Mẹo về Tìm thông số góc của phương trình tiếp tuyến Mới Nhất
Cao Ngọc đang tìm kiếm từ khóa Tìm thông số góc của phương trình tiếp tuyến được Cập Nhật vào lúc : 2022-05-02 17:01:50 . Với phương châm chia sẻ Kinh Nghiệm Hướng dẫn trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi tham khảo nội dung bài viết vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại phản hồi ở cuối bài để Mình lý giải và hướng dẫn lại nha.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là dạng toán thường xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia. Đây là dạng toán không khó, vì vậy nó là thời cơ không thể bỏ qua để những em có điểm từ dạng toán này.
Đang xem: Viết phương trình tiếp tuyến biết thông số góc
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có một số trong những dạng toán mà tất cả chúng ta thường gặp như: Viết phương trình tiếp tiếp tại 1 điểm (tiếp điểm); Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm; Viết phương trình tiếp tuyến lúc biết thông số góc k,…
I. Lý thuyết cần nhớ để viết phương trình tiếp tuyến
• Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
– Đạo hàm của hàm số y=f(x)”>y=f(x) tại điểm x0″>x0 là thông số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C)”>(C) của hàm số tai điểm M(x0;y0)”>M(x0;y0).
– Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C)”>(C) tại điểm M(x0;y0)”>M(x0;y0) là: y=y′(x0)(x−x0)+y0″>y=y′(x0)(x−x0)+y0
– Nguyên tắc chung để viết được phương trình tiếp tuyến (PTTT) là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0″>x0.
x0″>II. Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến
° Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến TẠI 1 ĐIỂM (biết Tiếp Điểm)
x0″>* Phương pháp:
x0″>- Bài toán: Giả sử cần viết PTTT của đồ thị (C): y=f(x) tại điểm M(x0;y0)
x0″>+ Bước 1: Tính đạo hàm y”=f”(x) ⇒ thông số góc của tiếp tuyến k=y”(x0)
x0″>+ Bước 2: PTTT của đồ thị tại điểm M(x0;y0) có dạng: y=y”(x0)(x-x0)+y0
x0″>* Lưu ý, một số trong những bài toán đưa về dạng này như:
– Nếu đề cho (hoành độ tiếp điểm x0) thì tìm y0 bằng phương pháp thế vào hàm số ban đầu, tức là: y0=f(x0)
– Nếu đề cho (tung độ tiếp điểm y0) thì tìm x0 bằng phương pháp thế vào hàm số ban đầu, tức là: f(x0)=y0
– Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại những giao điểm của đồ thị (C): y=f(x) và đường đường thẳng (d): y=ax+b. Khi đó, những hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (C).
– Trục hoành Ox: y=0; trục tung Oy: x=0.
* Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x3+2×2 tại điểm M(-1;1)
° Lời giải:
– Ta có: y”=3×2 + 4x nên suy ra y”(x0) = y”(-1) = 3.(-1)2 + 4.(-1) = -1
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-1;1) là:
y = y”(x0)(x – x0) + y(x0) ⇔ y = (-1).(x – (-1)) + 1 = -x
– Vậy PTTT của (C) tại điểm M(-1;1) là: y = -x.
* Ví dụ 2: Cho điểm M thuộc đồ thị (C):
và có hoành độ bằng -1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M.
° Lời giải:
– Ta có: x0 = -1 ⇒ y0 = y(-1) = 1/2.
– Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M của (C) là:
* Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành của hàm số (C): y =x4 – 2×2.
* Lời giải:
– Ta có y” = 4×3 – 4x = 4x(x2 – 1)
– Giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục hoành (Ox) là:
– Như vậy, giờ bài toán trở thành viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị thàm số tại 1 điểm.
– Với x0 = 0 ⇒ y0 = 0 và k = y”(x0) = 0
⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (0; 0) có thông số góc k = 0 là: y = 0.
