Mẹo Hướng dẫn Hoành độ, tung độ của một điểm là gì Chi Tiết
Bùi Phương Thảo đang tìm kiếm từ khóa Hoành độ, tung độ của một điểm là gì được Cập Nhật vào lúc : 2022-04-13 02:29:06 . Với phương châm chia sẻ Bí quyết về trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết Mới Nhất. Nếu sau khi đọc tài liệu vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comment ở cuối bài để Tác giả lý giải và hướng dẫn lại nha.
[embed]https://www.youtube.com/watch?v=IWoy3VFpYFU[/embed]
Nội dung chính- 1. Tung là dọc, hoành là ngang2. Trục dọc hay trục đứng?3 Mục lụcHệ tọa độ trên mặt phẳng (2 chiều)Sửa đổiTọa độ vectoSửa đổiTọa độ điểmSửa đổiTìm tọa độ của vecto biết tọa độ điểm đầu và cuốiSửa đổiĐộ dài vecto và khoảng chừng cách giữa 2 điểmSửa đổiGóc giữa 2 vectoSửa đổiMột số biểu thức tọa độSửa đổiHệ tọa độ trong không khí (3 chiều)Sửa đổiTọa độ của điểmSửa đổiTọa độ của vectorSửa đổiLiên hệ giữa tọa độ vectơ và tọa độ điểmSửa đổiĐộ dài vecto và khoảng chừng cách giữa 2 điểmSửa đổiGóc giữa 2 vectoSửa đổiMột số biểu thức tọa độSửa đổiTham khảoSửa đổiĐọc thêmSửa đổiLiên kết ngoàiSửa đổiVideo liên quan
Bạn biết rằng “Hệ tọa độ Oxy gồm 2 trục, trục dọc gọi là trục tung, trục nằm ngang gọi là trục hoành …” và chắc chắn là đã rất rất nhiều lần bạn vẽ hai trục đó. Nhưng bạn có bao giờ thắc mắc “tung” là gì, “hoành” là gì? Nếu chưa thì bạn giống mình rồi đấy!
1. Tung là dọc, hoành là ngang
Kể cũng lạ, học toán, làm toán và dạy toán bao năm nay, số lần vẽ hệ trục tọa độ, vẽ trục tung, vẽ trục hoành có lẽ rằng lên đến mức hàng trăm lần. Nhưng mới gần đây mình mới biết ý nghĩa của hai từ tung và hoành: “Tung là dọc, hoành là ngang” và vì lẽ đó mà người ta mới gọi “Trục dọc là trục tung, trục ngang là trục hoành”.
Bạn đang xem: Hoành độ là gì
Bạn đang xem: Hoành độ là gì
Tung là dọc, hoành là ngang
Điều thú vị, khiến nội dung bài viết này ra đời là ở cái sự mình “phát hiện” ra ý nghĩa của 2 từ tung và hoành, thú vị ở chỗ mình hiểu ý nghĩa của hai từ này sẽ không phải do đọc một tài liệu về toán học nào đó có lý giải về chúng mà là vì đọc một … khổ thơ trong Truyện Kiều:
Một tay thiết kế xây dựng cơ đồBấy lâu bể Sở sông Ngô tung hoànhBó thân về với triều đìnhHàng thần lơ láo phận mình ra đâuÁo xiêm ràng buộc lấy nhauVào luồng ra cúi công hầu mà chiSao bằng riêng một biên thùySức này đã dễ làm gì được nhauChọc trời khuấy nước mặc dầuDọc ngang nào biết trên đầu có ai …1
Khi đọc câu “Bấy lâu bể Sở sông Ngô tung hoành” mình thắc mắc “bể Sở sông Ngô” là gì và khi google thì có một kết quả tìm kiếm cho ra nghĩa của từ “tung hoành”: “Nói hành vi dọc ngang, không chịu khuất phục”,2 thời điểm hiện nay mình vỡ lẽ, hóa ra “tung hoành” là “dọc ngang”.
Xem thêm: Tên Thật Hồ Ngọc Hà - Tiểu Sử Ca Sĩ Người Mẫu Hồ Ngọc Hà
Té ra câu giang hồ hay nói “thuở nào tung hoành ngang dọc” là sai, mà đúng ra phải là “thuở nào tung hoành dọc ngang” :))Thế đấy, thêm một ví dụ nữa đã cho tất cả chúng ta biết mình nên phải tự trau dồi vốn từ nói và văn học hơn thế nữa để hiểu toán học hơn ???? và sẽ không quên “Tung là dọc, hoành là ngang”!
