Thủ Thuật Hướng dẫn Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương 2022
Họ và tên đang tìm kiếm từ khóa Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương được Update vào lúc : 2022-04-19 15:35:09 . Với phương châm chia sẻ Kinh Nghiệm về trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi Read tài liệu vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comments ở cuối bài để Admin lý giải và hướng dẫn lại nha.Bài viết trình bày tóm tắt lý thuyết và một số trong những dạng bài tập lũy thừa với số mũ hữu tỉ, lũy thừa với số mũ thực, hàm số lũy thừa.
A. TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA
I. Lũy thừa với số mũ nguyên:
1. Định nghĩa:
a. Lũy thừa với số mũ nguyên dương:
Cho $a in R$, $n in N$, $n ge 1$, ta định nghĩa: $a^n = underbrace a.a.a ldots a_nrm:thừa:số:a.$
($a^n$ là lũy thừa bậc $n$ của $a$, $a$ gọi là cơ số, $n$ là số mũ).
b. Lũy thừa với số mũ $0$ và mũ nguyên âm:
Cho $a ne 0$ và $n$ là số nguyên dương. Ta định nghĩa: $a^0 = 1$, $a^ – n = frac1a^n$ (lưu ý: $0^0$ và $0^ – n$ không còn nghĩa).2. Tính chất lũy thừa với số mũ nguyên:
a. Định lí 1: Cho $a ne 0$, $b ne 0$ và $m,n in Z$, ta có: 1. $a^m.a^n = a^m + n.$ 2. $fraca^ma^n = a^m – n.$ 3. $left( a^m right)^n = a^mn.$ 4. $(ab)^n = a^nb^n.$ 5. $left( fracab right)^n = fraca^nb^n.$
b. Định lí 2: (tính chất bất đẳng thức):
Cho $m,n in Z$. Khi đó: 1. Với $a > 1$: $a^m > a^n Leftrightarrow m > n.$ 2. Với $0 < a < 1$: $a^m > a^n Leftrightarrow m < n.$Hệ quả 1: Với $0 < a < b$, $m in Z$ ta có:
1. $a^m < b^m Leftrightarrow m > 0.$ 2. $a^m > b^m Leftrightarrow m < 0.$Hệ quả 2: Với $n$ là số tự nhiên lẻ: $a < b Rightarrow a^n < b^n.$
II. Căn bậc $n$ và lũy thừa số mũ hữu tỉ:
1. Căn bậc $n$:
a. Định nghĩa: Cho $a in R$, $n in Z^ + $, ta gọi số thực $b$ là căn bậc $n$ của số $a$ nếu $b^n = a.$
Nhận xét:
+ Mỗi số thực $a$ có duy nhất một căn bậc $n$ lẻ, kí hiệu là $sqrt[n]a.$
+ Mỗi số thực $a>0$ có đúng hai căn bậc $n$ chẵn đối nhau, kí hiệu: giá trị dương là $sqrt[n]a$ và giá trị âm là $ – sqrt[n]a.$
b. Tính chất:
Cho $a,b in R$, $m,n in Z^ + $, $p,q in Z$. Với những điều kiện của $a$, $b$ để những biểu thức có nghĩa, ta có:
2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
a. Định nghĩa: Cho số thực $a$ dương, $r$ là số hữu tỉ có dạng $r = fracmn$ với $m in Z$ và $n in Z^ + .$ Ta định nghĩa: $a^r = a^fracmn = sqrt[n]a^m.$
b. Tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
Lũy thừa số mũ hữu tỉ có đầy đủ những tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên đã nêu ở phần I.
III. Lũy thừa với số mũ thực:
1. Định nghĩa:
Cho số thực $a>0$ và $alpha $ là một số trong những vô tỉ.
Ta luôn có một dãy những số hữu tỉ $r_1,r_2,r_3, ldots ,r_n, ldots $ mà $lim r_n = alpha .$
Xét dãy số những lũy thừa của $a$ tương ứng: $a^r_1,a^r_2,a^r_3, ldots ,a^r_n, ldots .$
Người ta chứng tỏ được rằng dãy số $a^r_1,a^r_2,a^r_3, ldots ,a^r_n, ldots $ có số lượng giới hạn xác định (không phụ thuộc vào dãy hữu tỉ $left( r_n right)$ đã chọn) khi $n to + infty .$
Giới hạn đó được gọi là lũy thừa với số mũ vô tỉ $alpha $ của số dương $a.$
Kí hiệu là $a^alpha .$
Vậy $a^alpha = mathop lim limits_n to + infty a^r_n.$
Chú ý về cơ số của lũy thừa $a^r$:
Nếu $r in Z^ + $ thì cơ số $a in R.$
2. Tính chất lũy thừa với số mũ thực:
Lũy thừa với số mũ thực có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Vấn đề 1: Tính toán – rút gọn những biểu thức lũy thừa.
