Thủ Thuật về Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)=-x^3+x tại điểm m(-2 6) Mới Nhất
Lê Thùy Chi đang tìm kiếm từ khóa Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)=-x^3+x tại điểm m(-2 6) được Cập Nhật vào lúc : 2022-05-09 09:45:16 . Với phương châm chia sẻ Bí kíp về trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết Mới Nhất. Nếu sau khi Read tài liệu vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comments ở cuối bài để Tác giả lý giải và hướng dẫn lại nha.
VnHocTap.com ra mắt đến những em học viên lớp 12 nội dung bài viết Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) có thông số góc k cho trước, nhằm mục đích giúp những em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung nội dung bài viết Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) có thông số góc k cho trước: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) có thông số góc k cho trước. Phương pháp: Bước 1. Gọi M(x – y) là tiếp điểm và tính y = f(x). Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k = f'(x). Giải phương trình này tìm được x, thay vào hàm số được y. Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được những tiếp tuyến tương ứng. Chú ý: Đề bài thường cho thông số góc tiếp tuyến dưới những dạng sau: Tiếp tuyến d || A thông số góc của tiếp tuyến là k = a. Tiếp tuyến du: thông số góc của tiếp tuyến là k. Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc a thì thông số góc của tiếp tuyến d. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO: Ta đã biết b đã chứng tỏ ở phần trước, nhấn dấu = ta được b. Phương trình tiếp tuyến là d. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Cho hàm số (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) biết thông số góc của tiếp tuyến đó bằng 9 là: Phương trình tiếp tuyến tại M là tiếp điểm N(-2; 0). Phương trình tiếp tuyến tại N là y. Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y. Bài toán 2: Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình 4.
Bài toán 3: [Thi thử chuyên Quốc Học Huế lần 1 năm 2017] Sao cho tiếp tuyến của X + 1. Tìm tọa độ của tất cả những điểm M trên đồ thị (C) của hàm số y = (C) tại M song song với đường thẳng d.
VnHocTap.com ra mắt đến những em học viên lớp 12 nội dung bài viết Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0;y0), nhằm mục đích giúp những em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung nội dung bài viết Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0;y0): Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M (x; y). Phương pháp giải Thực hiện theo tiến trình sau. Bước 1: Tính y = f'(x) và f'(x). Bước 2: Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = f'(x)(x – x) + y. Bước 3: Thực hiện những yêu cầu còn sót lại của bài toán. Kết luận. Chú ý: Nếu bài toán chỉ cho x, thì ta cần tìm y = f(x) và f'(x). Nếu bài toán chỉ cho y thì ta cần tìm x, bằng phương pháp giải phương trình f(x). Giá trị f'(x) là thông số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x; y). Bài tập 1. Gọi M là vấn đề thuộc đồ thị hàm số (C): y = -xt có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M cắt những trục Ox, Oy lần lượt tại A, B. Diện tích tam giác OAB bằng Phương trình tiếp tuyến tại M(2; 5) là d: y = -3x + 11. Bài tập 2. Cho hàm số y. Biết rằng a và b là những giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(1; -2) song song với đường thẳng d: 3x + y = 4. Khi đó giá trị của a – 3b. Mặt khác A(1; -2) thuộc đồ thị hàm số nên T = 2. Khi đó ta có hệ. Với a = 2 b = -1 = ab = -2. Với a = 1 + b = 1 (thỏa mãn điều kiện). Khi đó ta có hàm số y nên phương trình tiếp tuyến là y = -3x + 1 song song với đường thẳng y = -3x + 4. Vậy a – 3b = –2. Bài tập 3. Trong tất cả những đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số y = -x – 3x + 3x + 1 thì đường thẳng d có thông số góc lớn số 1. Phương trình đường thẳng d là. Gọi M(x + y) thuộc đồ thị hàm số. Khi đó thông số góc của tiếp tuyến tại M(x + y) là k = -3×3 – 6x. Phương trình đường thẳng d là y = 6(x + 1)- 4y = 61 + 2. Nhận xét: Đối với hàm số bậc ba y thì tiếp tuyến có thông số góc lớn số 1 (nhỏ nhất) là tiếp tuyến tại điểm tốn của đồ thị là nghiệm của phương trình y = 0. Nếu a > 0 thì thông số góc k = f'(x) là nhỏ nhất. Nếu a < 0 thì thông số góc k = f'(x) là lớn số 1. Bài tập 4. Cho hàm số y = x – 2x + (m – 1)x + 2m có đồ thị (C). Giá trị thực của tham số m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường thẳng y = 3x + 10 là. Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 1 có phương trình là y = (m – 2)(x – 1) + 3m – 2. Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x + 10 nên (vô lý). Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài tập 5. Cho hàm số f(x). Gọi K là thông số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M có hoành độ x = 1. Tất cả những giá trị thực của tham số m để thỏa mãn k. Bài tập 6. Cho hàm số y = x + 3mx + (m + 1)x + 1, với m là tham số thực, có đồ thị (C). Biết rằng khi m thì tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ A = -1 đi qua A(1; 3). Mệnh đề nào sau đây đúng? Gọi B là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A(1; 3) khi m = m. Tiếp tuyến tại B của (C) có phương trình là y. Do tiếp tuyến đi qua A(1; 3).
