Thủ Thuật về GIẢI hệ phương trình bằng lượng giác hóa 2022
Bùi Thị Thu Hương đang tìm kiếm từ khóa GIẢI hệ phương trình bằng lượng giác hóa được Update vào lúc : 2022-07-15 15:18:02 . Với phương châm chia sẻ Kinh Nghiệm Hướng dẫn trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi tham khảo tài liệu vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comment ở cuối bài để Admin lý giải và hướng dẫn lại nha.Trần Văn Quân Giải PT-HPT bằng phương pháp lượng giác hóa Giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp lượng giác hóa Lời mở đầu: Đứng trước những bài phương trình, hệ phương trình ta có rất nhiều hướng xử lí như nâng lũy thừa,đặt ẩn phụ, dùng hằng đăng thức,bất đẳng thức,... Tuy vậy không phải lúc nào ta cũng áp đặt một trong những phương pháp nêu trên để giải những bài phương trình,hệ phương trình đó.Có những hệ phương trình 3 ẩn mà hai phương trình,hoặc những hệ phương trình có số mũ rất lớn thì việc sử dụng những phương pháp thông thường sẽ đưa ta đến ngõ cụt.Nhưng thật như mong ước thay một số trong những bài phương trình,hệ phương trình lại sở hữu những điều kiện bó hẹp của biến giúp ta liên tưởng đến một số trong những công thức lượng giác,từ đó mà ta tìm được phép đặt lượng giác phù hợp.Chính vì vậy tôi viết lên chuyên đề Giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp lượng giác hóa để giúp những bạn yêu toán lại sở hữu thêm trong tay mình một phương pháp khá hay để xử lý và xử lý một số bài toán về phương trình, hệ phương trình. Khả năng hạn hẹp nên chuyên đề của tôi còn nhiều thiếu sót , rất mong ban đọc đóng góp và cho tôi ý kiến.Mọi thắc mắc xin liên hệ qua hòm thư ất cảm ơn những bạn đã quan tâm đến chuyên đề này !!! I.Một số phép đặt lượng giác cơ bản 1.Nếux ∈ [−a; a], a > 0 thì đặt x = a cos α, α ∈ [0; π] hoặc x = a sin β, β ∈ [ −π π ; ] 2 2 2.Nếu x ∈ R thì đặt x = tan t, t ∈ −π π ; 2 2 3.Nếu x2 + y 2 = a(a > 0) thì đặt x= √ a sin t, y = √ a cos t, t ∈ [0; 2π] *Chú ý: Một số đẳng thức lượng giác : 1 sin2 x + cos2 x = 1, ∀x ∈ R 2 sin 2x = 2 sin x cos x 3 cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x π 4 Với α; β; γ 6= + kπ, k ∈ Z, ta có: 2 tan α + tan β + tan γ = tan α. tan β. tan γ ⇔ α + β + γ = mπ(m ∈ Z) 5 Với α; β; γ 6= π + kπ, ∈ Z, ta có: 2 tan α. tan β + tan β. tan γ + tan γ. tan α = 1 ⇔ α + β + γ = Trang 1 π + nπ(n ∈ Z) 2 Trần Văn Quân Giải PT-HPT bằng phương pháp lượng giác hóa II.Ví dụ Ví dụ 1 : Giải phương trình:4x3 − √ 1 − x2 − 3x = 0 Giải: Điều kiện: 1 − x2 > 0 ⇔ −1 6 x 6 1 Với điều kiện đó ta đặt x = cos t, t ∈ [o; π](∗) ,Phương trình đã cho trở thành: √ 4 cos3 t − 1 − cos2 t − 3 cos t = 0 π ⇔ cos 3t − sin t = 0 ⇔ cos 3t = cos( − t)(**) 2 π 5π Giải phương trình(**) phối hợp (*) ⇒ t = ; t = 8 8 π 5π Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = cos