
d(C, AB)
Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD biết A(-2;2;6), B(-3;1;8), C(-1;0;7), D(1;2;3). Gọi H là trung điểm của CD, SH(ABCD). Để khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 27/2(đvtt) thì có hai điểm S1, S2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S2
A. (0; 1; 5) B. (1; 0; 5)
C. (0; -1; -5) D. (-1; 0; -5)
Đáp án : A
Giải thích :
Ta có: AB=(-1;-1;2); AC=(1; -2;1) [AB; AC ]=(3;3;3)
SABC=1/2 |[AB ; AC ]|=(33)/2
DC=(-2; -2;4); AB=(-1;-1;2) DC=2 AB
ABCD là hình thang và SABCD=3SABC=(93)/2
VABCD=1/3 SH.SABCD=27/2 SH=33
Lại có H là trung điểm của CD H (0;1;5)
Gọi S (a; b; c) SH=(-a;1-b;5-c)
Do SH(ABCD) nên SH=k[ AB ; AC]=(3k;3k;3k)
33k=±1
Với k = 1 SH=(3;3;3)S(-3; -2;2)
Với k = -1 SH=(-3;-3;-3)S(3; 4;8)
I(0;1;5)
Bài 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1). Độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ D là:
A. 3B. 1
C. 2D. 1/2
Đáp án : A
Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;1), B(0;2;3), C(2;1;0). Độ dài đường cao của tam giác kẻ từ C là:
A. (26)B. (26)/2
C. (26)/3D. 26
Đáp án : C
Bài 20: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) và D thuộc trục Oy. Biết VABCD=5 và có hai điểm D1(0;y1;0), D2(0;y2;0) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó y1+y2 bằng
A. 1B. 0
C. 2D. 3
Đáp án : A
Giải thích :
D thuộc trục Oy D(0;y;0)
AB=(1; -1;2), AC=(0; -2;4), AD=(-2;y-1;1)
[ AB; AC ]=(0; -4; -2)[AB ; AC ] . AD=-4y+2
VABCD=1/6 |[ AB ; AC ] . AD |=1/6 |-4y+2|=5 y=-7;y=8
D(0; -7;8) và D (0;8;0)
y1+y2= 1
Giới thiệu kênh Youtube Tôi