Bài tập 7. Cho hàm số y có đồ thị (C). Gọi M là một điểm thuộc (C) có tầm khoảng chừng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng chừng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O và có tọa độ nguyên. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là. Theo giả thiết thì M không trùng với gốc tọa độ O và có tọa độ nguyên nên a = 44, M (4; -8). Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -8. Bài tập 8. Cho hàm số y = 14 có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = -2x + m – 1 (m là tham số thực). Gọi x, k là thông số góc tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của d và (C). Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d). Để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác –2. Vậy (C) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt A(x; y) và B(x, y), với x, y là nghiệm của phương trình (1). Bài tập 9. Cho hàm số y có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là vấn đề thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Giá trị của tham số thực m để tiếp tuyến A của đồ thị (C) tại A cắt đường tròn (y) tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất là.
Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn! Quảng cáo
*Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x0 là thông số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0(x0; f(x0) ).
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 là:
y–y0=f' (x0).(x–x0)
Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M(x0; f(x0)).
- Tính đạo hàm của hàm số y= f(x)
⇒ f’( x0).
-Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại M( x0;y0) là:
y- y0= f’(x0) ( x- x0)
Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) biết hoành độ tiếp điểm x= x0.
+ Tính y0= f(x0).
+ Tính đạo hàm của hàm số ⇒ f^' (x0 )
⇒ phương trình tiếp tuyến: y- y0= f’(x0) ( x- x0)
Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) biết tung độ tiếp điểm bằng y0.
+ Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm
+ Giải phương trình f(x)= y0 ta tìm được những nghiệm x0.
+ Tính đạo hàm của hàm số ⇒ f'(x0)
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Ví dụ 1. Cho hàm số y= x3- 2x+ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M( 0;1 )
A. y= 2x+ 3 B. y= -2x + 1 C.y= 4x+1 D. y= - 4x+1
Quảng cáo
Hướng dẫn giải
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y'= 3x2- 2
⇒ y'(0)= -2
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M( 0;1) là:
y- 1= -2(x-0) hay y= -2x + 1
Chọn B.
Ví dụ 2. Cho hàm số y= x2 + 2x - 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là một trong?
A. y= 2x+1 B. y= - 6x+ 1 C. y= 4x- 7 D. y= 3x-
Hướng dẫn giải
+ Ta có: y(1) = 12+ 2.1 – 6= -3
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’(x)= 2x+ 2
⇒ y’(1) = 2.1+ 2= 4
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x= 1 là:
y+ 3= 4( x- 1) hay y= 4x- 7
Chọn C.
Ví dụ 3. Cho hàm số y= x3 + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2?
A. y= 4x+ 2 B. y = - 2x+ 1 C. y= 3x+ 1 D. y= 6x+ 1
Hướng dẫn giải
+ Xét phương trình: x3+ 4x+ 2= 2
⇔ x3+ 4x = 0 ⇔x= 0
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’ = 3x2 + 4
⇒ y’( 0) = 4
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2:
y- 2= 4( x – 0) hay y= 4x+ 2
Chọn A.
Ví dụ 4. Cho hàm số y= - x3 + 2x2+ 2x+1 có đồ thị (C). Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A?
A. y= - 2x+ 1 B. y= 3x- 2 C. y= 4x+ 1 D. y= 2x+ 1
Hướng dẫn giải
+ Do A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung nên tọa độ điểm A( 0; 1) .
+ Đạo hàm y’= - 3x2+ 4x + 2
⇒ y’( 0) = 2
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là:
y- 1= 2( x- 0) hay y= 2x+ 1
chọn D.
Quảng cáo
Ví dụ 5. Cho hàm số y= x2- 3x+ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành ?
A. y= -x+ 1 và y= x - 2 B. y= x+ 1 và y= - x+ 3
C. y= - 2x + 1 và y= x- 2 D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là nghiệm phương trình :
x2- 3x+2 = 0
Vậy đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại hai điểm là A( 1; 0) và B( 2; 0).