– Với
và
⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (√2; 0) có thông số góc k = 4√2 là:
– Với
và
⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (-√2; 0) có thông số góc k = -4√2 là:
– Vậy có 3 tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là:
y = 0; y = 4√2x – 8 và y = -4√2x – 8
° Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến ĐI QUA 1 ĐIỂM
x0″>* Phương pháp:
– Bài toán: Giả sử cần viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yA)
* Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị
+ Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(xA;yA) có thông số góc k có dạng:
d: y=k(x-xA)+yA (*)
+ Bước 2: Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
+ Bước 3: Giải hệ trên, tìm được x từ đó tìm được k và thế vào phương trình (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
* Cách 2: Sử dụng PTTT tại 1 điểm
+ Bước 1: Gọi M(x0;f(x0)) là tiếp điểm, tính thông số góc tiếp tuyến k=f”(x0) theo x0.
+ Bước 2: Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y=f”(x0)(x-x0)+f(x0) (**)
Vì điểm A(xA;yA) ∈ (d) nên yA=f”(x0)(xA-x0)+f(x0) giải phương trình này tìm được x0.
+ Bước 3: Thay x0 tìm được vào phương trình (**) ta được PTTT cần viết.
* Ví dụ 1: Viết Phương trình tiếp tuyến của (C): y = -4×3 + 3x + 1 đi qua điểm A(-1;2).
° Lời giải:
– Ta có: y” = -12×2 + 3
– Đường thẳng d đi qua A(-1;2) có thông số góc k có phương trình là: y = k(x + 1) + 2
– Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
– Từ hệ trên thay k ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được:
⇔ x = -1 hoặc x = 1/2.
• Với x = -1 ⇒ k = -12.(-1)2 + 3 = -9. Phương trình tiếp tuyến là: y = -9x – 7
• Với x = 1/2 ⇒ k = -12.(1/2)2 + 3 = 0. Phương trình tiếp tuyến là: y = 2
• Vậy đồ thị (C) có 2 tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;2) là: y = -9x – 7 và y = 2.
* Ví dụ 2: Viết Phương trình tiếp tuyến của (C):
đi qua điểm A(-1;4).
Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Định Dạng Trang In Trong Excel 2010, Định Dạng Và In Ấn Trong Microsoft Excel
° Lời giải:
– Điều kiện: x≠1; Ta có:
– Đường thẳng (d) đi qua A(-1;4) có thông số góc k có phương trình: y = k(x + 1) + 4
– Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
– Từ hệ trên thay k ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được:
– Ta thấy x = -1 (loại), x = -4 (nhận)
– Với x = -4 ⇒
phương trình tiếp tuyến là:
° Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến lúc biết Hệ số góc k
x0″>* Phương pháp:
– Bài toán: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). Viết PTTT của (d) với đồ thị (C) với thông số góc k cho trước.
+ Bước 1: Gọi M(x0;y0) là tiếp điểm và tính y”=f”(x)
+ Bước 2: Khi đó,
– Hệ số góc của tiếp tuyến là: k=f”(x0)
– Giải phương trình k=f”(x0) này ta tìm được x0, từ đó tìm được y0.
+ Bước 3: Với mỗi tiếp điểm ta viết được phương trình tiếp tuyến tương ứng:
(d): y=y”0(x-x0)+y0
* Lưu ý: Đề bài thường cho thông số góc tiếp tuyến dưới những dạng sau:
• Tiếp tuyến song song với 1 đường thẳng, ví dụ, d//Δ: y=ax+b ⇒k=a. Sau khi lập được PTTT thì cần kiểm tra lại tiếp tuyến có trùng với đường thẳng Δ hay là không? nếu trùng thì loại kết quả đó.
• Tiếp tuyến vuông góc với 1 đường thẳng, ví dụ, d⊥Δ: y=ax+b ⇒k.a=-1 ⇒k=-1/a.
• Tiếp tuyến tạo với trục hoành 1 góc α thì k=±tanα.
* Tổng quát: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng Δ: y=ax+b một góc α, khi đó:
* Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x3 – 3x + 2 có thông số góc bằng 9.