1. PHƯƠNG PHÁP:
Áp dụng những tính chất của lũy thừa để tính giá trị của biểu thức, rút gọn một biểu thức, chứng tỏ một biểu thức không phụ thuộc tham số …
Cần lưu ý:
+ Với $a in R$, $n in N$, $n le 1$ thì $sqrt[2n]a^2n = left| a right|.$
+ trái lại với $A ge 0$ thì $asqrt[2n]A = left{ beginarrayl
sqrt[2n]a^2n.Arm:khi:a ge 0\
– sqrt[2n]a^2n.Arm:khi:a < 0
endarray right..$
2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Tính giá trị những biểu thức:
a) $A = left( frac1256 right)^ – 0,75 + left( frac127 right)^ – frac43.$
b) $B = left( frac149 right)^ – 1,5 – left( frac1125 right)^ – frac23.$
a) Ta có: $A = left( frac1256 right)^ – 0,75 + left( frac127 right)^ – frac43$ $ = left( 4^ – 4 right)^ – frac34 + left( 3^ – 3 right)^ – frac43$ $ = 4^3 + 3^4 = 91.$
b) Ta có: $B = left( frac149 right)^ – 1,5 – left( frac1125 right)^ – frac23$ $ = left( 7^ – 2 right)^frac – 32 – left( 5^ – 3 right)^frac – 23$ $ = 7^3 – 5^2 = 318.$
Ví dụ 2: Tính giá trị những biểu thức: a) $A = sqrt[3]frac12564.sqrt[4]81.$
b) $B = fracsqrt[5]98.sqrt[5]343sqrt[5]64.$
a) Ta có: $A = sqrt[3]frac12564.sqrt[4]81$ $ = fracsqrt[3]5^3.sqrt[4]3^4sqrt[3]4^3$ $ = frac5.34 = frac154.$
b) Ta có: $B = fracsqrt[5]98.sqrt[5]343sqrt[5]64$ $ = sqrt[5]frac98.34364$ $ = sqrt[5]frac2.7^2.7^32^6 = sqrt[5]frac7^52^5 = frac72.$
Ví dụ 3: Tính giá trị những biểu thức: a) $A = 4^frac177:4^frac37 – 2^frac115.2^frac45.$ b) $B = left( 4^3 + sqrt 3 – 4^sqrt 3 – 1 right)2^ – 2sqrt 3 .$
c) $C = left( 3^frac1 – sqrt 5 1 + sqrt 5 right).3^frac3sqrt 5 2.$
a) Ta có: $A = 4^frac177:4^frac37 – 2^frac115.2^frac45$ $ = 4^frac177 – frac37 – 2^frac115 + frac45$ $ = 4^2 – 2^3 = 8.$ b) Ta có: $B = left( 4^3 + sqrt 3 – 4^sqrt 3 – 1 right).2^ – 2sqrt 3 $ $ = left( 2^6 + 2sqrt 3 – 2^2sqrt 3 – 2 right).2^ – 2sqrt 3 $ $ = 2^6 + 2sqrt 3 – 2sqrt 3 – 2^2sqrt 3 – 2 – 2sqrt 3 $ $ = 2^6 – 2^ – 2$ $ = 64 – frac14 = frac2554.$ c) Áp dụng tính chất: $left( a^m right)^n = a^mn$, ta có:
$C = left( 3^frac1 – sqrt 5 1 + sqrt 5 right)^ – 3.3^frac3sqrt 5 2$ $ = 3^frac(1 – sqrt 5 )( – 3)1 + sqrt 5 .3^frac3sqrt 5 2$ $ = 3^frac – 3 + 3sqrt 5 1 + sqrt 5 + frac3sqrt 5 2$ $ = 3^frac9 – 3sqrt 5 2 + frac3sqrt 5 2$ $ = 3^frac92 = 81sqrt 3 .$
Ví dụ 4: Rút gọn những biểu thức rồi tính: a) $A = fraca^frac32sqrt[3]a^2sqrt[6]a + sqrt[3]a.sqrt[9]a^6$, $a>0$ (áp dụng với $a = 1$, $a = 3$).