và x = cos 8 8 r Ví dụ 2 :Giải phương trình : x = q √ 2+ 2− 2+x Giải: Điều kiện 0 < x 6 2 π π Với điều kiện đó ta đặt x = 2 cos t, t ∈ ( ; )(*) 2 2 Ta được r phương trình q √ 2 cos t = 2 + 2 − 2 + cos t s r t ⇔ 2 cos t = 2 + 2 − 2 cos 2 r t ⇔ 2 cos t = 2 + 2 sin 4 √ t t ⇔ 2 cos t = 2(sin + cos 8 8 π t π ⇔ sin( − t) = sin( + ) (**) 2 8 4 2π −2π Giải (**) kết phù phù hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm phương trình là x = cos và x=cos 9 7 Nhận xét: Qua 2 ví dụ trên ta thuận tiện và đơn giản tìm được điều kiên của biến từ đó suy ra cách đặt lượng giác phù hợp.Lượng giác có một ưu điểm là khử căn bằng công thức hạ bậc, điều này là lợi thế lớn khi giải phương trình vô tỷ. Bài tập tương tự: √ Giải phương trình: 4x3 + 2 1 − x2 − 3x − 1 = 0 Ví dụ sau ta xét đến lợi thế của nó về ưu điểm khử căn trong Đề thi Vô địch Quốc gia 1984 Trang 2 Trần Văn Quân Giải PT-HPT bằng phương pháp lượng giác hóa Ví dụ 3 Giải phương trình( Vô địch Quốc gia 1984 ) q p p √ √ 2 3 3 1+ 1−x (1 + x ) − (1 − x) = 2 + 1 − x2 Giải: Điều kiện x ∈ [−1; 1] .Với điều kiện đó ta đặt x = cos α, α ∈ [0; π] Ta q được phương trình: p p √ √ 1 + 1 − cos2 α (1 + cos α)3 − (1 − cos α)3 = 2 + 1 − cos2 α s 3 s 3 √ 1 + cos α 1 − cos α ⇔ 1 + sin α 8 − 8 = 2 + sin α 2 2 √ α α α α 1 ⇔ 2 2 sin + cos cos − sin 1 + sin α = 2 + sin α 2 2 2 2 2 √ 2α α 1 ⇔ 2 2 cos − sin2 2 + sin α = 2 + sin α 2 2 2 √ ⇔ 2 cos α(2 + sin α) = 2 + sin α 1 1 ⇔ cos α = √ ⇒ x = √ 2 2 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = √ 2 Ví dụ 4 Giải hệ phương trình: ( p √ x 1 − y 2 + y 1 − x2 = 1 (1 − x)(1 + y) = 2 Giải: Điều kiện x, y ∈ [−1; 1] Với điều kiện đó đặt x = cos α; y = cos β; α, β ∈ [0; π] Ta ( có hệ tương đương: ( π α+β = (1) cos α sin β + cos β sin α = 1 2 ⇔ (1 − cos α)(1 + cos β) = 2 cos β − cos α − cos α cos β − 1 = 0(2) √ Giải (2): Đặt cos β − cos α = t(t 6 2) ⇒ t2 = cos2 β + cos2 α − 2 cos α cos β π ⇔ t2 = cos2 ( − α) + cos α − 2 cos β cos α 2 ⇔ t2 = 1 − 2 cos β cos α t2 − 1 → − cos β cos α = thay vào (2) 2 √ t2 − 1 Được phương trình: t2 + − 1 = 0 ⇔ t2 + 2t − 3 = 0 ⇒ t = 1 ( vì t ≤ 2) 2 Với t=1 ta có : cos β − cos α = 1 π π ⇔ sin(α − ) = sin 4 (4 x=0 π →α= →β=0⇒ là nghiệm duy nhất của hệ 2 y=1 Trang 3 Trần Văn Quân Giải PT-HPT bằng phương pháp lượng giác hóa Ví dụ 5 Giải hệ phương trình: 2 2x + x y = y 2y + y 2 z = z 2z + z 2 x = x Giải: Nhận thấy hệ không còn những nghiệm (±1, y, z); (x, ±1, z); (x, y, ±1) Với x, y, z 6= ±1, viết lại hệ dưới dạng: 2x y = 1 − x2 2y z= 1 − y2 x = 2z 1 − z2 −π π Với điều kiện đó đặt x = tan α (1), α ∈ ( ; ) , với tan α, tan 2α, tan 4α 6= ±1 2 2 2 tan α Với x = tan α ⇒ y = = tan 2α 1 − tan2 α 2 tan 2α = tan 4α Với y = tan 2α ⇒ z = 1 − tan2 2α 2 tan 4α = tan 8α (2) Với z = tan 4α ⇒ x = 1 − tan2 4α π Từ (1) và (2) → tan α = tan 8α ⇔ α = k , k ∈ Z 7 −π π −π π π Vì α ∈ ( ; )⇒