+ Đạo hàm của hàm số đã cho: y’= 2x- 3
+ Tại điểm A( 1; 0) ta có: y’( 1)= - 1
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A là:
y- 0= -1( x-1) hay y= - x+ 1
+ tại điểm B( 2; 0) ta có y’( 2)= 1
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B là :
y- 0= 1( x- 2) hay y= x- 2
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: y= -x+ 1 và y= x- 2
Chọn A.
Ví dụ 6. Cho hai tuyến đường thẳng d1: 2x+ y- 3= 0 và d2: x+ y – 2= 0. Gọi A là giao điểm của hai tuyến đường thẳng đã cho. Cho hàm số y= x2+ 4x+ 1 có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A.
A. y= 3x- 5 B.y= 6x+ 1 C. y= 6x – 5 D. y= 2x+ 1
Hướng dẫn giải
+ Giao điểm của hai tuyến đường thẳng d1 và d2 là nghiệm hệ phương trình:
Vậy hai tuyến đường thẳng đã cho cắt nhau tại A( 1; 1).
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’= 2x+ 4
⇒ y’( 1) = 6.
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C) tại điểm A( 1; 1) là:
y-1= 6( x- 1) hay y= 6x- 5
Chọn C.
Ví dụ 7. Cho hàm số y =x4+ 2x2+ 1 có đồ thị ( C). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ nguyên dương nhỏ nhất. Đường thẳng d song song với đường thẳng nào?
A. y= - 6x B. y= 8x C. y= - 10x D. y= 12x
Hướng dẫn giải
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’= 4x3+ 4x
+ Số nguyên dương nhỏ nhất là một trong. Ta viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm có hoành độ là một trong.
+ ta có; y’(1)= 8 và y(1)=4
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C) tại điểm có hoành độ là một trong là:
y- 4= 8( x- 1) hay y= 8x- 4
⇒ Đường thẳng d song song với đường thẳng y= 8x
Chọn B.
Ví dụ 8.Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=( x- 1)2( x- 2) tại điểm có hoành độ x= 2 là
A. y= - 2x- 1 B. y= x+ 1 C. y= 3x+ 1 D. y= x- 2
Hướng dẫn giải
+Gọi M(x0 ; y0) là tọa độ tiếp điểm.
Từ x0=2 ⇒ y0= 0
+ Ta có : y= (x-1)2( x-2)= ( x2-2x+ 1) ( x- 2)
Hay y= x3- 4x2+ 5x- 2
⇒ Đạo hàm của hàm số đã cho là : y’= 3x2- 8x + 5
⇒ y’(2)= 1
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
y- 0= 1( x- 2) hay y= x- 2
chọn D.
Ví dụ 9. Cho hàm số y= (x-2)/(2x+1). Phương trình tiếp tuyến tại A( -1; 3) là
A. y= 5x+ 8 B. y= - 2x+3 C. y= 3x+ 7 D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Đạo hàm của hàm số đã cho là;
Ví dụ 10 .Cho hàm số y=2x+m+1/x-1 (C). Tìm m để tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0= 0 đi qua A(4; 3)
Hướng dẫn giải
Ví dụ 11:Cho hàm số y=1/3 x3+x2-2 có đồ thị hàm sô (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y"=0 là
Hướng dẫn giải
Ta có y'=x2 +2x và y''=2x+2
Theo giả thiết x0 là nghiệm của phương trình
⇔2x+2=0⇔x0=-1
Và y’(-1)=-1
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(-1;-4/3)là: y= -1.(x+1)- 4/3
Hay y=-x-7/3
Chọn A.
Câu 1: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y= 2x2+ 4x- 2. Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm mà (P) cắt trục tung là:
A. y= 2x- 1 B. y= 3x+ 6 C. y= 4x- 2 D. y= 6x+ 3
Hiển thị lời giải
Ta có : (P) cắt trục tung tại điểm M( 0 ; -2)
Đạo hàm của hàm số đã cho : y’= 4x + 4
Hệ số góc tiếp tuyến : y’(0) = 4
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (P) tại M(0 ; -2) là
y+ 2= 4( x- 0) hay y= 4x – 2
chọn C.
Câu 2: Đồ thị (C) của hàm số y= (x2-2)/(x+2) cắt trục tung tại điểm A. Tiếp tuyến của (C) tại điểm A có phương trình là:
A. = 1/4 x+1 B. y= 1/2 x-1 C. y= -1/2 x-3 D. y= 2x- 1
Hiển thị lời giải
Ta có đồ thị ( C) cắt trục tung tại điểm A nên tọa độ A(0 ; -1)
Đạo hàm của hàm số đã cho là :
Câu 3: Cho hàm số y= (2-2x)/(x+1) có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục hoành là:
A. y=2x+ 2 B. y= 4x- 3 C.y= -x+ 1 D. y= - 2x- 1
Hiển thị lời giải
Giao điểm của (H) với trục hoành là nghiệm hệ phương trình:
Câu 4: Gọi (C) là đồ thị hàm số y= x4 – 2x2+ 1. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những giao điểm của (C) với hai trục toạ độ?