b) $B = fracsqrt b sqrt[6]b + sqrt[3]frac27b^6left( fracb^3sqrt[4]81 – sqrt[3]b^7 right)$, $b>0$ (áp dụng với $b = 27$).
a) Sử dụng tính chất $sqrt[n]a^m = a^fracmn$ của căn thức và những tính chất lũy thừa ta có: $A = fraca^frac32sqrt[3]a^2sqrt[6]a + sqrt[3]a.sqrt[9]a^6$ $ = fraca^frac32.a^frac23a^frac16 + a^frac13.a^frac69$ $ = fraca^frac136a^frac16 + a^frac13 + frac23 = a^2 + a.$ Do đó: + Với $a = 1$, ta có $A = 1^2 + 1 = 2.$ + Với $a = 3$ thì $A = 3^2 + 3 = 12.$ b) $B = fracsqrt b sqrt[6]b + sqrt[3]frac27b^6left( fracb^3sqrt[4]81 – sqrt[3]b^7 right)$ $ = fracb^frac12b^frac16 + fracsqrt[3]3^3sqrt[3]b^6left( fracb^33 – sqrt[3]b^7 right)$ $ = b^frac13 + frac3b^2left( fracb^33 – b^frac73 right)$ $ = b^frac13 + b – 3b^frac13 = b – 2b^frac13.$
Khi $b = 27$ thì $B = 27 – 2.27^frac13 = 27 – 2.3 = 21.$
Ví dụ 5: Cho biểu thức $M = left( fraca^frac14 – a^frac94a^frac14 – a^frac54:fracb^ – frac12 – b^frac32b^frac12 + b^ – frac12 right)sqrt[3]fracab^4.sqrt[6]fracb^14a^2.$ a) Rút gọn $M.$
b) Tính giá trị của $M$ khi $a = 5$, $b = -2.$
a) Ta có: $M = left( fraca^frac14 – a^frac94a^frac14 – a^frac54:fracb^ – frac12 – b^frac32b^frac12 + b^ – frac12 right)sqrt[3]fracab^4.sqrt[6]fracb^14a^2$ $ = left( fraca^frac14left( 1 – a^2 right)a^frac14(1 – a):fracb^ – frac12left( 1 – b^2 right)b^ – frac12(1 + b) right).fraca^frac13b^frac43.fracb^frac146a^frac26.$ Suy ra $M = left[ (1 + a):(1 – b) right].b^frac146 – frac43.a^frac13 – frac26$ $ = left( frac1 + a1 – b right).b.$
b) Khi $a = 5$ và $b = -2$ thì $M = left[ frac1 + 51 – ( – 2) right].( – 2)$ $ = frac63.( – 2) = – 4.$
Ví dụ 6: Cho biểu thức: $A = left[ frac4a – 9a^ – 12a^frac12 – 3a^ – frac12 + fraca – 4 + 3a^ – 1a^frac12 – a^ – frac12 right]^2.$ Rút gọn và tính giá trị của $A$ khi $a = 4.$
Điều kiện bài toán: $0 < a ne 1;frac32.$ Ta có: $A = left[ frac4a – 9a^ – 12a^frac12 – 3a^ – frac12 + fraca – 4 + 3a^ – 1a^frac12 – a^ – frac12 right]^2$ $ = left[ frac4a^2 – 9(2a – 3)sqrt a + fraca^2 – 4a + 3(a – 1)sqrt a right]^2.$ $ Rightarrow A = left[ frac2a + 3sqrt a + fraca – 3sqrt a right]^2$ $ = left( frac3asqrt a right)^2 = 9a.$
Khi $a = 4 Rightarrow A = 36.$
Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức: $M = fracleft( a^sqrt 5 + 1 right)^sqrt 5 – 1a^7 – sqrt 2 .a^ – 3 + sqrt 2 $ $(a > 0).$
$M = fracleft( a^sqrt 5 + 1 right)^sqrt 5 – 1a^7 – sqrt 2 .a^ – 3 + sqrt 2 $ $ = fraca^(sqrt 5 + 1)(sqrt 5 – 1)a^7 – sqrt 2 – 3 + sqrt 2 = fraca^5 – 1a^4 = 1.$
Ví dụ 8: Rút gọn biểu thức: $X = fraca^frac43b + ab^frac43sqrt[3]a + sqrt[3]b$ $(a,b > 0).$
Ta có: $X = fraca^frac43b + ab^frac43sqrt[3]a + sqrt[3]b$ $ = fracableft( a^frac13 + b^frac13 right)a^frac13 + b^frac13 = ab.$
Ví dụ 9: Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào $b$:
$B = left( 1 – 2sqrt fracba + fracba right):left( a^frac12 – b^frac12 right)^2$ $(a > 0,b ge 0,a ne b).$