2 2 2 7 2 mà k ∈ Z → k = 0; ±1; ±2; ±3 π 2π 4π Nên: x = tan k ; y = tan k ; z = tan k với k = 0; ±1; ±2; ±3 7 7 7 Nhận xét: Việc biến hóa hợp lý sẽ đưa ta liên tưởng những công thức lược giác thường gặp.Ví dụ trên đã sử dụng công thức nhân 2 của hàm tan α để đưa những biến y, z, x lên những hàm tan 2α, tan 4α, tan 8α Ghi nhớ: tan 2t = 2 tan t 1 − tan2 t Ví dụ tiếp theo ta lại sử dụng công thức nhân 3 của hàm tan Ví dụ 6 Giải hệ phương trình: 3 2 x − 3x = y(3x − 1) y 3 − 3y = z(3y 2 − 1) 3 z − 3z = x(3z 2 − 1) 1 1 1 Giải:Nhận thấy hệ không còn những nghiệm x = ± √ ; y = ± √ ; z = ± √ 3 3 3 Trang 4 Trần Văn Quân Giải PT-HPT bằng phương pháp lượng giác hóa x3 − 3x y = 3x2 − 1 1 y 3 − 3y Với x, y, z 6= ± √ ta có hệ tương đương: z = 2 3y − 1 3 3 x = z − 3z 3z 2 − 1 −π π 1 Đặt x = tan t, t ∈ ; (1) với tan t, tan 3t, tan 9t 6= ± √ 2 2 3 Khi đó: tan3 t − 3 tan t y= = tan 3t 3 tan2 t − 1 z= tan3 3t − 3 tan 3t = tan 9t 3 tan2 3t − 1 tan3 9t − 3 tan 9t = tan 27t (2) 3 tan2 9t − 1 π Từ (1) và (2) ta được: tan t = tan 27t ⇔ t = k , k ∈ Z 26 −π π 26 −26 Do t ∈ ;
Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học viên giỏi,39,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,101,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,259,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,16,Đề cương ôn tập,38,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,951,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,16,Đề thi học kì,130,Đề thi học viên giỏi,123,Đề thi THỬ Đại học,385,Đề thi thử môn Toán,51,Đề thi Tốt nghiệp,43,Đề tuyển sinh lớp 10,98,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,210,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,8,File word Toán,33,Giải bài tập SGK,16,Giải rõ ràng,190,Giải Nobel,1,Trao Giải FIELDS,24,Trao Giải Lê Văn Thiêm,4,Trao Giải Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,17,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục đào tạo,349,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,195,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không khí,106,Hình học phẳng,88,Học bổng - du học,12,IMO,7,Khái niệm Toán học,64,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,55,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,26,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu truyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,286,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,7,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,12,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm tay nghề,8,SGK Mới,9,Số học,56,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,37,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,77,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,132,Toán 