2. Trục dọc hay trục đứng?3
Khi định nghĩa về hệ trục tọa độ Oxy, một số trong những tài liệu viết “Trục đứng được gọi là trục tung”, mình nghĩ dùng từ “trục đứng” không được hợp lý và tổng quát.
Không hợp lý là vì từ “đứng” thể hiện thuộc tính “độ cao” của đối tượng, trong khi nói hệ tọa độ Oxy thì hiển nhiên ta đang nói trên mặt phẳng, mà trên mặt phẳng thì chỉ có 2 chiều là chiều dài và chiều rộng hay chiều dọc và chiều ngang chứ không còn chiều đứng/cao.
Không tổng quát là vì, nếu dùng từ “trục đứng” để nói về một trục trong hệ tọa độ Oxyz thì theo bạn trục nào trong hình vẽ dưới đây là trục đứng Oy và trục nào là trục cao Oz?
Trục nào là trục đứng Oy, trục nào là trục cao Oz?
Trong khi, nếu dùng những từ “trục ngang, trục dọc và trục cao” thì rõ ràng ta sẽ nói ngay trục (3) là trục cao Oz, trục (1) là trục ngang và trục (2) là trục dọc. Vì ngang là “ngang đường, ngang mắt”, dọc là “dọc đường, dọc theo mắt” và cao là “ngước cao”. ????
Một Hệ tọa độ Descartes xác định vị trí của một điểm (point) trên một mặt phẳng (plane) cho trước bằng một cặp số tọa độ (x, y). Trong số đó, x và y là 2 giá trị được xác định bởi 2 đường thẳng được bố trí theo hướng vuông góc với nhau (cùng đơn vị đo). 2 đường thẳng đó gọi là trục tọa độ (coordinate axis) (hoặc đơn giản là trục); trục nằm ngang gọi là trục hoành, trục đứng gọi là trục tung; điểm giao nhau của 2 đường gọi là gốc tọa độ (origin) và nó có mức giá trị là (0, 0).
Hệ tọa độ này là ý tưởng của nhà toán học và triết học người Pháp René Descartes thể hiện vào năm 1637 trong hai nội dung bài viết của ông. Trong phần hai của bài Phương pháp luận (Descartes) (tiếng Pháp: Discours de la méthode, tựa Pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences), ông đã ra mắt ý tưởng mới về việc xác định vị trí của một điểm hay vật thể trên một mặt phẳng bằng phương pháp dùng hai trục giao nhau để đo. Còn trong bài La Géométrie, ông phát triển sâu hơn khái niệm trên.
Descartes là người đã có công hợp nhất đại số và hình học Euclide. Công trình này của ông có ảnh hưởng đến sự phát triển của ngành hình học giải tích, tích phân, và khoa học map.
Ngoài ra, ý tưởng về hệ tọa độ hoàn toàn có thể được mở rộng ra không khí ba chiều (three-dimensional space) bằng phương pháp sử dụng 3 tọa độ Descartes (nói cách khác là thêm một trục tọa độ vào một hệ tọa độ Descartes). Một cách tổng quát, một hệ tọa độ n-chiều hoàn toàn có thể được xây dựng bằng phương pháp sử dụng n tọa độ Descartes (tương đương với n-trục).
Mục lục
- 1 Hệ tọa độ trên mặt phẳng (2 chiều)
- 1.1 Tọa độ vecto
1.2 Tọa độ điểm
1.3 Tìm tọa độ của vecto biết tọa độ điểm đầu và cuối
1.4 Độ dài vecto và khoảng chừng cách giữa 2 điểm
1.5 Góc giữa 2 vecto
1.6 Một số biểu thức tọa độ
- 2.1 Tọa độ của điểm
2.2 Tọa độ của vector
2.3 Liên hệ giữa tọa độ vectơ và tọa độ điểm
2.4 Độ dài vecto và khoảng chừng cách giữa 2 điểm
2.5 Góc giữa 2 vecto
2.6 Một số biểu thức tọa độ
Hệ tọa độ trên mặt phẳng (2 chiều)Sửa đổi
Là 2 trục vuông góc x'Ox và y'Oy mà trên đó đã chọn 2 vectơ đơn vị i → displaystyle vec i , j → displaystyle vec j sao cho độ dài của 2 véc-tơ này bằng nhau
Trục x'Ox (hay trục Ox) gọi là trục hoành.
Trục y'Oy (hay trục Oy) gọi là trục tung.
