Thủ Thuật về Lịch sử kiến thức và kỹ năng toán học ở trường phổ thông pdf Chi Tiết
Bùi Minh Chính đang tìm kiếm từ khóa Lịch sử kiến thức và kỹ năng toán học ở trường phổ thông pdf được Update vào lúc : 2022-05-27 00:00:08 . Với phương châm chia sẻ Bí kíp về trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi Read nội dung bài viết vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comment ở cuối bài để Admin lý giải và hướng dẫn lại nha.
Trang web này phụ thuộc vào lệch giá từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.
This Paper
A short summary of this paper
7 Full PDFs related to this paper
Từ toán học nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận rõ ràng của tri thức - ngành nghiên cứu và phân tích suy luận về lượng, cấu trúc, và sự thay đổi; là ngôn từ của vũ trụ. Lĩnh vực của ngành học về Lịch sử Toán học phần lớn là sự việc nghiên cứu và phân tích nguồn gốc của những mày mò mới trong toán học, theo nghĩa hẹp hơn là nghiên cứu và phân tích những phương pháp và ký hiệu toán học chuẩn trong quá khứ. Trước thời kì tân tiến và sự phổ biến rộng rãi tri thức trên toàn thế giới, những ví dụ trên văn bản của những phát triển mới của toán học chỉ tỏa sáng ở những vùng, miền rõ ràng. Các văn bản toán học cổ nhất từ Lưỡng Hà cổ đại (Mesopotamia) khoảng chừng 1900 TCN (Plimpton 322), Ai Cập cổ đại khoảng chừng 1800 TCN (Rhind Mathematical Papyrus), Vương quốc Giữa Ai Cập khoảng chừng 1300-1200 TCN (Berlin 6619) và Ấn Độ cổ đại khoảng chừng 800 TCN (Shulba Sutras). Tất cả những văn tự này còn có nhắc tới Định lý Pythagore; đây có lẽ rằng là phát triển toán học rộng nhất và cổ nhất sau số học cổ đại và hình học. Những góp sức của Hy Lạp cổ đại với toán học, nhìn chung được xem là một trong những góp sức quan trọng nhất, đã phát triển rực rỡ cả về phương pháp và vật liệu chủ đề của toán học. Một đặc điểm đáng để ý quan tâm của lịch sử toán học cổ và trung đại là theo sau sự bùng nổ của những phát triển toán học thường là sự việc ngưng trệ hàng thế kỉ. Bắt đầu vào Thời kì Phục Hưng tại Ý vào thế kỉ 16, những phát triển toán học mới, tương tác với những phát hiện khoa học mới, đã được thực hiện với tốc độ ngày càng tăng, và điều này còn tiếp diễn cho tới hiện tại. *** Giáo sư Nguyễn Cang sinh năm 1930 tại Quy Nhơn. Tốt nghiệp đại học năm 1965. Năm 1971, lấy học vị Tiến sĩ tại Rumani. Năm 1983, bảo vệ thành công học vị tiến sĩ tại Viện hàn lâm Khoa học Ba Lan. Năm 1984, được Nhà nước phong học hàm Phó giáo sư. Năm 1992, được Nhà nước phong học hàm Giáo sư. Giáo sư Nguyễn Cang đã được trao Huy hiệu 45 tuổi Đảng, nhận nhiều huân chương, huy chương cao quý như: Huy chương kháng chiến chống Pháp hạng I, Huân chương kháng chiến chống Mỹ hạng II, Nhà giáo ưu tú (1990), Huy chương Vì sự nghiệp giáo dục 1991-1992, Bằng khen của Bộ trưởng Bộ Đại học (1977), Bằng khen của Thủ tướng (1990); song, như lời tâm sự của ông: "Tất cả những thương hiệu đó là niềm vinh dự lớn lao của một đời người. Riêng tôi, còn một điều khác lớn lao hơn, xin được mượn câu nói của nhà Toán học Pháp Poisson: ở đời chỉ có hai việc có ý nghĩa là nghiên cứu và phân tích Toán và dạy Toán". Với Giáo sư Nguyễn Cang, được truyền giảng môn Toán, môn học mà ông đã gieo vào đó rất nhiều tâm huyết và lòng say mê là niềm niềm sung sướng lớn lao. Toán học chưa bao là những số lượng khô khan trong ông. Ông đã dành quá nhiều thời gian nghiên cứu và phân tích và viết thành sách: Lịch sử Toán học, Vẻ đẹp Toán học, Cuộc đời và sự nghiệp những nhà Toán học, Lý thuyết ổn định...
Về hưu từ năm 1997, giáo sư nói vui rằng: "Chỉ được cái bỏ hẳn việc làm quản lý ở trường chứ có nghỉ ngơi ngày nào đâu! Tôi không nỡ từ chối lời mời giảng dạy cho một số trong những trường đại học chỉ vì được tiếp tục dạy môn Toán!". Hiện tại, Giáo sư-Tiến sĩ khoa học Nguyễn Cang vẫn minh mẫn để hoàn thành xong nốt chuyên đề "Toán học và Triết học trong Toán học", chuyên đề ông rất tâm đắc, dự kiến đưa vào chương trình môn học không bắt buộc cho khóa cao học Toán -ĐH KHTN - Đại học Quốc gia TPHCM.
Sách - Lịch sử Kiến thức Toán học ở trường phổ thông
Sách - Lịch sử Kiến thức Toán học ở trường phổ thông
Shopee Mall Assurance
Ưu đãi miễn phí trả hàng trong 7 ngày để đảm bảo bạn hoàn toàn hoàn toàn có thể yên tâm lúc shopping ở Shopee Mall. Bạn sẽ được hoàn trả 100% số tiền của đơn hàng nếu thỏa quy định về trả hàng/hoàn vốn của Shopee bằng phương pháp gửi yêu cầu đến Shopee trong 7 ngày Tính từ lúc ngày nhận được hàng.
Cam kết 100% hàng thật cho tất cả những sản phẩm từ Shopee Mall. Bạn sẽ được hoàn trả gấp hai số tiền bạn đã thanh toán cho sản phẩm thuộc Shopee Mall và được chứng tỏ là không chính hãng.
Miễn phí vận chuyển lên tới 40,000đ lúc mua từ Shopee Mall với tổng thanh toán từ một Shop là 150,000đ
Chọn loại hàng
(ví dụ: sắc tố, kích thước)
Chi tiết sản phẩm
Nhập khẩu/ trong nước
Gửi từ
Nội dung gồm có: Chương 1. Lịch sử phát triển toán học * Giới thiệu tổng quan về lịch sử toán học * Giai đoạn phát sinh toán học * Giai đoạn toán học sơ cấp * Giai đoạn toán học cao cấp cổ xưa * Giai đoạn toán học tân tiến * Giới thiệu lịch sử văn học Việt Nam Chương 2. Lịch sử một số trong những chủ đề kiến thức và kỹ năng môn toán ở trường phổ thông * Lịch sử về phép đếm và những khối mạng lưới hệ thống số * Lịch sử về những kiến thức và kỹ năng đại số * Lịch sử về những kiến thức và kỹ năng hình học * Lịch sử về những kiến thức và kỹ năng lý giải Chương 3. Chân dung một số trong những nhà toán học có liên quan đến kiến thức và kỹ năng môn toán ở trường phổ thông * Chân dung một số trong những nhà toán học Hy Lạp * Chân dung một số trong những nhà toán học châu Âu Tác giả: trần Trung, Nguyễn Chiến Thắng Số trang: 163 Xuất bản: 2022 Nhà xuất bản: Đại học sư phạm Công ty phát hành: Nxb Đại học sư phạm
Xem tất cả
b*****l
Sách xịn luôn.mong tui hoàn toàn có thể đạt điểm cao môn này…..:…………..
