Mẹo về Các dạng bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 2022
Dương Minh Dũng đang tìm kiếm từ khóa Các dạng bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng được Update vào lúc : 2022-06-11 13:48:03 . Với phương châm chia sẻ Bí kíp về trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết Mới Nhất. Nếu sau khi tham khảo tài liệu vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại phản hồi ở cuối bài để Ad lý giải và hướng dẫn lại nha.
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là một chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán 11. Vậy đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là gì? Làm thế nào để vẽ một đường vuông góc với một mặt phẳng? Bài giảng và bài tập đường vuông góc mặt phẳng lớp 11?… Trong nội dung nội dung bài viết dưới đây, Tip.edu sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này!
Một đường thẳng được cho là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng đó.
Khi đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ((P) ) ta nói mặt phẳng ((P) ) vuông góc với d. Biểu tượng (d bot (P) )
Nếu đường thẳng (a ) không vuông góc với mặt phẳng ((P) ) thì góc giữa (a ) và hình chiếu của nó (a ‘) lên ((P) ) được gọi là góc giữa dòng (a ) và mặt phẳng ((P) )
- Qua điểm (O ) ngoài đường thẳng (a ) chỉ có một mặt phẳng ((P) ) đi qua (O ) và vuông góc với (a )
Qua điểm (O ) bên phía ngoài mặt phẳng ((P) ) chỉ có một đường thẳng (a ) đi qua (O ) và vuông góc với ((P) )
Hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì song song với nhau
( left { begin matrix a bot (P) b bot (P) end matrix right. Rightarrow a song song b )
- Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau
( left { begin matrix a bot (P) a bot (Q.) end matrix right. Rightarrow (P) song song (Q.) )
- Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng đó vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau
( left { begin matrix a bot b (P) bot b end matrix right. Rightarrow a song song (P) )
Độ song song và độ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có quan hệ rõ ràng sau:
Định lý ba đường thẳng vuông góc
Đường (a ) không vuông góc với mặt phẳng ((P) ) và (b ) là một đường trong ((P) ) thì điều kiện cần và đủ để (b bot a ) là (b ) vuông góc với hình chiếu (a ‘) của (a ) trên ((P) )
Tìm hiểu định nghĩa của phép chiếu vuông góc
Chúng ta cần vẽ một đường thẳng qua (O ) nằm bên phía ngoài mặt phẳng ((P) ) và vuông góc với ((P) )
Tìm hình chiếu (O ‘) của (O ) trên ((P) ). Sau đó, đường (OO ‘) là đường để vẽ.
Giả sử đã có một dòng (a bot (P) ). Trong mặt phẳng chứa (O, a ), tất cả chúng ta vẽ một đường thẳng qua (O ) song song với (a ). Đó là đường để vẽ.
Ví dụ
Cho hình chóp (S.ABC ) với (SA bot (ABC) ). Gọi (D ) là trung điểm (BC ). Bên trên [/latex] SD [/latex] lấy điểm (M ) sao cho (DM = 2 SM ). Đường thẳng qua (M ) vuông góc với ((ABC) ) cắt ((ABC) ) tại (K ). Xác định vị trí (K )
Giải pháp
Trong mặt phẳng ((SAD) ) hãy xem xét ( Delta SAD )
Qua (M ) vẽ (MK song song SA ). sau đó
( frac AK AD = frac SM SD = frac 1 3 )
Bởi vì ( left { begin matrix SA bot (ABC) SA song song MK end matrix right. Rightarrow MK bot (ABC) )
Vậy đường thẳng qua (M ) vuông góc với ((ABC) ) cắt ((ABC) ) tại (K ) sao cho ( frac AK AD = frac 1 3 )
Để chứng tỏ rằng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ((P) ) ta hoàn toàn có thể sử dụng ba cách sau:
- Phương pháp 1: Chứng minh rằng (d ) vuông góc với hai tuyến đường thẳng cắt nhau trong ((P) )
Phương pháp 2: Chứng minh rằng (d ) song song với đường thẳng (a ) mà (a bot (P) )
Phương pháp 3: Chứng minh (d bot (Q.) ) và ((Q.) song song (P) )
Ví dụ:
Xét một hình chóp (S.ABCD ) có đáy là hình vuông vắn (ABCD ) tâm (O ) và mặt bên (SA bot (ABCD) ). Gọi (H, K ) lần lượt là hình chiếu vuông góc của (A ) lên những mặt (SB, SC ).