Điểm O được gọi là gốc tọa độ
Hình 1 - Hệ tọa độ Đề-Các với bốn điểm lần lượt có tọa độ: (2,3) (màu xanh lá cây), (-3,1) (màu xanh đỏ), (-1.5,-2.5) (màu xanh da trời) và (0,0), gốc tọa độ, (màu tím).
Hình 2 - Hệ tọa độ Đề-Các với một đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ và bán kính bằng 2. Đường tròn này còn có phương trình: x2 + y2 = 4.
Hình 3 - Hệ tọa độ Đề-Các với bốn góc phần tư. Các mũi tên ở hai đầu của mỗi trục nhằm mục đích minh họa rằng những trục này trải dài vô tận theo vị trí hướng của mũi tên.
Tọa độ vectoSửa đổi
Nếu a → = x i → + y j → displaystyle vec a=xvec i+yvec j thì cặp số (x;y) được gọi là tọa độ của vecto a → displaystyle vec a . x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của a → displaystyle vec a .
Ký hiệu a → = ( x ; y ) displaystyle vec a=(x;y)
Tọa độ điểmSửa đổi
Mỗi điểm M được xác định bởi một cặp số M(x,y), được gọi là tọa độ điểm M, x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của điểm M
Tính chất:
-
∀
x
≠
0
,
A
(
x
;
0
)
∈
O
x
displaystyle forall xneq 0,A(x;0)in Ox
∀
y
≠
0
,
A
(
0
;
y
)
∈
O
y
displaystyle forall yneq 0,A(0;y)in Oy
Tọa độ của một điểm đó đó là tọa độ của vectơ có điểm cuối là vấn đề đó và điểm đầu là O. Ta có
M
(
x
,
y
)
⇔
O
M
→
=
(
x
;
y
)
displaystyle Mleft(x,yright)Leftrightarrow overrightarrow OM=(x;y)
Tìm tọa độ của vecto biết tọa độ điểm đầu và cuốiSửa đổi
Cho 2 điểm A ( x A ; y A ) displaystyle A(x_A;y_A) và B ( x B ; y B ) displaystyle B(x_B;y_B) , khi đó ta có A B → = ( x B − x A ; y B − y A ) displaystyle overrightarrow AB=left(x_B-x_A;y_B-y_Aright)
Độ dài vecto và khoảng chừng cách giữa 2 điểmSửa đổi
Cho a → = ( a 1 ; a 2 ) displaystyle vec a=(a_1;a_2) , khi đó | a → | = a 1 2 + a 2 2 displaystyle leftvert vec arightvert =sqrt a_1^2+a_2^2 là độ dài của vectơ a → displaystyle vec a
Cho 2 điểm A ( x A ; y A ) displaystyle A(x_A;y_A) và B ( x B ; y B ) displaystyle B(x_B;y_B) , khi đó độ dài đoạn thẳng AB hay khoảng chừng cách giữa A và B là A B = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 displaystyle AB=sqrt left(x_B-x_Aright)^2+left(y_B-y_Aright)^2
Góc giữa 2 vectoSửa đổi
Cho a → = ( a 1 ; a 2 ) displaystyle vec a=(a_1;a_2) và b → = ( b 1 ; b 2 ) displaystyle vec b=(b_1;b_2) . Gọi α displaystyle alpha là góc giữa 2 vecto a → displaystyle vec a và b → displaystyle vec b . Khi đó cos α = a 1 b 1 + a 2 b 2 ( a 1 2 + a 2 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 ) displaystyle cos alpha =a_1b_1+a_2b_2 over sqrt left(a_1^2+a_2^2right)left(b_1^2+b_2^2right)
Một số biểu thức tọa độSửa đổi
Cho a → = ( a 1 ; a 2 ) displaystyle vec a=(a_1;a_2) ta có k a → = ( k a 1 ; k a 2 ) displaystyle kvec a=(ka_1;ka_2)
Cho a → = ( a 1 ; a 2 ) displaystyle vec a=(a_1;a_2) và b → = ( b 1 ; b 2 ) displaystyle vec b=(b_1;b_2) ta có
-
a
→
+
b
→
=
(
a
1
+
b
1
;
a
2
+
b
2
)
displaystyle vec a+vec b=(a_1+b_1;a_2+b_2)
a
→
−
b
→
=
(
a
1
−
b
1
;
a
2
−
b
2
)
displaystyle vec a-vec b=(a_1-b_1;a_2-b_2)
a
→
.