2022-12-15 15:45
c*****h
Sách đẹp, shop bán đúng với giá bìa, đóng gói rất cẩn thậnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
2022-12-08 10:38
t*****8
Shop Giao hàng rất nhanh Sách rất hay và hữu ích Cám ơn shop nhiều
2022-04-11 19:31
Mua ngay
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ĐOÀN THỊ THÙY LINH LỊCH SỬ CÁC KIẾN THỨC CHỦ ĐỀ TOÁN Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Sơn La, năm 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC ĐOÀN THỊ THÙY LINH LỊCH SỬ CÁC KIẾN THỨC CHỦ ĐỀ TOÁN Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Đại số và Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: TS. Hoàng Ngọc Anh Sơn La, năm 2014 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành xong khóa luận này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Hoàng Ngọc Anh, người đã tận tình hướng dẫn và giúp sức em trong suốt quá trình làm khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn những thầy, cô giáo Khoa Toán - Lý - Tin những người dân đã trực tiếp giảng dạy, trang bị cho em những kiến thức và kỹ năng quý báu trong thời gian học tập tại trường. Đồng thời em cũng nhận được sự giúp sức của những thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số và hình học - Trường Đại học Tây Bắc. Xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp k51 Đại học sư phạm Toán, cũng như mái ấm gia đình, bạn bè những người dân luôn quan tâm, động viên và nhiệt tình giúp sức em để hoàn thành xong khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện Đoàn Thị Thùy Linh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích và trách nhiệm nghiên cứu và phân tích 2 2.1. Mục đích nghiên cứu và phân tích 2 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu và phân tích 2 3. Đối tượng nghiên cứu và phân tích 2 4. Phương pháp nghiên cứu và phân tích 2 5. Cấu trúc của đề tài 2 Chƣơng 1. LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN TOÁN HỌC 3 1.1. Giới thiệu tổng quan về lịch sử toán học 3 1.2. Giai đoạn phát sinh toán học 7 1.3. Giai đoạn toán học sơ cấp 8 1.4. Giai đoạn toán học cao cấp cổ xưa 10 1.5. Giai đoạn toán học tân tiến 12 1.6. Giới thiệu lịch sử toán học Việt Nam 16 CHƢƠNG 2. LỊCH SỬ CÁC CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC MÔN TOÁN Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG 21 2.1. Lịch sử về những kiến thức và kỹ năng đại số 21 2.1.1. Các bài toán dẫn đến kiến thức và kỹ năng đại số 21 2.1.2. Phương trình và những thuật giải 24 2.1.3. Lượng giác 26 2.2. Lịch sử về những kiến thức và kỹ năng hình học 30 2.3. Lịch sử về những kiến thức và kỹ năng giải tích 36 2.3.1. Sự xuất hiện những khái niệm vô hạn 37 2.3.2. Các nghịch lí của Zênông (khoảng chừng 450 trước Công nguyên) 39 2.3.3 Phương pháp cân đối của Ácsimét 42 2.3.4. Những bước đầu của phép tính tích phân ở Tây Âu 42 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Tri thức của con người là tác nhân vô cùng quan trọng trong sự phát triển xã hội, trong đó giáo dục góp thêm phần to lớn trong việc trang bị tri thức cho con người. Toán học - một khoa học có nhiều ứng dụng trong thực tiễn cũng như đối với những ngành khoa học khác. Nó ra đời và ngày càng phát triển thâm nhập vào hầu hết những nghành khoa học và đời sống. Nghiên cứu lịch sử toán học giúp người giáo viên toán hiểu được mối liên hệ giữa toán học với nhu yếu đời sống và hoạt động và sinh hoạt giải trí thực tiễn của con người. Từ đó sẽ làm nổi bật tầm quan trọng của việc liên hệ nội dung toán học đang giảng dạy với thực tiễn xung quanh học viên và những ngành khoa học khác ví như vật lí, hóa học, sinh học… Hiện nay cũng luôn có thể có nhiều tài liệu về lịch sử toán học nhưng đa phần ra mắt về những vấn đề chung trong những quá trình phát triển toán học. Trong sách giáo khoa toán ở trường phổ thông có đề cập đến lịch sử toán cũng như tiểu sử của một số trong những nhà toán học nhưng rất sơ lược, điều đó cũng chứng tỏ những tác giả sách giáo khoa cũng luôn có thể có quan tâm đến vấn đề lịch sử toán học nhưng nên phải có một tài liệu nâng cao hơn. Ngoài ra từ trước tới giờ tất cả chúng ta nói là học toán nhưng liệu có mấy người nghe biết lịch sử toán học ra đời thế nào? Bắt đầu từ đâu và phát triển qua từng quá trình ra sao? Xuất phát tư những nguyên do trên, tôi lựa chọn đề tài nghuên cứu: “Lịch sử những kiến thức và kỹ năng chủ đề Toán ở trường phổ thông” nhằm mục đích giúp những thầy cô cũng như những em học viên hiểu biết những sự kiện tiêu biểu trong những quá trình phát triển của toán học, qua đó nắm được sự phát sinh những tư tưởng toán học ở từng thời kì. Đồng thời đáp ứng một bản tra cứu về lịch sử môn Toán ở trường phổ thông, từ đó hoàn toàn có thể vận dụng trong những tình huống gợi vấn đề nhằm mục đích nâng cao hiệu suất cao dạy học toán. 2 2. Mục đích và trách nhiệm nghiên cứu và phân tích 2.1. Mục đích nghiên cứu và phân tích Nghiên cứu lịch sử toán học giúp người giáo viên và học viên hiểu thêm về sự ra đời và quá trình hình thành của toán học. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu và phân tích Nghiên cứu những vấn đề có liên quan đến việc nghiên cứu và phân tích như: lịch sử phát triển toán học, lịch sử những chủ đề kiến thức và kỹ năng toán ở trường phổ thông…. Tìm hiểu thực trạng việc hiểu biết về lịch sử toán học của học viên phổ thông. Đưa ra một số trong những thông tin nhằm mục đích đáp ứng thêm cho học viên về lịch sử phát triển toán học nói chung và lịch sử những chủ đề kiến thức và kỹ năng toán ở trường phổ thông nói riêng. 3. Đối tƣợng nghiên cứu và phân tích - Lịch sử những chủ đề kiến thức và kỹ năng môn toán ở trường phổ thông. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu và phân tích - Phương pháp tìm tòi nghiên cứu và phân tích, tra tìm tài liệu, tham khảo ý kiến của những người dân dân có kinh nghiệm tay nghề, - Phương pháp phân tích những tài liệu, tập trung vào những thông tin liên quan đến chủ điểm. - Phương pháp sắp xếp những tài liệu thông tin thu thập được. 5. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo… nội dung của đề tài gồm 2 chương: Chương 1. Lịch sử phát triển toán học; Chương 2. Lịch sử những chủ đề kiến thức và kỹ năng môn Toán ở trường phổ thông. 