A.0 B. 1 C. 2 D. 3
Hiển thị lời giải
+ Giao điểm của đồ thị hàm số ( C) với trục hoành là nghiệm hệ phương trình:
Vậy đồ thị hàm số ( C) cắt trục hoành tại hai điểm là A(1;0) và B( -1; 0). Tương ứng với hai điểm này ta viết được hai phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
+ giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục tung là nghiệm hệ phương trình
Vậy đồ thị hàm số (C) cắt trục tung tại một điểm là C(0; 1).
Vậy có ba tiếp tuyến thỏa mãn đầu bài.
Chọn C.
Câu 5: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y= 2x3- 3x+ 1 tại giao điểm của (H) với đường thẳng d: y= - x+ 1
A. y= 3x- 2 và y= - 2x+ 1 B. y= - 3x+1 và y= 3x- 2
C. y=3x- 3 và y= - 2x+ 1 D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
+ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số ( C) và đường thẳng d là:
2x3-3x + 1= - x+ 1
⇔2x3- 2x= 0 ⇔ 2x( x- 1) ( x+ 1) =0
+ Vậy đồ thị hàm số (C) cắt đường thẳng d tại ba điểm là A(0; 1); B( - 1; 2) và C( 1; 0)
+ Đạo hàm của hàm số: y’= 6x2- 3
+ Tại điểm A( 0; 1) ta có y’(0) = - 3
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là;
y- 1 = -3( x- 0) hay y= - 3x+ 1
+ Tại điểm B( -1; 2) ta có: y’(-1) = 3
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm B là:
y- 2= 3( x+ 1) hay y= 3x + 5
+ tại điểm C( 1; 0) ta có y’(1)=3.
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm C là :
y-0= 3( x- 1) hay y= 3x – 3
chọn D.
Câu 6: Cho hàm số: y=x3-(m-1)x2+(3m+1)x+m-2. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm ( 2; -1).
A. m= 1 B. m= - 2 C. m= 3 D. m= 0
Hiển thị lời giải
Hàm số đã cho xác định với mọi x thuộc j .
Ta có đạo hàm: y'=3x2-2(m-1)x+3m+1
Với x=1 ⇒y(1)=3m+1 ⇒y'(1)=m+6
Phương trình tiếp tuyến tại điểm x=1 là:
Tiếp tuyến này đi qua A( 2; -1) nên có: -1=m+6+3m+1 ⇒m=-2
Vậy m = -2 là giá trị cần tìm.
Chọn B.
Câu 7: Gọi (C) là đồ thị của hàm số: y= (x-1)/(x-3). Gọi M là một điểm thuộc (C) và có tầm khoảng chừng cách đến trục hoành là 2. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M
A. y= (- 1)/2x + 9/2 B. y= (- 9)/2 x+ 17/2
C. Cả A và B đúng D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
+ Do khoảng chừng cách từ M đến trục hoành là 2 nên yM= 2 hoặc – 2
+ Nếu yM = 2; do điểm M thuộc đồ thị hàm số ( C) nên:
Câu 8: Cho hàm số y=x-2/x=+1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp điểm M có tung độ bằng 4
A: y=9x+2 B: y=9x-16 C: y=9x+8 D: y=9x-2
Hiển thị lời giải
Câu 9: Cho hàm số y=x3+x2+x+1. Viết phương trình tiếp tuyến tại M thuộc đồ thị hàm số biết tung độ điểm M bằng
A: y=2x+1 B: y=x+1 C: y=x+2 D: y=x-1
Hiển thị lời giải
Gọi k là thông số góc của tiếp tuyến tại M⇒ k=f’(0)=1
⇒phương trình tiếp tuyến tại M là:
Hay y=x+1
Chọn B.
Câu 10: Cho hàm số : y=√(1-x-x2 ) có đồ thị (C). Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 =1/2 .
A: y+2x-1,5=0 B: 2x-y+1,5=0 C: -2x+y+1,5=0 D: 2x+y+1,5=0
Hiển thị lời giải
[embed]https://www.youtube.com/watch?v=ieCkGJwl-s8[/embed]
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên social facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các phản hồi không phù phù phù hợp với nội quy phản hồi trang web sẽ bị cấm phản hồi vĩnh viễn.