Ta có: $B = left( 1 – 2sqrt fracba + fracba right):left( a^frac12 – b^frac12 right)^2$ $ = left( – sqrt fracba + 1 right)^2:(sqrt a – sqrt b )^2$ $ = left( 1 – fracsqrt b sqrt a right)^2:(sqrt a – sqrt b )^2$ $ = frac(sqrt a – sqrt b )^2(sqrt a )^2:(sqrt a – sqrt b )^2$ $ = frac1(sqrt a )^2 = frac1a.$
Ví dụ 10: Chứng minh đẳng thức $sqrt[3]7 + 5sqrt 2 + sqrt[3]7 – 5sqrt 2 = 2.$
Đặt $a = sqrt[3]7 + 5sqrt 2 $, $b = sqrt[3]7 – 5sqrt 2 $. Ta có: $a^3 = 7 + 5sqrt 2 $, $b^3 = 7 – 5sqrt 2 $ và $ab = sqrt[3](7 + 5sqrt 2 )(7 – 5sqrt 2 ) = – 1.$ Đặt $x = a + b$. Ta có: $x^3 = (a + b)^3$ $ = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ $ = 14 – 3(a + b) = 14 – 3x.$ $ Rightarrow x^3 + 3x – 14 = 0.$ $ Leftrightarrow (x – 2)left( x^2 + 2x + 7 right) = 0.$ $ Leftrightarrow x = 2.$
Vậy $a + b = 2$ hay $sqrt[3]7 + 5sqrt 2 + sqrt[3]7 – 5sqrt 2 = 2.$
3. BÀI TẬP:
1. Thực hiện phép tính sau:
a. $16^ – 0,75 + left( frac1125 right)^ – frac13 – left( frac1243 right)^ – frac35.$
b. $0,001^ – frac13 – ( – 2)^ – 264^frac23 – 27^ – 1frac13 + left( 7^0 right)^2.$
c. $64^frac23 + left( frac181 right)^ – 0,75 – 25^ – 0,5.$
d. $( – 0,5)^ – 4 – 625^0,25 – left( 2frac14 right)^ – 1frac12 + 19( – 3)^ – 3.$
2. Viết những biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a. $sqrt[4]x^2sqrt[3]xsqrt x $ $(x > 0).$ b. $sqrt[5]fracbasqrt[3]fracabsqrt fracab $ $(a > 0,b > 0).$ c. $sqrt[3]frac23sqrt[3]frac23sqrt frac23 .$
d. $sqrt asqrt asqrt asqrt a :a^frac1116$ $(a > 0).$
3. Đơn giản những biểu thức sau $(a,b > 0):$ a. $fracleft( sqrt[4]a^3b^2 right)^4sqrt[3]sqrt a^12b^6 .$
b. $fraca^frac13 – a^frac73a^frac13 – a^frac43 – fraca^ – frac13 – a^frac53a^frac23 + a^ – frac13.$
4. Đơn giản những biểu thức sau $(a,b > 0).$ a. $fracsqrt a – sqrt b sqrt[4]a – sqrt[4]b – fracsqrt a + sqrt[4]absqrt[4]a + sqrt[4]b.$ b. $fraca – bsqrt[3]a – sqrt[3]b – fraca + bsqrt[3]a + sqrt[3]b.$ c. $left( fraca + bsqrt[3]a + sqrt[3]b – sqrt[3]ab right):left( sqrt[3]a – sqrt[3]b right)^2.$
d. $fraca – 1a^frac34 + a^frac12.fracsqrt a + sqrt[4]asqrt a + 1.a^frac14 + 1.$
5. Đơn giản những biểu thức sau: a. $fracleft( a^sqrt 3 – 1 right)^sqrt 3 + 1a^sqrt 5 – 3.a^4 – sqrt 5 .$
b. $a^sqrt 2 .left( frac1a right)^sqrt 2 – 1.$
6. Đơn giản những biểu thức sau: a. $a^ – 2sqrt 2 left( frac1a^ – sqrt 2 – 1 right)^sqrt 2 + 1.$ b. $left( fraca^sqrt 3 b^sqrt 3 – 1 right)^sqrt 3 + 1.fraca^ – 1 – sqrt 3 b^ – 2.$ c. $fraca^2sqrt 2 – b^2sqrt 3 left( a^sqrt 2 – b^sqrt 3 right)^2 + 1.$
d. $sqrt left( x^pi + y^pi right)^2 – left( 4^frac1pi xy right)^pi .$
7. Chứng minh: a. $sqrt 4 + 2sqrt 3 – sqrt 4 – 2sqrt 3 = 2.$
b. $sqrt[3]9 + sqrt 80 + sqrt[3]9 – sqrt 80 = 3.$
8. Chứng minh rằng biểu thức $M = abfracsqrt[n]fraca^1 – nb^n – fraca^ – nb^n – 1sqrt[n]a – b$ với $0 < b < a$ không phụ thuộc vào giá trị của $a$ và $b.$
9. Cho biểu thức $M = fracab^ – 2left( ab^ – 1 right)^2left( a^ – 1b^2 right)a^ – 2bleft( a^ – 2b^ – 1 right)^3.$ a) Chứng minh $M$ không phụ thuộc vào $b.$
b) Tính giá trị của $M$ khi $a = 2.$
Vấn đề 2: So sánh những lũy thừa hay căn số.