3 Chƣơng 1. LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN TOÁN HỌC 1.1. Giới thiệu tổng quan về lịch sử toán học Chủ nghĩa Mác – Lenin đã chứng tỏ được rằng toàn bộ khối mạng lưới hệ thống logic của mọi khoa học, cấu trúc của nó, mối liên hệ và trong cả sự tồn tại của những ngành riêng biệt của khoa học, không phải là một chiếc gì không bao giờ thay đổi mà là kết quả của sự việc phát triển lịch sử. Vì vậy, không còn một người nào làm công tác thao tác khoa học sáng tạo mà không nắm được đối tượng và nguồn gốc phát sinh và phát triển khoa học của tớ. Người thầy dạy toán, trước hết, là người làm công tác thao tác toán học, cho nên vì thế nên phải có những hiểu biết nhất định về sự phát triển của toán học, để qua đó nắm được đối tượng và nguồn gốc của toán học, giúp hiểu biết thực chất đúng đắn của toán học. Theo Engels, đối tượng của toán học là những quan thông số lượng và hình dạng không khí của thế giới hiện thực. Do đó, toán học là khoa học về quan thông số lượng và hình dạng không khí của thời gian khách quan, được hình thành và phát triển trên những cơ sở hoạt động và sinh hoạt giải trí thực tiễn của xã hội loài người. Trải qua nhiều quá trình phát triển, đối tượng của toán học cũng thay đổi và mở rộng dần: những số và hình của toán sơ cấp, những đại lượng biến thiên và hàm số của giải tích toán học trong những thế kỉ vừa qua và những cấu trúc tổng quát cùng những thuật toán trong toán học tân tiến. Bản thân khái niệm về “quan thông số lượng” và “hình dạng không khí của thế giới hiện thực” ngày này sẽ không riêng gì có hiểu theo nghĩa thông thường mà hiểu theo nghĩa tổng quát nhất. Chẳng hạn, hình học ngày này nghiên cứu và phân tích nhiều không khí rất khác nhau (với số chiều hữu hạn hoặc vô hạn) và mối liên hệ Một trong những không khí đó: không khí afin, không khí Euclid, không khí xạ ảnh, không khí vector, không khí topo… Ngoài ra, toán học còn nghiên cứu và phân tích những hình dạng và quan hệ khác tương tự những hình dạng và không khí vật lý (như không khí những sắc tố, không khí những âm thanh,…) nên hoàn toàn có thể sử dụng những phương pháp hình học để nghiên cứu và phân tích những hình dạng và quan hệ ấy. Trong nhiều tập hợp mà những phần tử là những đối tượng thuộc loại tùy ý (như: vector, phép dời hình,…) ta hoàn toàn có thể thực hiện những phép toán (như phép 4 cộng vector, phép hợp thành những phép dời hình,…) cũng luôn có thể có những tính chất in như những tính chất của những phép toán trên những số; từ đó, ta có khái niệm về cấu trúc đại số như khái niệm nhóm (nhóm những số nguyên, nhóm những vector, nhóm những phép dời hình,…) Toán học là ngành khoa học có nhiều ứng dụng nhất, khi nói đến nguồn gốc của toán học ta liên tưởng ngay đến nguồn gốc thực tiễn của nó. Từ xưa đến nay toán học phát sinh và phát triển do những nhu yếu thực tế của đời sống con người và do cả nhu yếu bản thân của nó. Mỗi cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật đều gây ra những biến hóa sâu sắc trong toán học và ngược lại những biến hóa này càng tác động mạnh mẽ và tự tin đến khoa học kĩ thuật. Toán học cao cấp ra đời để phục vụ cho sản xuất thủ công nghiệp, toán học cao cấp cổ xưa là công cụ của kĩ thuật cơ khí hóa, còn toán học tân tiến với tất cả nội dung phong phú và phương pháp trừu tượng cao độ của nó đã ra đời để sẵn sàng sẵn sàng cho sản xuất tự động hóa và đang phát triển dưới sự thúc đẩy trực tiếp của nền sản xuất đó. Bên cạnh nguồn gốc thực tiễn, đối tượng của toán học còn mang tính chất chất trừu tượng cao. Theo Engels “Toán học là một khoa học rất thực tiễn”. Việc khoa học ấy mang một hình thức cực kỳ trừu tượng chỉ che đậy hình thức bề ngoài nguồn gốc của nó trong thế giới khách quan. Muốn nghiên cứu và phân tích những hình dạng và quan hệ ấy một cách thuần túy thì phải tách hẳn chúng ra khỏi nội dung này, coi nó như không còn bề dày và bề rộng, những a và b, những x và y, những đại lượng không đổi và những đại lượng biến thiên. Cũng như tất cả những môn khoa học khác, toán học phát sinh từ những nhu yếu thực tế của con người, từ việc đo đạc diện tích s quy hoạnh của những đám đất và dung tích những hình chậu, từ việc tính thời gian, từ cơ học…”. Tính trừu tƣợng của toán học không tạm dừng ở một mức độ nhất định mà tiến từ mức này sang mức khác. Có những khái niệm là kết quả của sự việc trừu tượng hóa trực tiếp từ nhận thức cảm hứng, từ kinh nghiệm tay nghề và khảo sát (như những số tự nhiên), nhưng có những khái niệm là kết quả của sự việc lí tưởng hóa – tức là sự việc trừu tượng hóa không xuất phát từ thực tiễn mà từ những kết quả của những trừu tượng hóa trước đó (như số ảo, những không khí nhiều chiều, cấu trúc đại số, topo,…). 5 Ngoài ra tri thức toán học còn tồn tại đặc điểm là tính vƣợt thời đại. Có những lí thuyết mà phải đến hàng trăm, thậm chí hàng trăm năm sau mới có ứng dụng Tính từ lúc lúc nó ra đời. Lịch sử toán học là sự việc nghiên cứu và phân tích nguồn gốc của những phát minh trong toán học, ở phạm vi hẹp hơn thì nó là sự việc nghiên cứu và phân tích những phương pháp và khái niệm toán học trong quá khứ. Nhiệm vụ nghiên cứu và phân tích của ngành Lịch sử toán học: Tìm hiểu sự phát sinh của những phương pháp, những khái niệm và những tư tưởng toán học cũng như sự hình thành đến những lí thuyết toán học rất khác nhau trong lịch sử; Tìm hiểu tính chất và đặc điểm của sự việc phát triển toán học ở những dân tộc bản địa rất khác nhau trong từng quá trình lịch sử; sự góp sức của những nhà toán học; Nghiên cứu những mối liên hệ giữa toán học với những nhu yếu và hoạt động và sinh hoạt giải trí thực tiễn của con người, và với sự phát triển của những khoa học khác; sự ảnh hưởng của những cơ cấu tổ chức kinh tế tài chính và xã hội, của đấu tranh giai cấp (đặc biệt là trong nghành tư tưởng) đến nội dung và tính chất của sự việc phát triển toán học; Nghiên cứu nguyên nhân lịch sử của cấu trúc logic của toán học tân tiến, tính biện chứng của sự việc phát triển của nó, giúp làm rõ quan hệ Một trong những bộ phận toán học; Dự kiến được triển vọng phát triển của toán học. Việc nắm rõ vai trò của Lịch sử toán học đối với người giáo viên dạy Toán ở trường phổ thông là rất quan trọng, muốn dạy tốt môn Toán trước hết người giáo viên nên phải có những hiểu biết nhất định về khoa học Toán học, gồm có những nội dung: đối tượng, nguồn gốc, phương pháp của toán học và tiêu chuẩn chân lí của khoa học này. Để có những nhận thức đúng đắn về vấn đề này, người giáo viên nên phải nắm vững lịch sử phát triển của Toán học. Trong chương trình sách giáo khoa ở THPT có đáp ứng một số trong những thông tin về lịch sử toán học mà được để trong mục “Em có biết?” để đáp ứng thêm thông tin cho học viên về lịch sử toán học cũng như tiểu sử của một số trong những nhà Toán học và làm cho cuốn sách thêm sinh động tránh tình trạng học viên nhàm chán với những kiến thức và kỹ năng hoặc để đáp ứng thêm thông tin giải đáp thắc mắc cho học 6 sinh về sự ra đời của toán học. Điều đó cũng chứng tỏ tác giả sách giáo khoa cũng quan tâm đến lịch sử toán học. Khi biết về lịch sử toán học, người giáo viên sẽ làm rõ hơn đối tượng của toán học, thấy được mạch logic của quá trình phát triển toán học, từ đó tương hỗ cho những người dân giáo viên rút ra một số trong những vấn đề về dạy học môn Toán. Do nguồn gốc thực tiễn của toán học nên khi dạy một kiến thức và kỹ năng mới (khái niệm, định lí toán học, tiên đề…) giáo viên cần liên hệ với tình huống thực tiễn nhằm mục đích giúp học viên làm rõ kiến thức và kỹ năng hơn, biết vận dụng kiến thức và kỹ năng để xử lý và xử lý một số trong những vấn đề thực tiễn; sử dụng tư liệu của lịch sử toán học để gợi động cơ trong dạy học, ví dụ điển hình sử dụng đạo hàm để tính diện tích s quy hoạnh, thể tích, vận tốc, tần suất của một vật… Theo G. Polia: “Toán học có hai hình thái: nó là khoa học ngặt nghèo của Euclid nhưng nó cũng là một nghệ thuật và thẩm mỹ vô hạn, không cứng nhắc. Khi được trình bày theo kiểu Eulid, toán học là một khoa học suy diễn và có khối mạng lưới hệ thống, nhưng toán học do những nhà tìm tòi sáng tạo ra là một khoa học thực nghiệm và quy nạp. Cả hai hình thái đó đều có từ lâu cũng như bản thân toán học vậy”. Do