b
→
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
displaystyle vec a.vec b=a_1b_1+a_2b_2
Cho đoạn thẳng AB có A ( x A ; y A ) displaystyle A(x_A;y_A) và B ( x B ; y B ) displaystyle B(x_B;y_B) , Khi đó I ( x A + x B 2 ; y A + y B 2 ) displaystyle Ileft(x_A+x_B over 2;y_A+y_B over 2right) là tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB
Cho △ A B C displaystyle bigtriangleup ABC có A ( x A ; y A ) displaystyle A(x_A;y_A) , B ( x B ; y B ) displaystyle B(x_B;y_B) và C ( x C ; y C ) displaystyle C(x_C;y_C) , khi đó G ( x A + x B + x C 3 ; y A + y B + y C 3 ) displaystyle Gleft(x_A+x_B+x_C over 3;y_A+y_B+y_C over 3right) là tọa độ trọng tâm của △ A B C displaystyle bigtriangleup ABC
Hệ tọa độ trong không khí (3 chiều)Sửa đổi
Là 3 trục vuông góc nhau từng đôi một x'Ox, y'Oy, z'Oz mà trên đó đã chọn 3 véc-tơ đơn vị i → displaystyle vec i , j → displaystyle vec j , k → displaystyle vec k sao cho độ dài của 3 véc-tơ này bằng nhau
Trục x'Ox (hay trục Ox) gọi là trục hoành.
Trục y'Oy (hay trục Oy) gọi là trục tung.
Trục z'Oz (hay trục Oz) gọi là trục cao.
Điểm O được gọi là gốc tọa độ
3 trục tọa độ nói trên vuông góc với nhau tạo thành 3 mặt phẳng tọa độ là Oxy, Oyz và Ozx vuộng góc với nhau từng đôi một
Tranh 4 - Hệ tọa độ Descartes ba chiều với trục y có chiều chạy xa người xem.
Tranh 5 - Hệ tọa độ Descartes ba chiều với trục x có chiều chạy về phía người xem.
Tranh 6 - The left-handed orientation is shown on the left, and the right-handed on the right.
Tranh 7 - The right-handed Cartesian coordinate system indicating the coordinate planes.
Tọa độ của điểmSửa đổi
Trong không khí, mỗi điểm M được xác định bởi bộ số M(x,y,z). và ngược lại, bộ số đó được gọi là tọa độ của điểm M, x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ và z được gọi là cao độ của điểm M.
Tính chất
-
∀
x
y
≠
0
,
A
(
x
,
y
,
0
)
∈
O
x
y
displaystyle forall xyneq 0,A(x,y,0)in Oxy
∀
x
z
≠
0
,
A
(
x
,
0
,
z
)
∈
O
x
z
displaystyle forall xzneq 0,A(x,0,z)in Oxz
∀
y
z
≠
0
,
A
(
0
,
y
,
z
)
∈
O
y
z
displaystyle forall yzneq 0,A(0,y,z)in Oyz
∀
x
≠
0
,
M
(
x
;
0
;
0
)
∈
O
x
displaystyle forall xneq 0,M(x;0;0)in Ox
∀
y
≠
0
,
M
(
0
;
y
;
0
)
∈
O
y
displaystyle forall yneq 0,M(0;y;0)in Oy
∀
z
≠
0
,
M
(
0
;
0
;
z
)
∈
O
z
displaystyle forall zneq 0,M(0;0;z)in Oz
Tọa độ của vectorSửa đổi
Trong không khí, cho vectơ a → = x i → + y j → + z k → displaystyle vec a=xvec i+yvec j+zvec k , khi đó bộ số (x;y;z) được gọi là tọa độ của vecto a → displaystyle vec a .