1. PHƯƠNG PHÁP:
So sánh hai lũy thừa có cùng cơ số $a$ ta áp dụng kết quả sau:
+ Với $a > 1$ thì $a^x_1 > a^x_2 Leftrightarrow x_1 > x_2.$
+ Với $0 < a < 1$ thì $a^x_1 > a^x_2 Leftrightarrow x_1 < x_2.$
So sánh hai lũy thừa có cùng số mũ $x$, ta áp dụng kết quả sau:
Với $a,b ne 1$ và $0 < b^x < a^x$ $ Leftrightarrow left{ beginarray*20l
x > 0 Leftrightarrow b^x < a^x\
x < 0 Leftrightarrow b^x > a^x
endarray right..$
Với những biểu thức chứa căn, ta cần đưa về những căn cùng bậc.
2. VÍ DỤ:
Ví dụ: Hãy so sánh những số $m$ và $n$ sau:
a. $m = sqrt 42 $ và $n = sqrt[3]51.$
b. $m = 16^sqrt 3 $ và $n = 4^3sqrt 2 .$
c. $m = (0,2)^sqrt 16 $ và $n = (0,2)^sqrt[3]60.$
d. $2^m > 1$ và $5^n < 1.$
a. Ta có: $m = sqrt 42 = sqrt[6]42^3 > sqrt[6]40^3$ và $n = sqrt[3]51 = sqrt[6]51^2 < sqrt[6]60^2.$
Mà $40^3 = 64000 > 3600 = 60^2$ nên $m > n.$
b. Ta có: $m = 16^sqrt 3 = left( 4^2 right)^sqrt 3 $ $ = 4^2sqrt 3 = 4^sqrt 12 $ và $n = 4^3sqrt 2 = 4^sqrt 18 .$
Mà cơ số $a = 4>1$, $12< 18$ nên $m < n.$
c. Ta có: $m = (0,2)^sqrt 16 = (0,2)^4 = (0,2)^sqrt[3]64$, mà $sqrt[3]64 > sqrt[3]60$ và $a = 0,2 < 1$ nên $(0,2)^sqrt 16 < (0,2)^sqrt[3]60$ hay $m
d. Ta có: $2^m > 1 = 2^0 Rightarrow m > 0$, $5^n < 1 = 5^0 Rightarrow n < 0.$ Vậy $m > n.$ 3. BÀI TẬP:
d. $7^30$ và $4^40.$ 2. So sánh hai số sau:
a. $m = left( frac37 right)^ – 111$ và $n = left( frac49 right)^ – 111.$
b. $m = left( fracpi 2 right)^sqrt 2 $ và $n = left( fracpi 5 right)^ – sqrt 3 .$ Vấn đề 3: Chứng minh một đẳng thức, bất đẳng thức.