đó, đặc trưng của phương pháp toán học đó đó là sự việc phối hợp ngặt nghèo giữa cái rõ ràng và cái trừu tượng, giữa phương pháp suy diễn và phương pháp quy nạp từ đó người giáo viên dạy Toán cần lựa chọn phương pháp dạy học thích hợp, suy nghĩ cách giáo dục con người sẽ gây được hứng thú cho những người dân học. Ngoài ra hoàn toàn có thể đọc thêm, phối hợp vào những bài giảng của tớ mà ra mắt đúng lúc, ngắn gọn những nút lịch sử của vấn đề, những gương lao động của những nhà toán học làm cho giờ học thêm sinh động, khơi dậy thêm nguồn vui học tập, công tác thao tác và tu dưỡng trong học viên. Một tác dụng quan trọng đối với giáo viên khi nắm Lịch sử toán học là hiểu được những nghành toán học trong chương trình, từ đó thấy được kiến thức và kỹ năng nào luôn xuất hiện trong sự thay đổi của chương trình sách giáo khoa. Ví dụ, phân tích lịch sử sẽ giúp giáo viên thấy được vai trò của hình học giải tích đối với quan hệ giữa đại số và hình học. Trước khi những phương pháp đại số được xây dựng thì những phương pháp hình học đã phát triển đến độ mà người ta xem chúng gắn sát với tư duy suy diễn và lập luận logic. Các nhà đại số đầu tiên đã 7 phải tìm trong hình học ý nghĩa những lập luận của tớ. Hình học đem đến cho họ một “kho” bài toán; những bài toán ấy dù được giải theo kiểu đại số đi chăng nữa thì cũng phải lý giải bằng hình học, về cơ bản những phương trình đại số được xem như thể những bài toán hình học. Hình học gắn sát với việc nghiên cứu và phân tích những không khí vật lí. Đại số thuở ban đầu lại không còn những phương tiện hữu hiệu để màn biểu diễn những đối tượng của tớ. Để đại số kí hiệu trở nên hiệu suất cao, nên phải chuyển sang một chiếc nhìn trừu tượng, vô hiệu những ý tưởng trực giác và những kinh nghiệm tay nghề trước kia về những số. Bước chuyển này sẽ không riêng gì có xác nhận sự độc lập hoàn toàn của đại số với hình học mà còn đảm bảo sức mạnh và kĩ năng phát triển. Vào thế kỉ XIX, nhu yếu xem xét lại tính đúng chuẩn của những phương pháp toán học được sử dụng cho tới lúc đó, sự ra đời của hình học phi Euclid không sử dụng đến trực giác, rồi ý muốn thiết lấp một nền toán học có cơ sở vững chắc, v.v… đã kết thúc uy thế của ngôn từ họa hình trong xử lý và xử lý những vấn đề toán học. Các phương pháp đại số từ từ lấn áp được phương pháp hình học thuần túy. Khuynh hướng đại số toán học ngày càng phát huy ảnh hưởng. Các quá trình phát triển của Toán học: hoàn toàn có thể chia ra làm nhiều quá trình, địa thế căn cứ vào một số trong những đặc điểm ví dụ như: chia theo quốc gia, theo chính sách kinh tế tài chính và xã hội, theo những phát minh lớn có tính quyết định tính chất của sự việc phát triển toán học trong thời gian nhất định nào đó,… Theo quan điểm của nhà toán học người Nga A. N. Kolmogorov (1903-1987) hoàn toàn có thể chia lịc sử phát triển Toán học làm ba quá trình: Giai đoạn Toán học sơ cấp, quá trình Toán học cao cấp cổ xưa và quá trình Toán học tân tiến. 1.2. Giai đoạn phát sinh toán học Giai đoạn này bắt nguồn từ thời kì xa xưa nhất của loài người nguyên thủy kéo dãn đến thế kỉ thứ VII – V trước Công nguyên, lúc mà toán học trở thành khoa học độc lập có đối tượng và có phương pháp riêng. Đặc điểm của quá trình này: - Về tài liệu nghiên cứu và phân tích: Chủ yếu là tài liệu về lịch sử văn hóa chung của loài người, đặc biệt là tài liệu khảo cổ và những sự kiện về sự phát triển ngôn từ. Khi xác định niên biểu cho những mày mò của phương đông cổ đại có rất 8 nhiều trở ngại vất vả, trở ngại vất vả nhất đó đó là phương tiện ghi lại những mày mò đó. Người Babylon dùng bản đất sét nung, người Ai Cập dùng giấy và cỏ là những thứ tồn tại được lâu vì có khí hậu khô khác thường; nhưng người Trung Quốc và người Ấn Độ cổ xưa lại dung những phương tiện rất dễ hỏng như vỏ cây hoặc cây tre. Bởi vậy, nền khoa học của người Babylon và người Ai Cập được nghe biết nhiều hơn nữa so với người Trung Quốc và người Ấn Độ cổ xưa. - Về toán học thời kì này: Sự tích lũy những sự kiện toán học rõ ràng ở trong một khuôn khổ khoa học chung (khoa học tự nhiên), không được phân chia. Toán học thời kì này bắt nguồn trực tiếp từ những thực tiễn sản xuất nông nghiệp và kĩ thuật. Các hoạt động và sinh hoạt giải trí thực tế này đòi hỏi phải tính toán niên lịch phát triển khối mạng lưới hệ thống cân đo phục vụ cho việc thu hoạch, phân chia thực phẩm, tạo ra những phương pháp trắc địa để phục vụ cho việc xây dựng kênh đào, bể chứa cũng như phân chia đất đai và phát triển những thông lệ về tài chính và thương mại nhằm mục đích tăng thuế, thu thuế và phục vụ cho mục tiêu thương mại. Nền toán học sơ khai nhấn mạnh vấn đề về số học và đo lường thực hành nên những khuynh hướng trừu tượng hóa đều bị hạn chế nên môn đại số đã được phát triển về sau từ môn số học và những bước đầu của hình học lí thuyết là từ phép đo lường mà ra. Có một để ý quan tâm đó là không thể tìm thấy trong tất cả những nền toán học phương đông cổ đại một hình mẫu gọi là đơn sơ mà ngày này người ta gọi là phép chứng mình, thay vì một lập luận thì chỉ thấy sự mô tả quá trình; gần như thể không còn quy tắc chung cho một loại toán nào mà chỉ như để áp dụng cho những trường hợp riêng. 1.3. Giai đoạn toán học sơ cấp Từ thế kỉ VII – V trước Công nguyên đến hết thế kỉ XVI là quá trình toán học sơ cấp của sự việc phát triển Toán học. Giai đoạn này thuộc vào thời kỳ nô lệ ở Hy Lạp, La Mã và thời kì phong kiến ở Ấn Độ, Trung Quốc, Trung Cận Đông và Tây Âu. Giai đoạn toán học sơ cấp kết thúc ở châu Âu khi trọng tâm nghiên cứu và phân tích của toán học đã chuyển sang phạm vi của những đại lượng biến thiên. Trong thời kì này, toán học đa phần nghiên cứu và phân tích về những đại lượng không đổi. Người ta đã nghiên cứu và phân tích những khối mạng lưới hệ thống khái niệm cơ sở của từng ngành 9 toán học riêng biệt. Những khối mạng lưới hệ thống khái niệm này khái quát hóa thực tiễn toán học và phản ánh những quy luật khách quan của tư duy toán học loài người. Những lí thuyết toán học đầu tiên được trừu tượng hóa từ những bài toán rõ ràng hoặc từ tập hợp những bài toán cùng loại đã tạo ra những tiền đề thiết yếu và đầy đủ cho việc nhận thức tính độc lập của toán học. Nhận thức đó đã kích thích những nhà toán học cổ đại xu hướng khối mạng lưới hệ thống hóa những sự kiện toán học và trình bày cơ sở toán học một cách nhất quán và logic. Toán học đến đây đã được xem như một khối mạng lưới hệ thống suy luận logic, xuất phát từ một mệnh đề cơ bản (tiên đề) được xem là đúng đúng rồi rút ra những kết quả khác bằng đường lối suy luận logic. Logic dùng trong toán học suy diễn là logic hình thức, lấy những quy luật đồng nhất, bài trung, không xích míc, có địa thế căn cứ đầy đủ làm cơ sở, do Aristoteles tổng kết lại những kinh nghiệm tay nghề lâu lăm về suy luận của con người, lặp đi lặp lại hàng nghìn triệu lần nên được xem là những chân lí phổ biến. Nền sản xuất theo kiểu thủ công, với những kĩ thuật thô sơ dưới chính sách phong kiến không đòi hỏi những công cụ toán học tinh vi hơn toán học sơ cấp, tức là phần lớn những kiến thức và kỹ năng số học, hình học, tam giác lượng, đại số dạy ở trường phổ thông lúc bấy giờ. Bước đầu tiên trong lịch sử phát triển của khoa học toán học