Bài toán khoảng cách trong hình học không gian là một vấn đề quan trọng, thường xuất hiện ở các câu hỏi có mức độ vận dụng và vận dụng cao. Các bài toán tính khoảng cách trong không gian bao gồm:
- Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng;
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên một mặt phẳng tới mặt phẳng còn lại;
- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng tới mặt phẳng đã cho;
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian.
Như vậy, 3 dạng toán đầu tiên đều quy về Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, chính là nội dung của bài viết này.
Ngoài ra, các em cũng cần thành thạo 2 dạng toán liên quan đến góc trong không gian:
1. Phương pháp tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, bài toán quan trọng nhất là phải dựng được hình chiếu vuông góc của điểm đó lên mặt phẳng.
Nếu như ở bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta đã biết trước mục tiêu cần hướng đến, thì ở bài toán dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chúng ta phải tự tìm ra đường thẳng (tự dựng hình) và chứng minh đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng đã cho, tức là mức độ sẽ khó hơn bài toán chứng minh rất nhiều.
Tuy nhiên, phương pháp xác định hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng sẽ trở nên dễ dàng hơn nếu chúng ta nắm chắc hai kết quả [bài toán] sau đây.
Bài toán 1. Dựng hình chiếu vuông góc từ chân đường cao tới một mặt phẳng.
Cho hình chóp $ S.ABC $ cho có $ SA $ vuông góc với mặt đáy $ (ABC) $. Hãy xác định hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(SBC)$.
Phương pháp. Để dựng hình chiếu của điểm $ A $ lên mặt phẳng $ (SBC) $, ta chỉ việc kẻ vuông góc hai lần như sau:
- Trong mặt phẳng đáy $ (ABC) $, kẻ $ AH $ vuông góc với $ BC, H $ thuộc $ BC. $
- Trong mặt phẳng $ (SAH) $, kẻ $ AK $ vuông góc với $ SH, K $ thuộc $ SH. $
Dễ dàng chứng minh được $ K $ chính là hình chiếu vuông góc của điểm $ A $ lên mặt phẳng $(P)$. Thật vậy, chúng ta có$$ \begin{cases}
BC\perp SA\\
BC \perp AH\\
\end{cases} $$ Mà $SA$ và $AH$ là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng $ (SAH)$, nên suy ra \( BC \) vuông góc với \( (SAH) \), nên \( BC\perp AK \). Như vậy lại có
$$ \begin{cases}
AK\perp BC\\ AK\perp SH
\end{cases} $$ Mà $BC, AH $ là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng $(SBC)$, nên suy ra \( AK \) vuông góc với \( (SBC) \), hay \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) lên mặt phẳng \( (SBC) \).
Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể ủng hộ chúng tôi bằng cách bấm vào các banner quảng cáo hoặc tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513. Xin cảm ơn!
Dưới đây là hình minh họa trong các trường hợp đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $ A,$ vuông tại $B,$ vuông tại $C $, tam giác cân, tam giác đều
- Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, lúc đó $H$ chính là chân đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác \(ABC\), và dễ dàng tìm được công thức tính độ dài đoạn $AK$ như sau: $$ \frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2} $$
- Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ (lúc đó $H$ trùng với điểm $B$).
- Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$ (lúc đó $H$ trùng với điểm $C$).
- Đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ hoặc là tam giác đều (lúc đó $H$ chính là trung điểm của $BC$).
Bài toán 2. Dựng hình chiếu vuông góc sử dụng giao tuyến hai mặt phẳng vuông góc.
Cho hình chóp $ S.ABC $ cho có hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABC) $ vuông góc với nhau. Hãy xác định hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(SBC)$.
Phương pháp. Rõ ràng ở đây hai mặt phẳng vuông góc $ (SBC) $ và $ (ABC) $ cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $BC$. Nên để dựng hình chiếu vuông góc của \( A \) lên mặt phẳng \( (SBC) \) ta chỉ việc hạ \( AK \) vuông góc với giao tuyến \( BC \) là xong. $$ \begin{cases}
(SBC)\perp (ABC)\\ (SBC)\cap (ABC) = BC\\ AK\subset (ABC)\\ AK\perp BC \end{cases} $$ Suy ra đường thẳng $AK$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$, và $K$ chính là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(SBC)$.
Ở đây chúng ta sử dụng định lý, hai mặt phẳng vuông góc với nhau và cắt nhau theo một giao tuyến. Đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng thứ nhất và vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mặt phẳng thứ hai.
2. Các ví dụ tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Ví dụ 1. Cho hình chóp $ S.ABC,$ có $ SA $ vuông góc với đáy, $ SA=3a,$ $AB=a,$ $BC=2a,$ $\widehat{ABC}=60^\circ. $ Chứng minh tam giác $ ABC $ vuông và tính khoảng cách từ điểm $ B$ tới mặt phẳng $(SAC), $ khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBC). $
Hướng dẫn. Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABC\), ta có $$ AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cdot \cos\widehat{B}=3a^2 $$ Rõ ràng \( BC^2=AB^2+AC^2 \) nên tam giác \(ABC\) vuông tại $A$. Lúc này, dễ dàng nhận thấy \( A \) chính là hình chiếu vuông góc của \( B \) lên mặt phẳng \( (SAC) \), và khoảng cách cần tìm $$ d(B,(SAC))=BA=a. $$
Em nào chưa biết cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì có thể xem lại bài viết Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBC) $, ta trình bày như bài toán 1 trường hợp đáy là tam giác vuông (ở đây thầy không viết lại nữa), đáp số$$ d(A,(SBC))=AK=\frac{3a}{\sqrt{13}}$$
Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $ a.$ Hai mặt phẳng $ (SAB),$ $(SAD) $ cùng vuông góc với đáy và cạnh $ SD $ tạo với đáy một góc $ 45^\circ. $ Tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBC),$ khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $(SBD) $.