Khi chứng tỏ những bất đẳng thức ta cần để ý quan tâm đến cơ số của lũy thừa so với số $1.$ 2. VÍ DỤ:
b) $a^m + b^m < c^m$ nếu $m>1.$ a) $a^m + b^m > c^m$ nếu $0 < m < 1.$
Vì $a$, $b$, $c$ đều dương nên ta có:
$c>a$, $c>b$ và $fracac + fracbc = 1 Rightarrow 0 < fracac < 1$, $0 < fracbc < 1.$
Do đó khi $0 < m < 1$ ta có:
$left{ beginarray*20l
left( fracac right)^m > fracac\
left( fracbc right)^m > fracbc
endarray right.$ $ Rightarrow fraca^mc^m + fracb^mc^m > fracac + fracbc = 1.$
Vậy khi $0 < m < 1$ ta luôn có $a^m + b^m > c^m.$
b) $a^m + b^m < c^m$ nếu $m > 1.$
Vì $a$, $b$, $c > 0$ nên ta có:
$c > a$, $c > b$ và $fracac + fracbc = 1$ $ Rightarrow 0 < fracac < 1$, $0 < fracbc < 1.$
Do đó khi $m > 1$, ta có:
$left{ beginarray*20l
0 < left( fracac right)^m < fracac\
0 < left( fracbc right)^m < fracbc
endarray right.$ $ Rightarrow left( fracac right)^m + left( fracbc right)^m < fracac + fracbc = 1.$
Vậy với mọi $m>1$ ta luôn có: $a^m + b^m < c^m.$ Ví dụ 2: Chứng minh với những số $a$, $b$, $x$, $y$ thỏa $a>0$, $b > 0$, $x >y>0$ ta luôn có: $left( a^x + b^x right)^y < left( a^y + b^y right)^x$ $(*).$ Vì $a, b > 0$ nên không mất tính tổng quát ta hoàn toàn có thể giả sử $a ge b.$
Khi đó đặt $t = fracba$, ta có $0 < t le 1.$
Ta có: $left( a^x + b^x right)^y < left( a^y + b^y right)^x$ $ Leftrightarrow a^xyleft[ 1 + left( fracba right)^x right]^y < a^xyleft[ 1 + left( fracba right)^y right]^x$ $ Leftrightarrow left[ 1 + t^x right]^y < left[ 1 + t^y right]^x$ $(**).$
Ta có: $0 < t le 1$ và $x > y Rightarrow t^x le t^y$ $ Rightarrow 1 < 1 + t^x le 1 + t^y$ mà $y > 0.$
Suy ra $left( 1 + t^x right)^y le left( 1 + t^y right)^y$ $(1).$
Mà $1 + t^y > 1$ và $0 < y < x$ nên $left( 1 + t^y right)^y < left( 1 + t^y right)^x$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $left( 1 + t^x right)^y < left( 1 + t^y right)^x.$
Vậy $(**)$ đúng, do đó $(*)$ được chứng tỏ. Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức: $forall x in R$, ta có $2^sin x + 2^cos x ge 2^1 – frac1sqrt 2 .$ Khi nào thì dấu đẳng thức xảy ra? Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số $2^sin x$ và $2^cos x$ ta có:
$2^sin x + 2^cos x ge 2sqrt 2^sin x.2^cos x $ $ = 2sqrt 2^sin x + cos x = 2.2^fracsin x + cos x2$ $(*).$
Do $sin x + cos x$ $ = sqrt 2 cos left( x – fracpi 4 right) ge – sqrt 2 $ và $2>1$ nên $2^fracsin x + cos x2 ge 2^ – fracsqrt 2 2.$
Suy ra $2.2^fracsin x + cos x2 ge 2.2^ – fracsqrt 2 2$ $(**).$
Từ $(*)$ và $(**)$ ta suy ra: $2^sin x + 2^cos x ge 2^1 – fracsqrt 2 2.$
Dấu bằng xảy ra $ Leftrightarrow left{ beginarray*20l
2^sin x = 2^cos x\
cos left( x – fracpi 4 right) = – 1
endarray right.$ $ Leftrightarrow sin x = cos x = – fracsqrt 2 2$ $ Leftrightarrow x = frac5pi 4 + k2pi .$
Vậy dấu đẳng thức xảy ra $ Leftrightarrow x = frac5pi 4 + k2pi .$ Ví dụ 4: Cho $x$, $y$, $z$ thỏa mãn: $frac1x + frac1y + frac1z = 1$ và $ax^3 = by^3 = cz^3.$
a) Rút gọn biểu thức $A = ax^2 + by^2 + cz^2.$
b) Chứng minh rằng: $A = left( sqrt[3]a + sqrt[3]b + sqrt[3]c right)^3.$ a) Rút gọn biểu thức $A = ax^2 + by^2 + cz^2.$
Ta có: $A = ax^2 + by^2 + cz^2$ $ = fracax^3x + fracby^3y + fraccz^3z$ $ = fracax^3x + fracax^3y + fracax^3z$ $ = ax^3left( frac1x + frac1y + frac1z right)$ (vì $ax^3 = by^3 = cz^3$).