được đánh dấu bằng những khu công trình xây dựng của những nhà toán học: Talet (639 – 548 trước công nguyên), Pi-ta-go (569 – 470 trước công nguyên), Hypocrat (thế kỉ V trước công nguyên), Apolonius (260 – 170 trước công nguyên), v.v… Nền toán học trong quá trình này đạt được kết quả rực rỡ với những tác phẩm của Euclid, Archimedes, Apolonius về hình học, của Diophantine (thế kỉ III), Boramagupta (sinh năm 598) Bkhatskara Akaria (sinh năm 1114) về Số học và Đại số, của Ptolemy về tam giác lượng,… Nền toán học Hy Lạp có những đóng góp cơ bản, đặc biệt là về Hình học và về phương tiện logic ngặt nghèo với trình độ trừu tượng không nhỏ so với đươcng thời của nó. Nhưng sau thời kì toàn thịnh (đến thế kỉ thứ II trước công nguyên) Toán học ở Hy Lạp tách rời thực tế (do tính chất ax hội nô lệ và triết lí duy tâm) đã ngừng trệ và bế tắc. Trong lúc đó những dân tộc bản địa phương Đông, do nhu yếu phát triển 10 thương mại và nhu yếu giao thông vận tải hàng hải đã phát triển nhiều về số học và đại số học, có nhiều ảnh hưởng đến sự phát triển sau này của Toán học ở Châu Âu. 1.4. Giai đoạn toán học cao cấp cổ xưa Giai đoạn này (từ thế kỉ XVII đến giữa thế kỉ XIX) mở đầu với việc đưa đại lượng biến thiên vào hình học giải tích của Descartes và từ đó dẫn đến phép tính tích phân do Newton và Lepsnit đã hoàn thành xong toàn bộ. Giai đoạn này còn có nhiều sự kiện phong phú và sôi nổi. Toán học đang dạy ở những trường Cao đẳng và Đại học trong trong năm đầu được xem là giải tích cổ xưa của Toán học tân tiến. Toán học trong những quá trình trước nghiên cứu và phân tích những số, những đại lượng và hình học, chỉ khảo sát những trường hợp riêng biệt, những quan hệ tĩnh tại và hình dạng cố định và thắt chặt. Vì vậy, toán học như vậy không phản ánh đầy đủ những quan thông số lượng và hình dạng không khí trong thế giới khách quan. Do sự phát triển của lực lượng sản xuất và quan hệ xã hội, đến thế kỉ XVII, khoa học kĩ thuật phát triển mạnh mẽ và tự tin mở ra một quá trình mới trong lịch sử toán học, quá trình của những đại lượng biến thiên. Đến đây, đối tượng đa phần của toán học là những quá trình, hoạt động và sinh hoạt giải trí. Trong lịch sử toán học, thế kỉ XVII chiếm một vị trí đặc biệt cực kỳ quan trọng. Vào thời kì đầu của thế kỉ đó, Nepe đã phát minh ra logarit, Harirot và Oughtred đã đóng góp những kí hiệu và cách mã hóa cho đại số học. Galile đã đặt nền móng cho khoa học động lực và Keepler đã tuyên bố những định luật hoạt động và sinh hoạt giải trí của hành tinh. Muộn hơn về phía sau của thế kỉ này, Đờ-dác và Paxcan đã mở ra một nghành mới của hình học thuần túy. Descartes đưa ra hình học giải tích, Fermat thì đặt cơ sở cho lý thuyết số hiện địa và Huyghen có những đóng góp nổi bật cho lý thuyết xác suất và những nghành khác. Rồi đến cuối thế kỉ, sau khi hành loạt những nhà toán học của thế kỉ XVII đã dọn sẵn đường thì sự sang tạo của tính toán mang sắc tố thế kỉ đã được Newton và Lép-nít thực hiện. Những thành tựu trong việc mày mò và phát biểu về mặt toán học một số trong những lớn những quy luật tự nhiên đã đưa đến việc xây dựng khối mạng lưới hệ thống những khoa học về 11 thiên nhiên – Khoa học tự nhiên – Toán học. Môn khoa học này được hiểu là một môn khoa học chung, có mục tiêu lý giải quá trình của những hiện tượng kỳ lạ riêng biệt bằng những định luật chung của tự nhiên đã được phát biểu dưới toán học. Tư tưởng triết học về tính vạn năng của phương pháp toán học phản ánh sự vững mạnh nhanh gọn của kĩ thuật và toán học, đã thống trị khối óc của những nhà bác học và triết học lớn số 1 của thế kỉ XVII. Mỗi thành tựu mới của khoa học tự nhiên – toán học đều kích thích mạnh mẽ và tự tin nhu yếu ứng dụng của kí thuyết toán học. Ở thời kì nào thì cũng vậy, toán học đều được phát triển dưới ảnh hưởng quyết định của thự tiễn, mà xét cho cùng là của sự việc tiến bộ về vật chất và kỹ thuật. Ở thế kỉ XVII ảnh hưởng đó có tác dụng trực tiếp, sự sáng tạo toán học của những nhà bác học thế kỉ XVII đã ra mắt dưới áp lực của nhu yếu thực tiễn. Trong thế kỉ này, có nhiều biến hóa trong những hình thức tổ chức nghiên cứu và phân tích toán học. Thay thế cho những thành viên riêng lẻ giàu nhiệt tình – những con người đặc biệt đáng quý – đã có những nhóm, hội, những tổ chức khoa học ra đời. Từ năm 1662, hội Hoàng Gia Luân Đôn đã khởi đầu hoạt động và sinh hoạt giải trí, và ngày này vẫn có chân trong viện Hàn lâm khoa học Quốc gia. Năm 1966, Viện hàn Lâm Pari được thành lập. Thế là bước đầu đã hình thành những hội và những cơ qan khoa học - hình thức thuận tiện cho lao động tập thể của những nhà bác học trước những vấn đề khoa học trở ngại vất vả, dưới sự bảo trợ của khoa học Quốc gia. Vào cuối thế kỉ XVIII sang đầu thế kỉ XIX là thời kì mà khoa học công nghiệp cơ khí rất phát đạt ở những nước phương tây thì cũng là lúc toán học đạt được những thành tựu rực rỡ như những khu công trình xây dựng của Euler, Lơ-giăng-đơ-rơ, Cauchy,…. Giải tích toán học tuy đã phát triển một cách khá đặc sắc nhưng chưa tồn tại nền móng vững vàng (chưa chắc như đinh định nghĩa đúng chuẩn khái niệm vô cùng bé, thạm chí cả khái niệm số thực,…). Do đó, nảy sinh cuộc khủng hoảng rủi ro cục bộ mà nguyên nhân là có xích míc giữa yêu cầu phải phản ánh cái vận động, biện chứng và đòi hỏi nội tại của toán học là không xích míc và hình thức. 12 1.5. Giai đoạn toán học tân tiến Giai đoạn này kéo dãn từ nửa sau thế kỉ XIX đến nay. Đây là thời kì mà khoa học kĩ thuật sẵn sàng sẵn sàng và bước vào cuộc cách mạng lớn về vật liệu, năng lượng và điều khiển để đưa nền sản xuất tiến lên tự động hóa. Đặc điểm của quá trình này là đối tượng của toán học đã mở ra rất rộng và vấn đề xây dựng cơ sở của toán học có một ý nghĩa đặc biệt quan trọng, nhiều lí thuyết toán học mới xuất hiện. Toán học đã trở thành một khối thống nhất với những phương pháp chung. Toán học có uy lực trước đó chưa từng thấy về phương diện và ứng dụng. Toán học tân tiến đã trở thành một khoa học những quan thông số lượng và hình dạng không khí tổng quát hơn, mà những số, những đại lượng, và những hình học thông thường chỉ là những trường hợp rất đặc biệt. Nội dung của đối tượng toán học trở nên rất phong phú đến mức cần xây dựng lại và thay đổi toàn bộ vấn đề quan trọng nhất của toán học mà một trong những vấn đề đó là cơ sở của toán học. Đó là khối mạng lưới hệ thống những vấn đề về lịch sử, về logic, về triết học và những khối mạng lưới hệ thống lí thuyết toán học. Đặc biệt, người ta nhận định lại một cách có phê phán những khối mạng lưới hệ thống tiên đề của toán học và toàn bộ những phương tiện logic của những chứng tỏ toán học. Sự nhận định này nhằm mục đích mục tiêu xây dựng một khối mạng lưới hệ thống ngặt nghèo những cơ sở của toán học, tương ứng với những kinh nghiệm tay nghề tiên tiến tích lũy được của tư tưởng lòa người làm cho toán học ngày càng tiến lên hơn thế nữa, nâng cao thêm tư duy toán học của loài người. Các xu hướng phát triển của toán học trong quá trình này: - Từ nhu yếu thực tiễn trước mắt hoặc trong tương lai không xa của sản xuất và những khoa học khác đòi hỏi toán học hiện địa gắn chặt với điều kiện học và nêu lên cho nó ba vấn đề chính: khắc phục sự phức tạp, khắc phục tính chất