11,173,Toán 12,373,Toán 9,66,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,16,Toán Tiểu học,5,Tổ hợp,36,Trắc nghiệm Toán,220,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,271,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA I/ Các tín hiệu Ta có những tín hiệu: Nếu có điều kiện của biến là , ta hoàn toàn có thể đặt: , với hoặc , với . Trong trường hợp riêng: Nếu , ta hoàn toàn có thể đặt: , với hoặc, với . Nếu , ta hoàn toàn có thể đặt : , với hoặc, với . Nếu có điều kiện của biến là , ta hoàn toàn có thể đặt: , với hoặc , với . Nếu biến , ta hoàn toàn có thể đặt: , với hoặc , với . Trong trường hợp riêng: Nếu , ta hoàn toàn có thể đặt: , với hoặc , với . Nếu , ta hoàn toàn có thể đặt : , với hoặc ,với . Nếu hai biến thỏa mãn điều kiện , với , ta đặt : Trong trường hợp này nếu cần sử dụng tới dấu của và ta hoàn toàn có thể hạn chế góc , ví dụ nếu có thì . II/ Các biểu thức thường được lượng giác hóa Biểu thức Cách lượng giác hóa biểu thức với hoặc với với hoặc với với hoặc với hoặc , với III/ Các ví dụ 1. Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 1.1 Bài toán 1: Giải hệ phương trình: Lời giải Hệ tương đương với. Nếu vô lí; vô lí. Đặt ; ; . Ta có ; ; Khi đó: Thay vào (4): Ta có những trường hợp sau: Nếu Nếu Nếu Nếu 1.2 Bài toán 2: Cho hệ phương trình Tìm nghiệm của hệ để max Lời giải Đặt ; ; ; . Khi đó: Mà vì Khi đó: Kết phù phù hợp với (1) nghiệm là: Kết phù phù hợp với (2) nghiệm là: 1.3 Bài toán 3: Giải phương trình: Lời giải Ta có :( phần CM xin để cho những bạn) Do đó Vậy phương trình đã cho tương đường với 1.4 Bài toán 4: Giải phương trình Lời giải Ta có Do đó phương trình đã cho tương đương với hệ: 1.5 Các bài toán tự giải: 1.5.1 Giải phương trình 1.5.2 Giải hệ phương trình 1.5.3 Giải hệ phương trình 1.5.4 Giải hệ phương trình 1.5.5 Giải hệ phương trình 2. Bất đẳng thức 2.1 Bài toán 1: Cho bốn số thoã mãn điều kiện Chứng minh rằng Lời giải Đặt và . Ta có Vậy (điều phải chứng tỏ) 2.2 Bài toán 2: Chứng minh rằng Lời giải Điều kiện có nghĩa Đặt với Bất đẳng thức cần chứng tỏ có dạng 2.3 Các bài toán tự giải 2.3.1 Bài toán 1: Cho . Chứng minh rằng 2.3.2 Bài toán 2: Cho những số thoả mãn Chứng minh rằng 2.3.3 Bài toán 3: Cho liên hệ bởi Chứng minh rằng 3. Chứng minh đẳng thức 3.1 Bài toán 1: Cho thoả mãn điều kiện sau (1) Chứng minh rằng Lời giải Đặt , , với Khi đó (1) có dạng Do nên hay Vì nên . Vậy Ta có Tương tự Suy ra 3.2 Bài toán 2: Cho thoả mãn Chứng minh rằng Lời giải Đặt , , với Do nên Do mà nên Vậy . Ta có Tương tự ta có Khi đó vế trái của đẳng thức cần chứng tỏ bằng Suy ra điều phải chứng tỏ 3.3 Các bài toán tự giải 3.3.1 Bài toán 1:Cho . Chứng minh rằng: 3.3.2 Bài toán 2: Cho và thoả điều kiện Chứng minh rằng 3.3.3 Bài toán 3: Cho và Chứng minh rằng