Mà $frac1x + frac1y + frac1z = 1$ nên ta có $A = ax^3.$
b) Ta có:
$left( sqrt[3]a + sqrt[3]b + sqrt[3]c right)^3$ $ = left( fracsqrt[3]ax^3x + fracsqrt[3]by^3y + fracsqrt[3]cz^3z right)^3$ $ = ax^3left( frac1x + frac1y + frac1z right)^3 = ax^3$ (vì $ax^3 = by^3 = cz^3$).
Mà theo câu a ta có: $A = ax^3.$
Do đó: $A = left( sqrt[3]a + sqrt[3]b + sqrt[3]c right)^3.$ 3. BÀI TẬP:
b) $a^m < b^m + c^m$ nếu $m < 2.$ 2. Chứng minh bất đẳng thức: $2^2sin x + 2^tan x > 2^frac3x2 + 1$ với mọi $x in left( 0;fracpi 2 right).$ 3. Cho biểu thức $A = left( 9^a – 4.3^a + 1 right)a + left( a^2 + 1 right)3^a.$ Chứng minh rằng $A>0$ khi $a>0.$ 4. Cho $a ge 0$, $b ge 0$, $m > n > 0.$ Chứng minh: $left( a^m + b^m right)^frac1m le left( a^n + b^n right)^frac1n.$ 5. Cho $a ge b > 0.$ Chứng minh $left( 2^a + frac12^a right)^b < left( 2^b + frac12^b right)^a.$ Vấn đề 4: Giải phương trình chứa lũy thừa.
Lưu ý: Không được đồng nhất: $sqrt[n]x$ với $x^frac1n.$ 2. CÁC VÍ DỤ: Đặt $u = sqrt[3]frac1 + x2$, $v = sqrt frac1 – x2 $ với $v ge 0.$
$(1) Leftrightarrow left{ beginarray*20l
v ge 0\
u + v = 1\
u^3 + v^2 = 1
endarray right.$ $ Leftrightarrow left{ beginarray*20l
v ge 0\
v = 1 – u\
u^3 + (1 – u)^2 = 1
endarray right.$ $ Leftrightarrow left{ beginarray*20l
v ge 0\
v = 1 – u\
u^3 + u^2 – 2u + 1 = 1
endarray right.$ $ Leftrightarrow left{ beginarray*20l
v ge 0\
v = 1 – u\
u^3 + u^2 – 2u = 0
endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ {beginarray*20l
{left beginarray*20l
u = 0\
v = 1
endarray right.\
{left beginarray*20l
u = 1\
v = 0
endarray right.\
left beginarray*20l
u = – 2\
v = 3
endarray right.
endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarray*20l
x = – 1\
x = 1\
x = – 17
endarray right..$
Vậy phương trình $(1)$ có nghiệm là $x_1 = – 1$, $x_2 = 1$, $x_3 = – 17.$ Ví dụ 2: Giải phương trình sau: $sqrt[4]x^3 + 2sqrt x – 8x^frac14 = 0$ $(1).$ Điều kiện: $x>0.$
Ta có: $(1) Leftrightarrow sqrt[4]x^3 + 2sqrt[4]x^2 – 8sqrt[4]x = 0.$
Đặt $sqrt[4]x = t > 0$, ta có $(1)$ trở thành $t^3 + 2t^2 – 8t = 0.$ Suy ra $t=2.$
$ Leftrightarrow sqrt[4]x = 2 Leftrightarrow x = 16.$
Vậy nghiệm của phương trình là: $x = 16.$ Ví dụ 3: Giải phương trình sau: $x^3 + 8 = 16sqrt[3]x – 1.$ Ta có: $x^3 + 8 = 8sqrt[3]8x – 8$ $(1).$
Đặt $t = sqrt[3]8x – 8.$ Ta được:
$(1) Leftrightarrow left{ beginarray*20l
x^3 + 8 = 8t\
8x – 8 = t^3
endarray right.$ $ Leftrightarrow left{ beginarray*20l
x^3 + 8 = 8t:(2)\
t^3 – x^3 = 8(x – t):(3)
endarray right.$
Ta có $(3) Leftrightarrow (t – x)left( t^2 + tx + x^2 right) = 8(x – t).$
$ Leftrightarrow (t – x)left( t^2 + tx + x^2 + 8 right) = 0.$
$ Leftrightarrow t = x$ (vì $t^2 + tx + x^2 + 8 > 0$ với mọi $x$, $t$).