bất định và lựa chọn giải pháp tốt nhất. Bởi vậy, thúc đẩy toán học theo ba hướng chính: Toán học rời rạc nhằm mục đích khắc phục sự phức tạp, toán học ngẫu nhiên để khắc phục tính chất bất động, những lý thuyết tối ưu hóa để xử lý và xử lý điều kiện tốt nhất. 13 - Từ nhu yếu thực tiễn của việc xây dựng bản thân toán học, nhằm mục đích hoàn thiện công cụ để sẵn sàng sẵn sàng dự trữ cho lâu dài. Quy luật phát triển của tớ mình toán học đòi hỏi không ngừng nghỉ xây dựng những lý thuyết trừu tượng ngày càng thống nhất được nhiều ngành của toán học, phát hiện những quy luật khái quát ngày càng bao trùm được nhiều hiện tượng kỳ lạ, sáng tạo những công cụ tổng hợp ngày càng có nhiều hiệu lực hiện hành trong nhiều nghành, nhằm mục đích tiết kiệm công sức của con người và nâng cao năng suất tư duy toán học nhằm mục đích sẵn sàng sẵn sàng tiền lực tiến lên làm chủ được mọi tình huống thực tế phức tạp chưa Dự kiến được trong tương lai. Những nguyên tắc có tính chất quyết định đối với sự phát triển của toán học: - Không có lí thuyết toán học nào là duy nhất. - Cấu tạo lí thuyết của những ngành toán học mới được xác định trên nguyên tắc thay đổi và tổng quát hóa những quan điểm cơ bản từ thực nghiệm. - Tính chân thực của một lí thuyết toán học hoàn toàn có thể được thực nghiệm đúng với thí nghiệm tuy nhiên với trình độ khoa học của tương lai, thí nghiệm cũng hoàn toàn có thể tìm thấy sự thiếu đúng chuẩn trong quan hệ giữa lí thuyết toán học đó với tính chất thực tế. Toán học tân tiến tập trung vào một số trong những vấn đề lí luận then chốt ở rang giới những ngành topo đại số, logic toán, lấy phạm trù làm ngôn từ ngày càng phổ biến, lấy đại số làm công cụ chỉ huy và lấy nội dung giải tích, số luận, hình học làm xuất phát điểm. Lúc này ranh giới Một trong những ngành toán học không hề tách bạch mà đã là một khối thống nhất, không thể gán cho phần lớn tài liệu toán học tân tiến vào một trong những từ Đại số, Giải tích hay Hình học nữa; đồng thời ranh giới giữa lí thuyết và ứng dụng trong nhiều trường hợp đã không hề rõ ràng, dứt khoát như trước nữa. Ba sự kiện toán học lớn có ý nghĩa sâu sắc ra mắt trong thế kỉ XIX là: một sự kiện trong nghành hình học, một sự kiện trong nghành đại số và sự kiện còn sót lại trong nghành giải tích. Sự kiện đối với hình học là sự việc kiện mày mò ra hình học phi – Euclid, môn hình học phi xích míc và tự nhất quán, khác với hình học Euclid. Hệ quả tức thời của sự việc kiện này là đặt dấu chấm hết cho bài toán cổ xưa về định đề song 14 song, một định đề được chứng tỏ là sự việc độc lập với những giả định khác của hình học Euclid. Nhưng còn tồn tại một hệ quả sâu sa hơn là hình học đã được giải phóng khỏi cái khuôn mẫu truyền thống của nó. Tính thuyết phục thâm căn cố đế của những thế kỉ xưa nói rằng chỉ hoàn toàn có thể có một hình học là khả hữu đã bị phá vỡ tan tành và một con phố thênh thang đã rộng mở để hoàn toàn có thể sáng tạo nhiều khối mạng lưới hệ thống hình học rất khác nhau. Sự kiện ngay sau sự kiện trong hình học là sự việc kiện trong đại số. Đó là sự việc sáng tạo ra đại số không giao hoán năm 1843. Đầu thế kỉ XIX, đại số học chỉ được coi đơn giản là số học suy rộng. Đó đó đó là thay vì thao tác với những số lượng riêng biệt như ta vẫn thường làm trong số học thì trong đại số học ta dùng những chữ làm kí hiệu biểu thị cho những số lượng bất kì. Ở phần đầu của thế kỉ XIX, người ta dường như không thể tin được lại hoàn toàn có thể tồn tại một đại số nhất quán có một cấu trúc khác với cấu trúc của đại số thông thường của số học. Vào năm 1843, nhà toán học Ailen W. R Hamintơn (1805 – 1865) đã phát minh ra đại số quaternion trong đó luật giao hoán của phép nhân không hề đúng nữa. Một năm sau, nhà toán học Đức H. Grassman (1809 – 1877) đã cho xuất bản đầu tiên cuốn Ausdehnungslehre nổi tiếng của tớ trong đó đã phát triển toàn bộ những lớp đại số có một cấu trúc khác với cấu trúc của đại số quen thuộc của số học. Năm 1857, nhà toán học Anh A.Caylay (1821 – 1895) đã nghĩ ra đại số ma trận, đó đó đó là một ví dụ khác của đại số không giao hoán. Bằng cách làm yếu đi hoặc xóa bỏ những định đề rất khác nhau của đại số thông thường, hoặc bằng phương pháp thay thế một hay nhiều hơn nữa những định đề đó bằng những định đề khác nhất quán với những định đề còn sót lại thì một số trong những lượng lớn rất khác nhau những khối mạng lưới hệ thống hoàn toàn có thể được nghiên cứu và phân tích tới. Chẳng hạn, ta còn tồn tại những khối mạng lưới hệ thống như phỏng nhóm, tựa nhóm, nửa nhóm, nhóm, vành, dàn, vành Bool, đại số Bool,… Đại bộ phận khu công trình xây dựng này thuộc về thế kỉ XX và điều đó phản ánh ý thức về ự khái quát hóa và trừu tượng hóa rất thường thấy trong toán học ngày này. Sự kiện ở đầu cuối là sự việc kiện số học hóa giải tích. Một số nhà toán học thế kỉ XVIII đã khởi đầu báo động về sự khủng hoảng rủi ro cục bộ sâu đậm về cơ sở của giải tích. Năm 1764, Đa-lăm-be nhận thấy rằng phải cần đến lí thuyết số lượng giới hạn vào năm 15 1977 thì Lagrange đã nỗ lực làm cho giải tích được ngặt nghèo hơn. Năm 1921, một bước tiến khổng lồ do nhà toán học Pháp A. L. Cauchy đã thực hiện thành công gợi ý của Đa-lăm-be bằng phương pháp phát triển một lí thuyết số lượng giới hạn hoàn toàn có thể đồng ý được rồi sau đó định nghĩa sự quy tụ, tính liên tục, tính khả vi và tích phân xác định theo quan niệm về số lượng giới hạn. Nhưng yêu cầu cần hiểu sâu hơn thế nữa về cơ sở giải tích đã được đáp ứng và gây ấn tượng mạnh vào năm 1874 khi nhà toán học Đức K. Vâyơstrat đưa ra một ví dụ về hàm liên tục mà không còn đạo hàm hoặc nói cách khác, đó là một đường mà không còn tiếp tuyến tại bất kì một điểm nào của nó. G. B. Riemann thì đưa ra một hàm liên tục với mọi giá trị vô tỷ của biến nhưng lại gián đoạn với mọi giá trị hữu tỷ. Nhưng ví dụ đó xích míc với trực giác của con người và càng làm cho những người dân ta nghĩ rằng Cachy chưa thực sự thấy được cái trở ngại vất vả tột cùng trên con phố đi tới một cơ sở vững vàng cho giải tích học. Lí thuyết số lượng giới hạn được xây dựng trên một khái niệm trực giác đơn giản về khối mạng lưới hệ thống số thực. Thật ra, khối mạng lưới hệ thống số thực ít nhiều được coi như thể thực sự đã có và trong những tài liệu về phép tính vi tích phân lúc bấy giờ nó vẫn như vậy. Người ta thấy rõ ràng là lí thuyết số lượng giới hạn, tính liên tục và tính khả vi phụ thuộc vào những tính chất khó hiểu của khối mạng lưới hệ thống số thực nhiều hơn nữa là so với những gì chúng nên phải có. Do vậy, Vâyơstrat ủng hộ một chương trình trong đó trước hết bản thân khối mạng lưới hệ thống số thực phải được làm cho ngặt nghèo rồi tất cả những quan niệm cơ bản về giải tích mới được rút ra tự khối mạng lưới hệ thống số đó. Chương trình nổi tiếng này được gọi là chương trình số học hóa giải tích. Nó đã cho tất cả chúng ta biết quả có trở ngại vất vả và rắc rối nhưng sau đó đã được Vâyơstrat và những môn đệ thực hiện được, và ngày này mọi thứ trong giải tích đều hoàn toàn có thể rút gọn được một cách hợp lý từ một tập hợp định đề đặc trưng cho khối mạng lưới hệ thống số thực. Lí thuyết tập hợp và phương pháp tiên đề mở ra cho toán học kĩ năng nghiên cứu và phân tích một cách nhất quán