° Lời giải:
– Ta có: y” = 3×2 – 3. Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M(x0;y0)
⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là: k = y”(x0)
⇔
– Với x0 = 2 ⇒ y0 = (2)3 – 3.(2) + 2 = 4 ta có tiếp điểm M1(2;4)
Phương trình tiếp tuyến tại M1 là d1:
– Với x0 = -2 ⇒ y0 = (-2)3 – 3.(-2) + 2 = 0 ta có tiếp điểm M2(-2;0)
Phương trình tiếp tuyến tại M2 là d2:
– Kết luận: Vậy đồ thị hàm số (C) có 2 tiếp tuyến có thông số góc bằng 9 là:
(d1): y = 9x – 14 và (d2): y = 9x + 18.
* Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):
song sóng với đường thẳng Δ: 3x – y + 2 = 0.
° Lời giải:
– Ta có:
; và
– Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M(x0;y0), khi đó thông số góc của tiếp tuyến là:
– Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ: y = 3x + 2 nên ta có:
• Với x0 = -1 thì
ta có tiếp điểm M1(-1;-1)
– Phương trình tiếp tuyến tại M1 là (d1): y = 3(x + 1) – 1 ⇔ y = 3x + 2
Đối chiếu với phương trình đường Δ ta thấy d1≡Δ nên loại.
• Với x0 = -3 thì
ta có tiếp điểm M2(-3;5)
– Phương trình tiếp tuyến tại M2 là (d2): y = 3(x + 3) + 5 ⇔ y = 3x + 14
• Vậy đồ thị (C) có một tiếp tuyến // với Δ là (d2): y = 3x + 14
* Ví dụ 3: Cho hàm số (C): y = -x4 – x2 + 6. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng (Δ):
* Lời giải:
– Gọi đườn thẳng (d) có thông số góc k là tiếp tuyến của (C) vuông góc với (Δ) có dạng: y = kx + b
– Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với đường thẳng (Δ): nên suy ra k = -6; khi đó pttt (d) có dạng: y = -6x + b.
– Để (d) tiếp xúc với (C) thì hệ sau phải có nghiệm:
⇒ phương trình tiếp tuyến (d) của (C) vuông góc với (Δ) là: y = -6x + 10.
* Cách giải khác:
– Ta có thông số góc của tiếp tuyến (d) với đồ thị (C) là y” = -4×3 – 2x.
– Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với (Δ): nên:
(vì 2×2 + 2x + 3 > 0, ∀x).
– Với x = 1 suy ra y = -14 – 12 + 6 = 4 và y”(1) = -4.13 – 2.1 = -6.
⇒ Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1;4) là: y = -6(x – 1) + 4 = -6x + 10.
° Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến có chứa tham số m
x0″>* Phương pháp:
– Vận dụng phương pháp giải một trong những dạng toán ở trên sau đó giải và biện luận để tìm giá trị của tham số thỏa yêu cầu bài toán.
* Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3×2 có đồ thị (C). Gọi M là vấn đề thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng Δ: y = (mét vuông – 4)x + 2m – 1.
° Lời giải:
– TXĐ: D = R
– Ta có: y” = 3×2 – 6x
– Điểm M có hoành độ x0 = 1 ⇒
. Vậy điểm tọa độ điểm M(1;-2)
– Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M(1;-2) của (C) có dạng:
y – y0 = y”(x0)(x – x0) ⇔ y + 2 = (3.12 – 6.1)(x – 1) ⇔ y = -3x + 1
– Khi đó để (d) // Δ
– Khi đó pt đường thẳng Δ: y = -3x + 3
– Vậy, với m = -1 thì tiếp tuyến (d) của (C) tại M(1;-2) song sóng với Δ.
Xem thêm: bài tập số hữu tỉ lớp 7 violet
* Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m + 2 có đồ thị (C). Gọi A là vấn đề thuộc (C) có hoành độ bằng 1. Tìm giá trị của m để tiếp tuyến của (C) tại A vuông góc với đường thẳng Δ: x – 4y + 1 = 0.
Xem thêm nội dung bài viết thuộc phân mục: Phương trình