Thay vào $(2)$ ta được:
$x = sqrt[3]8x – 8$ $ Leftrightarrow x^3 – 8x + 8 = 0$ $ Leftrightarrow (x – 2)left( x^2 + 2x – 4 right) = 0.$
$ Leftrightarrow left[ beginarray*20l
x_1 = 1\
x^2 + 2x – 4 = 0
endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarray*20l
x_1 = 1\
x_2 = – 1 + sqrt 5 \
x_3 = – 1 – sqrt 5
endarray right..$
Vậy phương trình $(1)$ có nghiệm $left[ beginarray*20l
x_1 = 1\
x_2 = – 1 + sqrt 5 \
x_3 = – 1 – sqrt 5
endarray right..$ 3. BÀI TẬP:
d. $sqrt[3]x^2 = 16.$ 2. Giải phương trình: $sqrt[4]16x^2 + 5sqrt[4]x – 7 = 0.$ 3. Giải những phương trình sau:
a. $sqrt x + sqrt[4]x = 2.$
b. $sqrt x – 3sqrt[4]x + 2 = 0.$ 4. Giải phương trình: $2sqrt[3]3x – 2 + 3sqrt 6 – 5x – 8 = 0.$ 5. Tìm những số thực $x$ thỏa mãn điều kiện sau:
a. $a^x + 2 + a^2 – x = a^4 + 1$ $(a > 0).$
b. $3^ < 27.$
1. So sánh những số sau:
a. $left( sqrt 3 right)^ – frac56$ và $sqrt[3]5^ – 1sqrt[4]frac15.$
b. $3^600$ và $5^400.$
c. $left( frac12 right)^ – frac67$ và $sqrt 2 .2^frac314.$
1. PHƯƠNG PHÁP:
Biến đổi vế trái (hoặc vế phải) của biểu thức để trở về với biểu thức vế bên kia. Trong nhiều trường hợp ta biến hóa cả hai vế của đẳng thức này về cùng một biểu thức trung gian. Để làm được điều đó ta sử dụng những định nghĩa, tính chất của hàm số lũy thừa và căn thức.
Ví dụ 1: Cho $a$, $b$, $c > 0$ thỏa $a + b = c.$ Chứng minh:
a) $a^m + b^m > c^m$ nếu $0 < m < 1.$
1. Cho $a$, $b$, $c > 0$ thỏa mãn $a^2 = b^2 + c^2.$ Chứng minh:
a) $a^m > b^m + c^m$ nếu $m > 2.$
1. PHƯƠNG PHÁP:
Giải phương trình lũy thừa là dùng những tính chất của lũy thừa hoặc đặt ẩn phụ để biến hóa phương trình đã cho về dạng những phương trình số 1, bậc hai, bậc ba …
Cần nắm những tính chất sau:
+ Với $a ne 0$ và $n$ nguyên dương thì: $a^0 = 1$ (lưu ý: $0^0$ không còn nghĩa).
+ Với $a ne 0$ và $n$ nguyên dương thì: $a^ – n = frac1a^n$ (lưu ý: $0^ – n$ không còn nghĩa).
+ Với mọi số thực $a$, $b$ khác $0$ và $m,n in Z$ ta luôn có:
1. $a^m.a^n = a^m + n.$
2. $fraca^ma^n = a^m – n.$
3. $left( a^m right)^n = a^mn.$
4. $(ab)^n = a^nb^n.$
5. $left( fracab right)^n = fraca^nb^n.$
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $sqrt[3]frac1 + x2 + sqrt frac1 – x2 = 1$ $(1).$
1. Giải những phương trình sau:
a. $fracx^ – frac32x^frac12 = 16.$
b. $(3x – 1)^frac23 = 4.$
c. $x^5 = 16x^3.$Kiến thức Lũy thừa - mũ - logarit
[embed]https://www.youtube.com/watch?v=XaUeMMlRK8k[/embed]
Video Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương ?
Bạn vừa tham khảo nội dung bài viết Với Một số hướng dẫn một cách rõ ràng hơn về Review Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương tiên tiến nhất
Chia Sẻ Link Down Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương miễn phí
Bạn đang tìm một số trong những Chia Sẻ Link Cập nhật Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương miễn phí.
Giải đáp thắc mắc về Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương
Nếu sau khi đọc nội dung bài viết Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương vẫn chưa hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comments ở cuối bài để Ad lý giải và hướng dẫn lại nha
#Tính #chất #của #lũy #thừa #với #số #mũ #nguyên #dương - 2022-04-19 15:35:09