mọi loại phép toán, mọi loại quan hệ và cấu trúc ở mức độ rất khái quát. Sau hàng nghìn năm sang lọc, toán học xem ba cấu trúc cơ bản: tôpô, đại số, thứ tự là những cấu trúc cơ bản. Do bộ môn toán học được tổ hợp từ ba loại cấu trúc này nên được gọi là cấu trúc cơ bản. Tổ hợp này hoàn toàn có thể đơn giản hay phức tạp, càng phức tạp thì nằm trên một bậc càng cao trong cái 16 gọi là thang cấu trúc. Tuy chỉ có ba cấu trúc cơ bản nhưng đưa tất cả những bài toán về ba cấu trúc đó lại là một quá trình phức tạp cho nên vì thế ở mỗi quá trình phát triển, người ta dùng cấu trúc phức tạp hơn gọi là cấu trúc cơ sở thay cho ba cấu trúc cơ bản. Đó là đa tạp khả vi, đa tạp đại số và đa tạp giải tích. Sự phát triển kĩ thuật từ cơ khí hóa lên tự động hóa và sự ra đời một khoa học mới – điều khiển học – cơ sở của kĩ thuật tự động hóa là nguồn gốc cho việc ra đời những lí thuyết thuật toán. Các lí thuyết thuật toán đã góp thêm phần xây dựng những máy tính điện tử, phát triển những ngành toán học tính toán. Lí thuyết toán học lại tạo điều kiện cho việc ra đời và phát triển những hướng toán học thiết kế. Quan điểm này được cho phép đi sâu vào bản chất phức tạp của những đối tượng thông tin của chúng và là cơ sở tốt cho khoa học tính toán. 1.6. Giới thiệu lịch sử toán học Việt Nam Trước Cách mạng tháng Tám, bị sự ngưng trệ của chính sách phong kiến và thực dân, nền kinh tế tài chính của Việt Nam rất nghèo nàn và lỗi thời, cho nên vì thế toán học và khoa học tự nhiên không phát triển được. Các khao thi thời xưa ở nước ta có nội dung toán học là trong thời kì của Hồ Quý Ly. Chúng ta có những nàh khoa học kiêm văn học như Trần Nguyên Đán làm ra cuốn sách Bách thế thông kỉ thư nói về lịch sử từ năm 2357 trước công nguyên đến năm 1367 sau Công nguyên, ghi rõ cả những ngày nhật thực, nguyệt thực. Lương Thế Vinh người làng Cao Hương, huyện Vụ Bản, Nam hà đỗ Trạng nguyên năm 1463 với tư tưởng thần cơ diệu toán vạn niên sư, là tác giả cuốn Đại thành toán pháp được xem là sách giáo khao xưa nhất về toán. Vũ Hữu người làng Mộ Trạch, huyện Đường An (nay là Bình Giang), Tp Hải Dương, với cuốn Lập thành Toán pháp. Nguyễn Hữu Thận có Ức trai toán pháp, Nguyễn Cần có sách Bút toán chỉ nam. Từ sau Cách mạng tháng Tám năm 1945, tất cả chúng ta xây dựng nền toán học của đất nước hầu như từ số lượng không trở đi. Mặc dù thực trạng trở ngại vất vả của trong năm tháng chống Pháp, Đảng và Chính phủ ta đã để ý quan tâm xác tiến việc xây dựng những ngành khoa học, trong đó có toán học. Một mặt, do nhu yếu phát triển giáo dục, những lớp đại học toán đã được mở ra ở vùng tự do. Mặt khác, do nhu yếu phục vụ kháng chiến (quân giới), một số trong những nghiên cứu và phân tích ứng dụng toán học đã 17 khởi đầu được tiến hành. Nhưng chỉ với sau khi kết thúc thắng lợi cuộc kháng chiến chống Pháp và khởi đầu xây dựng chủ nghĩa xã hội, ngành toán học ở miền Bắc mới có điều kiện phát triển mạnh. Đội ngũ cán bộ toán được xây dựng. Các hoạt động và sinh hoạt giải trí toán học ngày càng mở rộng, đã phát huy tác dụng nhất định đối với sản xuất và đời sống cũng như đối với công cuộc chống Mĩ cứu nước và xây dựng đất nước của nhân dân ta. Đảng, Chính phủ ta rất coi trọng việc đào tạo cán bộ toán và rất là giúp sức những hoạt động và sinh hoạt giải trí sinh hoạt toán học. “Trước hết, tất cả chúng ta phải mau chóng đuổi kịp trình độ tiên tiến về toán học” (Thủ tướng Phạm Văn Đồng). Nhiều giải pháp đã được thực hiện: thành lập Hội toán học Việt Nam (1965), xuất bản tạp chí Toán học và Tuổi trẻ (1964) để khuyến khích học toán, tổ chức những kì thi học viên giỏi toán (từ năm 1953), mở những lớp chuyên toán (từ năm 1966) , đưa máy tính điện tử về thành lập Trung tâm tính toán, thành lập Viện toán học (vào năm 1969), thành lập bộ phận toán trong những đơn vị quản lí kĩ thuật ở một số trong những Bộ. Với phương thức đào tạo cán bộ toán vừa học vừa làm, vừa học vừa nghiên cứu và phân tích, đồng thời nhờ việc giúp sức của những nước anh em, phạm vi nghiên cứu và phân tích toán học của ta đã mở rộng ra nhiều. Việc nghiên cứu và phân tích đã được tiến hành trên hầu hết những nghành quan trọng của toán học: lí thuyết hàm số (thực và phức), giải tích hàm, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, hình học, tôpô, số luận, đại số tân tiến, lôgic toán, toán học tính toán, phương pháp tính, xác suất thống kê, điều khiển học, toán học kinh tế tài chính,… Nội dung nghiên cứu và phân tích đã có để ý quan tâm khuynh hướng về những vấn đề mang tính chất chất khoa học và thực tiễn đối với nước nhà như những vần đề về phương pháp tính liên quan đến thủy lợi, về vận trù học liên quan tới những ứng dụng kinh tế tài chính, về hàm phức liên quan đến hiện tượng kỳ lạ thấm, về phương trình vi phân trong những hiện tượng kỳ lạ xấp xỉ, về xác suất thống kê trong việc kiểm tra chất lượng sản phẩm, dự báo thống kê… Đáng để ý quan tâm là cạnh bên những nghiên cứu và phân tích trong những nghành tầm cỡ, ngành toán học Việt Nam, tuy nhiên còn non trẻ, cũng luôn có thể có một số trong những đóng góp trong nghành tân tiến, về những vấn đề đang được nhiều người trên thế giới quan tâm. Các hướng trọng điểm mà toán học Việt Nam để ý quan tâm phát triển (theo Báo cáo Hội nghị toán học toàn miền Bắc lần thứ III) là: 18 - Toán học tính toán và những hướng toán học rời rạc thuộc phạm vi điều khiển học lí thuyết; - Lí thuyết xác suất, thống kê và những hướng toán học ngẫu nhiên khác; - Toán học kinh tế tài chính và những lí thuyết tối ưu hóa; - Những phương hướng tân tiến của những ngành giải tích (gồm có lí thuyết hàm và giải tích hàm, phương trình vi phân thường và riêng); - Một số ngành lí cơ bản quan trọng của toán học tân tiến (đại số, tôpô đại số, …) Về số lượng khu công trình xây dựng của những nhà toán học Việt Nam: Tính đến thời điểm ở thời điểm cuối năm 2008, có tầm khoảng chừng 5000 bài báo của những tác giả Việt Nam được điểm danh ở Mathematical Reviews (Tạp chí số 1 thế giới của Hội toán học Mĩ, ra mắt về những khu công trình xây dựng toán học từ năm 1940 trở lại đây). Người có khu công trình xây dựng được liệt kê đầu tiên trên Mathematical Reviews là cố giáo sư Lê Văn Thiêm với bốn bài báo nổi tiếng công bố vào năm 1947 và 1949. Có thể rút ra một vài nhận xét sơ bộ như sau: - Cho đến ngày thống nhất đất nước, nền toán học của ta còn yếu với tổng cộng chưa tới 300 khu công trình xây dựng được công bố. Điều này cũng hoàn toàn phù phù phù hợp với thực tế là lúc đó tại miền Bắc đa phần chỉ có bốn khoa Toán là Đại học Tổng hợp Tp Hà Nội Thủ Đô, Đại học Bách khoa Tp Hà Nội Thủ Đô, Đại học Sư phạm Tp Hà Nội Thủ Đô và Đại học Sư phạm Vinh, còn Viện toán học thì mới thành lập được 5 năm. - Mười năm đầu sau khi thống nhất, Toán học Việt Nam tiến chậm rãi nhưng vững chắc đạt được số khu công trình xây dựng chừng 90 bài. - Mười lăm năm tiếp theo, từ 1986 đến 2001, trừ 4 năm đột biến là 1992, 1994-1996, thì số lượng những bài báo dường như không thay đổi, xoay quanh số lượng 150 với số lượng tác giả cũng không nhiều nếu không muốn nói là rất ít thay đổi xoay quanh 115 tác giả. - Khoảng thời gian từ 2002-2008, số lượng khu công trình xây dựng tăng thêm khoảng chừng 30%, còn số lượng tác giả tăng thêm