Chứng minh rằng (HK bot (SAC) )
Giải pháp:
Xem xét ( Delta SAD ) hình vuông vắn tại (A ) với độ cao (AK )
Theo hệ thức lượng giác tam giác vuông ( Rightarrow SK.SD = SA ^ 2 )
Tương tự với ( Delta SAB Rightarrow SH.SB = SA ^ 2 )
( Rightarrow SK.SD = SH.SB )
Mặt khác ( Delta SAB = Delta SAD ) (cgc) ( Rightarrow SB = SD )
( Rightarrow SK = SH Rightarrow frac SK SD = frac SH SB )
Xem xét ( Delta SBD ) với ( frac SK SD = frac SH SB )
( Mũi tên phải HK song song BD ; ; ; ; ; ; (1) )
Mặt khác, chúng tôi có
(BD bot SA ) (do (SA bot (ABCD) ))
(BD bot AC ) (hai hình vuông vắn chéo nhau)
( Rightarrow BD bot (SAC) ; ; ; ; ; ; (2) )
Từ ((1) (2) Rightarrow HK bot (SAC) )
Để chứng tỏ rằng hai tuyến đường thẳng (a, b ) vuông góc với nhau, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng hai cách sau
- Phương pháp 1: Tìm mặt phẳng ((P) ) chứa đường thẳng (b ) rồi chứng tỏ (a bot (P) ). Sau đó ( Rightarrow a bot b )
Phương pháp 2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
Ví dụ:
Xét một hình chóp (S.ABC ) có đáy là tam giác vuông tại (A ) và (SA bot (ABC) ). Gọi (DỄ DÀNG [latex] là vấn đề đối xứng của [latex] B ) qua trung điểm (M ) của (AC ). Chứng minh rằng (CA bot SM )
Giải pháp
Chúng ta có:
(M ) là trung điểm (AC )
(M ) là trung điểm (BD )
( Rightarrow ABCD ) là một hình bình hành
( Rightarrow CD song song AB )
Cái nào (AB bot AC Rightarrow CD bot AC )
Cái nào (CD bot SA ) (do (SA bot (ABC) )
( Rightarrow CD bot (SAC) )
Cái nào (SM in (SAC) Rightarrow CD bot SM )
Để xác định và tính độ lớn của góc giữa đường thẳng (d ) và mặt phẳng ((P) ), tất cả chúng ta thực hiện tiến trình sau
- Bước 1: Tìm giao điểm (I = d cap (P) )
Bước 2: Chọn một điểm bất kỳ (A trong d ) rồi chiếu (A ‘) lên mặt phẳng ((P) )
Bước 3: Góc giữa (d ) và ((P) ) là góc ( widehat AIA ‘ ). Để tính độ lớn của góc ( widehat AIA ‘ ), tất cả chúng ta sử dụng những thông số trong tam giác vuông (AIA’ )
Ví dụ:
Cho hình chóp (S.ABC ) có đáy (ABC ) là tam giác vuông với cạnh huyền (BC = a ). Biết rằng hình chiếu của (S ) lên ((ABC) ) là trung điểm của (BC ) và (SB = a ). Tính số đo của góc giữa (SA ) và ((ABC) )
Giải pháp
Hãy xem xét ( Delta SBC ) có
(M ) là trung điểm (BC )
(SM bot BC )
( Rightarrow Delta SBC ) tại (S )
Mà (SB = BC = a Rightarrow Delta SBC ) đều là
( Rightarrow SM = frac a sqrt 3 2 )
Xét ( Delta ABC ) hình vuông vắn tại (A ) trong đó (AM ) là trung bình của cạnh huyền (BC Rightarrow AM = frac BC 2 = frac a 2 )
Xem xét ( Delta SMA ) hình vuông vắn tại (M )
( tan widehat SAM = frac SM AM = frac frac a sqrt 3 2 frac a 2 = sqrt 3 )
( Rightarrow widehat SAM = 60 ^ circle )