Ký hiệu: a → = ( x ; y ; z ) displaystyle vec a=(x;y;z)
Liên hệ giữa tọa độ vectơ và tọa độ điểmSửa đổi
Cho 2 điểm A ( x A ; y A ; z A ) displaystyle A(x_A;y_A;z_A) và B ( x B ; y B ; z B ) displaystyle B(x_B;y_B;z_B) , khi đó ta có A B → = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) displaystyle overrightarrow AB=left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_Aright)
Cho điểm M ( x M ; y M ; z M ) displaystyle M(x_M;y_M;z_M) , khi đó ta có O M → = ( x M ; y M ; z M ) displaystyle vec OM=(x_M;y_M;z_M) và ngược lại
Độ dài vecto và khoảng chừng cách giữa 2 điểmSửa đổi
Cho a → = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) displaystyle vec a=(a_1;a_2;a_3) , khi đó | a → | = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 displaystyle leftvert vec arightvert =sqrt a_1^2+a_2^2+a_3^2 là độ dài của vectơ a → displaystyle vec a
Cho 2 điểm A ( x A ; y A ; z A ) displaystyle A(x_A;y_A;z_A) và B ( x B ; y B ; z B ) displaystyle B(x_B;y_B;z_B) , khi đó độ dài đoạn thẳng AB hay khoảng chừng cách giữa A và B là A B = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2 displaystyle AB=sqrt (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2
Góc giữa 2 vectoSửa đổi
Cho a → = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) displaystyle vec a=(a_1;a_2;a_3) và b → = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) displaystyle vec b=(b_1;b_2;b_3) . Gọi α displaystyle alpha là góc giữa 2 vecto a → displaystyle vec a và b → displaystyle vec b . Khi đó
cos ( α ) = a → . b → | a → | | b → | = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ( a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 ) displaystyle cos(alpha )=vec a.vec b over leftvert vec arightvert leftvert vec brightvert =a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 over sqrt (a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)
sin α = | [ a → ; b → ] | | a → | | b → | displaystyle sin alpha =leftvert [vec a;vec b]rightvert over leftvert vec arightvert leftvert vec brightvert
Một số biểu thức tọa độSửa đổi
Cho a → = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) displaystyle vec a=(a_1;a_2;a_3) ta có k a → = ( k a 1 ; k a 2 ; k a 3 ) displaystyle kvec a=(ka_1;ka_2;ka_3)
Cho a → = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) displaystyle vec a=(a_1;a_2;a_3) và b → = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) displaystyle vec b=(b_1;b_2;b_3) ta có
-
a
→
+
b
→
=
(
a
1
+
b
1
;
a
2
+
b
2
;
a
3
+
b
3
)
displaystyle vec a+vec b=(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3)
a
→
−
b
→
=
(
a
1
−
b
1
;
a
2
−
b
2
;
a
3
−
b
3
)
displaystyle vec a-vec b=(a_1-b_1;a_2-b_2;a_3-b_3)
a
→
.
b
→
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
displaystyle vec a.vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3
[
a
→
,
b
→
]
=
(
|
a
2
a
3
b
2
b
3
|
;
|
a
3
a
1
b
3
b
1
|
;
|
a
1
a
2
b
1
b
2
|
)
displaystyle left[vec a,vec bright]=big (beginvmatrixa_2&a_3\b_2&b_3endvmatrix;beginvmatrixa_3&a_1\b_3&b_1endvmatrix;beginvmatrixa_1&a_2\b_1&b_2endvmatrix)
Cho đoạn thẳng AB có A ( x A ; y A ; z A ) displaystyle A(x_A;y_A;z_A) và B ( x B ; y B ; z B ) displaystyle B(x_B;y_B;z_B) , Khi đó I ( x A + x B 2 ; y A + y B 2 ; z A + z B 2 ) displaystyle Ileft(x_A+x_B over 2;y_A+y_B over 2;z_A+z_B over 2right) là tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB
Cho △ A B C displaystyle bigtriangleup ABC có A ( x A ; y A ; z A ) displaystyle A(x_A;y_A;z_A) , B ( x B ; y B ; z B ) displaystyle B(x_B;y_B;z_B) và C ( x C ; y C ; z C ) displaystyle C(x_C;y_C;z_C) , khi đó G ( x A + x B + x C 3 ; y A + y B + y C 3 ; z A + z B + z C 3 ) displaystyle Gleft(x_A+x_B+x_C over 3;y_A+y_B+y_C over 3;z_A+z_B+z_C over 3right) là tọa độ trọng tâm của △ A B C displaystyle bigtriangleup ABC
Tham khảoSửa đổi
Sách giáo khoa Toán 7 tập 1 Sách giáo khoa Hình học lớp 10 Sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao Sách giáo khoa Hình học lớp 12 Sách giáo khoa Hình học lớp 12 nâng cao
Đọc thêmSửa đổi
- Không gian nhiều chiều
Hình học phi Euclide
Không-thời gian
Hệ tọa độ cực
Hình học Euclid
Liên kết ngoàiSửa đổi
Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về Hệ tọa độ Descartes.- Weisstein, Eric W., "Cartesian Coordinates" từ MathWorld.
Đại số vectơ và phương pháp tọa độ Lưu trữ 2006-06-22 tại Wayback Machine