Hướng dẫn. Hai mặt phẳng $ (SAB),(SAD) $ cùng vuông góc với đáy nên giao tuyến của chúng, là đường thẳng \( SA \) cũng vuông góc với mặt phẳng đáy \( (ABCD) \).
Nhặc lại định lý quan trọng, hai mặt phẳng vuông góc cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
Lúc này, góc giữa đường thẳng \( SD \) và đáy chính là góc \( \widehat{SDA} \) và góc này bằng \( 45^\circ \). Suy ra, tam giác \( SAD \) vuông cân tại \( A \) và \( SA=AD=a \).
Tam giác \( SAB \) vuông cân có \( AK \) là đường cao và cũng là trung tuyến ứng với cạnh huyền, nên \( AK=\frac{1}{2}SB=\frac{a\sqrt{2}}{2} \).
Để tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBC),$ chúng ta cố gắng nhìn ra mô hình giống như trong bài toán 1. Bằng việc kẻ vuông góc hai lần, lần thứ nhất, trong mặt phẳng \( (ABCD) \) ta hạ đường vuông góc từ \( A \) tới \( BC \), chính là điểm \( B \) có sẵn luôn. Kẻ vuông góc lần thứ hai, trong mặt phẳng \( (SAB) \) ta hạ đường vuông góc từ \( A \) xuống \( SB \), gọi là \( AK \) thì độ dài đoạn \( AK \) chính là khoảng cách cần tìm.
Để tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $(SBD) $ ta vẫn tiếp tục làm như kỹ thuật trong bài toán 1. Chúng ta kẻ vuông góc hai lần, lần thứ nhất từ \( A \) kẻ vuông góc xuống \( BC \), chính là tâm \( O \) của hình vuông luôn (vì hình vuông thì hai đường chéo vuông góc với nhau). Nối \( S \) với \( O \) và từ \( A \) tiếp tục hạ đường vuông góc xuống \( SO \), gọi là \(AH \) thì chứng minh được \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) lên mặt phẳng \( (SBD) \). Chúng ta có ngay
$$ \frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AD^2}=\frac{3}{a^2} $$
Từ đó tìm được $AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ và khoảng cách cần tìm là $ d(A,(SBD)=AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Ví dụ 3. Cho hình tứ diện $ ABCD $ có cạnh $ AD $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABC) $, ngoài ra $ AD = AC = 4 $ cm; $ AB = 3 $ cm; $ BC = 5 $ cm. Tìm khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ (BCD). $
Ví dụ 4. [Đề thi ĐH khối D năm 2003] Cho hai mặt phẳng $ (P),(Q) $vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến $ \Delta. $ Lấy $ A , B $ thuộc $ \Delta $ và đặt $ AB=a $. Lấy $ C , D $ lần lượt thuộc hai mặt phẳng $ (P),(Q) $ sao cho $ AC , BD $ vuông góc với $ \Delta $ và $ AC=BD=a. $ Tính khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ (BCD).$
Hướng dẫn. Hạ $ AH\perp BC $ thì $ d(A,(BCD))=AH=\frac{a}{\sqrt{2}} $.
Ví dụ 5. [Đề thi ĐH Khối D năm 2012] Cho hình hộp đứng $ $ABCD$.ABCD $ có đáy là hình vuông, tam giác $ AAC $ vuông cân, $ AC=a $. Tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (BCD) $ theo $ a. $
Hướng dẫn. Chú ý rằng mặt phẳng $ (BCD) $ chính là mặt phẳng $ (BCDA) $. Đáp số, khoảng cách từ $ A$ đến mặt phẳng $(BCD) $ bằng $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.
Khi việc tính trực tiếp gặp khó khăn, ta thường sử dụng kĩ thuật dời điểm, để đưa về tính khoảng cách của những điểm dễ tìm được hình chiếu vuông góc hơn.
Ví dụ 6. Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ ABC.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ A,AB=3a,AC=4a. $ Biết cạnh bên $ AA=4a$ và $ M $ là trung điểm $ AA $. Hãy tính khoảng cách $ {d}(M,(ABC)) $ và $ {d}(M,(ABC)) $.
Ví dụ 7. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác vuông tại $ B,$ $AB=3a,$ $ BC=4a.$ Mặt phẳng $ (SBC) $ vuông góc với mặt đáy và $ SB=2a\sqrt{3},$ $\widehat{SBC}=30^\circ. $ Tính khoảng cách từ điểm $B$ tới mặt phẳng $(SAC). $
Hướng dẫn. Gọi $ SH $ là đường cao của tam giác $ SBC $ thì $ SH\perp (ABC). $ Ta có $$ \frac{{d}(B,(SAC))}{{d}(H,(SAC))}=\frac{BC}{HC}=4 $$ Từ đó tính được $ {d}(B,(ABC)) =\frac{6a}{\sqrt{7}}.$
3. Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Mời thầy cô và các em học sinh tải các tài liệu về bài toán khoảng cách trong hình học không gian tại đây:
Tổng hợp tài liệu HHKG lớp 11 và ôn thi ĐH, THPT QG đầy đủ nhất, mời thầy cô và các em xem trong bài viết38+ tài liệu hình học không gian 11 hay nhất
4. Video bài giảng về khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng
https://www.youtube.com/watch?v=XJ0KqLaMm0M&list=PL0k2ozWJRpes_du6UHO-WmQmVY0EHWlM5&index=2