khoảng chừng 40-50%. Sự dịch chuyển số lượng khu công trình xây dựng tròn những quá trình nêu trên phù phù phù hợp với nền kinh tế tài chính của nước nhà và sự đầu tư cho toán học ở quá trình tương ứng. Đứng đầu list số lượng khu công trình xây dựng là giáo sư Hoàng Tụy với 142 công 19 trình. Giáo sư cũng là người duy nhất có trên 100 khu công trình xây dựng được liệt kê ở MathSciNet và hiện còn thao tác trong nước. Về vị trí của toán học Việt Nam trên map toán học thế giới: Vấn đề xếp hạng nền toán học Việt Nam chỉ nhằm mục đích xác định vị trí tương đối của toán học Việt Nam, giúp tất cả chúng ta có cái nhìn sơ bộ từ một góc cạnh nào đó. Trên cơ sở đó từng người sẽ có suy nghĩ và hành vi để góp thêm phần đưa toán học nước nhà tiến lên rất cao hơn. Thương Hội toán học thế giới (IMU) hiện có 68 nước gồm có những quốc gia có phát triển toán học. Hội được phân thành 5 nhóm nước. Việt Nam hiện giờ đang ở nhóm thấp nhất (năm 2009) – nhóm 1 gồm 32 nước. Theo cách phân chia của IMU thì Việt Nam đứng sau khoảng chừng 40 nước. Nếu xét khu công trình xây dựng công bố trong 5 năm từ 2001-2005 , trong đó có xét tới thành tích công bố của một số trong những nước có nền toán học khá nhưng chưa gia nhập IMU, thì Việt Nam đứng thứ 19; nếu trừ đi năm nước thuộc những nhóm 2-5 của IMU thì Việt Nam đứng thứ 14. Như vậy, với hai tiêu chí này thì toán học Việt Nam đứng ở vị trí thứ 54. Tuy nhiên khi xét như vậy ta hoàn toàn có thể có hai nghi ngờ: thứ nhất, một số trong những nước xếp ở trên nước ta (Arập Xêut, Ai Cập, Venezuela, Nam Phi, …) chưa phải trình độ toán học đã phát triển hơn ta vì ở đó có nhiều nhà toán học vô danh hoặc ở những nước đó có nhiều nhà toán học châu Âu đến dạy trong thời gian dài, do vậy tuy nhiên số lượng khu công trình xây dựng của tớ có vẻ như nhiều hơn nữa nhiều của Việt Nam nhưng trong con mắt một số trong những nhà toán học thế giới thì học không đánh giá cao những nước đó; còn toán học Việt Nam hoàn toàn có thể ít hơn nhưng lại được nhắc tới nhiều hơn nữa, có lẽ rằng vì có bản sắc hơn: do chính người Việt Nam làm. Thứ hai, có một số trong những nước xếp sau ta (như Acmênia, Kadăcxtan, Udơbekistan,…) chưa chắc đã kém phát triển hơn toán học nước ta vì rất hoàn toàn có thể ở đó có một số trong những nhà toán học xuất sắc hay là một trong-2 trường đại học tốt. Nói tóm lại, mọi sự sắp xếp chỉ là tương đối. Qua phân tích trên hoàn toàn có thể đã cho tất cả chúng ta biết Toán học Việt Nam đứng khoảng chừng 50-54 trên thế giới. Có thể nói đây là một thứu hạng khá nhã nhặn. Một sự kiện lớn với toán học Việt Nam là ngày 19-8-2010 tại Ấn Độ, giáo sư Ngô Bảo Châu đã được trao tặng phần thưởng Fields (cùng với ba nhà toán học khác). Đây là lần đầu tiên một nhà toán học từ một nước đang phát triển, 20 một nước lỗi thời về kinh tế tài chính và khoa học đạt được phần thưởng cao quý này. Con đường dẫn đến vinh quang này của ông có những cột mốc đàng ghi nhớ sau đây: Năm 2004: Ông được trao phần thưởng Toán học Clay (cùng với giáo sư Laumon). Đây là một trong những phần thưởng có uy tín trong toán học được trao thường niên, bắt nguồn từ năm 1999. Cho đến nay mới có tất cả 23 người được trao phần thưởng này. Năm 2006: Ông được mời đọc báo cáo mời tiểu ban tại Đại hội Toán học Thế giới (ICM) tại Marid (Tây Ban Nha). Đây là vinh dự đặc biệt vì ICM chỉ được tổ chức 4 năm một lần, phân thành 20 tiểu ban, mỗi tiểu ban chỉ mời tối đa 10 người đọc báo cáo mời. Chỉ Chuyên Viên số 1 trong chuyên ngành mới được làm báo cáo mời tiểu ban. Giáo sư Ngô Bảo Châu là người Việt Nam đầu tiên có vinh dự này. Năm 2007: Ông được trao phần thưởng Oberwolfach của Đức. Trao Giải này dành riêng cho những nhà toán học trẻ của châu Âu, 3 năm một lần bắt nguồn từ năm 1991. Cho đến nay mới có 8 nhà toán học được vinh dự này. Cũng năm này ông được trao phần thưởng của Viện Hàn lâm Pháp mang tên Sophie Germain. Năm 2009: Công trình “Le lemme fundamental pour les algèbres de Lie” (Bổ đề cơ bản cho đại số Lie) được tạp chí có uy tín Time của Mĩ bầu chọn là một trong 10 phát minh khoa học tiêu biểu của năm. Giữa năm này, tên tràng Web chính thức của ICM-2010, đăng tên 20 nhà toán học được mời đọc báo cáo toàn thể, trong đó có Ngô Bảo Châu một trong hai nhà toán học dưới 40 tuổi. Năm 2010: Ông được nhận phần thưởng Fields trong tiếng vỗ tay không dứt của tất cả hội trường để bày tỏ sự khâm phục và lời chúc mừng. Ngày 23-12-2010 Viện nghiên cứu và phân tích cao cấp về Toán đã được thành lập trực thuộc Bộ giáo dục và Đào tạo. Giáo sư Ngô bảo Châu được chỉ định làm giám đốc khoa học của Viện. Mục tiêu của Viện nghiên cứu và phân tích cao cấp về toán là trở thành một trung tâm toán học xuất sắc, có môi trường tự nhiên thiên nhiên thao tác tương đương với một số trong những nước phát triển về Toán, để trao đổi học thuật nhằm mục đích nâng cao năng lực khoa học của nhà nghiên cứu và phân tích, giảng dạy và ứng dụng toán học Việt Nam. Đây là mốc quan trọng để đánh dấu sự phát triển của nền toán học ở Việt Nam. 21 CHƢƠNG 2. LỊCH SỬ CÁC CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC MÔN TOÁN Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG 2.1. Lịch sử về những kiến thức và kỹ năng đại số 2.1.1. Các bài toán dẫn đến kiến thức và kỹ năng đại số Từ trước tới nay, tất cả chúng ta thường thấy đại số gặp vấn đề về động cơ thúc đẩy. Trong tất cả những sách giáo khoa viết về môn học này hiện đầy rẫy những ví dụ được tạo ra một cách vô bổ. Chẳng hạn, sau đây là một bài toán từ sách Ars magna của Girolamo Cardano (1545): “Hai người đàn ông đi marketing thương mại với nhau và có một số trong những vốn chưa chắc như đinh. Tiền lời của tớ bằng lập phương của một phần mười vốn của tớ. Nếu họ làm ít đi ba đồng đuca họ sẽ tăng lên một lượng bằng chính vốn của tớ. Hỏi vốn là lợi nhuận của tớ bằng bao nhiêu?”. Nếu đọc bài toán này khiến bạn muốn gợi ý “Chúng ta chỉ việc hỏi họ xem vốn và lợi nhuận của tớ bằng bao nhiêu là được” thì bạn được chúc mừng về sự tinh khôn của tớ. Đặc biệt câu thứ hai của bài toán biểu thị toàn bộ viễn cảnh tưởng tượng như một sự viển vông. Nguồn thông tin dồi dào về những phép tính của người Ai Cập là Papyrut Rhind. Sau tiêu đề mô tả, Papyrut khởi đầu với bảng những số. Trong thế giới tân tiến, tất cả chúng ta xem số học gồm có bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia thực hiện trên những số tự nhiên (the whole numbers) và những phân số. Chúng ta học những quy tắc để thực hiện những phép toán này lúc còn bé và thực hiện chúng một cách tự động mà không nỗ lực chứng mỉnh rằng chúng là đúng. Điều này là khác lạ với người Ai Cập. Đối với người Ai Cập, có vẻ như như những phép toán cơ bản là phép cộng và nhân đôi (doubling). Các phép toán này được thực hiện trên những số tự nhiên và những phần (parts). Phần là khái niệm của người Ai Cập tương đương với một phân số. Chẳng hạn, phân số viết theo kiểu ngày này là 17thì được viết là “phần thứ bảy” (the seventh part”). Cụm từ này chuyển tải hình ảnh của một vật được phân thành bảy phần bằng nhau sắp xếp trên một hàng và phần thứ bảy được chọn. Vì lí do này, theo Van der Waerden thì hoàn toàn có thể chỉ có một phần thứ bảy, gọi là phần ở đầu cuối; sẽ không còn cách nào