Vì (M ) là hình chiếu của (S ) lên ((ABC) ) nên ( Mũi tên phải ) góc giữa (SA ) và ((ABC) ) là ( widehat SAM = 60 ^ circle )
Để xác định thiết diện của mặt phẳng (( alpha) ) đi qua (O ) vuông góc với đường thẳng (d ) với hình chóp, ta hoàn toàn có thể tuân theo hai cách sau
- Phương pháp 1: Xác định tất cả những đường vuông góc với (d ), sau đó (( alpha) ) sẽ song song hoặc chứa những đường thẳng này. Sau đó, chúng tôi quy đổi sang phần song song
- Phương pháp 2: Tạo hai tuyến đường (a, b bot d ) trong đó một đường đi qua điểm (O ). Khi đó mặt phẳng (( alpha) ) là mặt phẳng ((a, b) )
Ví dụ:
Cho hình chóp (S.ABC ) có đáy (ABC ) là tam giác đều với những cạnh (a ) và (SA = SB = SC = b ). Xét mặt phẳng (( alpha) ) đi qua (A ) và vuông góc với (SC ). Tính thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (( alpha) )
Giải pháp
Vì (SA = SB = SC Rightarrow ) nên hình chiếu của (S ) lên ((ABC) ) là tâm (O ) của ( Delta ABC )
Mặt khác, vì ( Delta ABC ) là chính quy, (O ) cũng là trực tâm của ( Delta ABC )
( Rightarrow OA bot BC )
Mà (SO bot BC ) chính bới (SO bot (ABC) )
( Rightarrow BC bot (SAO) )
( Rightarrow BC bot SA )
Trong ((SAC) ) đặt (CI bot SA ).
( Rightarrow (BCI) bot SA ) nên mặt phẳng cắt bắt buộc là ( Delta BCI )
Bởi vì ( Delta SAB = Delta SAC ) (ccc) ( Rightarrow IB = IC ) (là loại độ cao (SC ))
( Rightarrow Delta IBC ) tại (I )
Coi ( Delta SAC ) cân đối tại (S ) với độ cao (CI ) và (SA = SB = b; AC = a )
Lấy (H ) làm trung điểm (AC Rightarrow SH bot AC )
(IC = AC. Sin widehat SAC = AC. Frac SH SA = a. Frac sqrt b ^ 2- frac a ^ 2 4 b = frac a sqrt 4b ^ 2-a ^ 2 2b )
Coi ( Delta IBC ) cân đối tại (I ) trong đó (M ) là trung điểm (BC )
( Rightarrow IM bot BC )
(IM = sqrt IC ^ 2-MC ^ 2 = sqrt frac a ^ 2 (4b ^ 2-a ^ 2) 4b ^ 2 – frac a ^ 2 4 = frac a sqrt 3b ^ 2-a ^ 2 2b )
Vì vậy, diện tích s quy hoạnh mặt phẳng cắt ngang (S_ IBC = frac IM.BC 2 = frac a ^ 2 sqrt 3b ^ 2-a ^ 2 4b )
Bài viết trên của Tip.edu đã giúp những bạn tổng hợp lý thuyết, những dạng bài tập cũng như cách vẽ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hi vọng những kiến thức trong nội dung bài viết sẽ giúp ích cho những bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu và phân tích về chuyên đề Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng lớp 11. Chúc những bạn luôn học tốt!
Xem nội dung rõ ràng bài giảng dưới đây:
[embed]https://www.youtube.com/watch?v=CI6EhI_dAYA[/embed]
(Nguồn: www.youtube.com)
Xem thêm >>> Giới hạn sĩ số lớp 11: Lý thuyết, Bài tập và Các dạng Toán
Xem thêm >>> Giới hạn của hàm số là gì? Lý thuyết, Bài tập và Giải pháp
Xem thêm >>> Vectơ trong không khí lớp 11 và Các dạng toán về vectơ trong không khí
