Kinh Nghiệm Hướng dẫn Cho hình chóp có đáy là hình vuông vắn cạnh vuông góc với đáy thể tích của hình chóp là 2022
Bùi Quang Tín đang tìm kiếm từ khóa Cho hình chóp có đáy là hình vuông vắn cạnh vuông góc với đáy thể tích của hình chóp là được Update vào lúc : 2022-04-05 02:55:07 . Với phương châm chia sẻ Bí kíp Hướng dẫn trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết Mới Nhất. Nếu sau khi tham khảo tài liệu vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comment ở cuối bài để Admin lý giải và hướng dẫn lại nha.
Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông vắn cạnh bằng a ,SA=2a và vuông góc với (ABCD) . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là:
- 1. Công thức tính thể tích khối chóp2. Cách xác định độ cao của hình chóp2.1. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy2.2. Hình chóp chứa hai mặt phẳng vuông góc với đáy2.3. Hình chóp chứa một mặt phẳng vuông góc với đáy2.4. Hình chóp có những cạnh bên bằng nhau và hình chóp đều3. Các dạng toán tính thể tích khối chóp3.1. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy3.2. Hình chóp chứa hai mặt phẳng vuông góc với đáy3.3. Hình chóp chứa một mặt phẳng vuông góc với đáy3.4. Hình chóp đều – Hình chóp có những cạnh bên bằng nhau4. Bài tập . thể tích khối chópHình chóp có chứa một cạnh bên vuông góc với đáyHình chóp có chứa hai mặt phẳng vuông góc với đáyHình chóp có chứa một mặt phẳng vuông góc với đáyHình chóp đều và hình chóp có những cạnh bên bằng nhauVideo liên quan
Lời Giải:
Đây là những bài toán tính toán S, V về Mặt trụ, Hình trụ, Khối trụ trong Phần Mặt tròn xoay.
Gọi là trung điểm. những tam giác: (Delta mathrmSAC, Delta mathrmSCD ; Delta mathrmSBC) lad những tam giác vuông tại A, D, B.
Khi đó:
(R=OA=OB=OD=fracS C2=frac12 sqrtS A^2+A B^2+B C^2=fraca sqrt62)
(textSuy ra: mathrmV=frac43 pileft(fracmathrma sqrt62right)^3=pi mathrma^3 sqrt6)
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Mặt Trụ
Tính thể tích khối chóp là một dạng toán quan trọng trong những kì thi tốt nghiệp và xét tuyển vào ĐH CĐ. Để tính được thể tích của một khối chóp đòi hỏi học viên ghi nhớ và vận dụng được nhiều phần kiến thức và kỹ năng của hình học không khí, đặc biệt là kiến thức và kỹ năng về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng trong không khí.
Dưới đây là phương pháp tính thể tích khối chóp trực tiếp, ngoài ra còn phương pháp tính gián tiếp bằng Phương pháp so sánh thể tích.
1. Công thức tính thể tích khối chóp
Khối chóp đỉnh $ S $ và đáy là một đa giác có diện tích s quy hoạnh $ B $ thì $$ V=frac13Btimes h $$
Trong công thức trên, việc tính được diện tích s quy hoạnh $B$ của đáy là bài toán tính diện tích s quy hoạnh đa giác (tam giác, tứ giác…) quen thuộc trong chương trình hình học cấp 2. Mọi trở ngại vất vả của bài toán tính thể tích khối chóp quy về việc xác định và tính được độ cao của khối chóp. Dưới đây là những phương pháp xác định đường cao của khối chóp.
2. Cách xác định độ cao của hình chóp
Đường cao của một hình chóp là đoạn thẳng hạ vuông góc từ đỉnh hình chóp xuống mặt đáy tương ứng của nó. Trong thực tế, đối khi người ta không cần dựng đường cao mà chỉ việc tính độ cao khối chóp, tức là tính khoảng chừng cách từ đỉnh tới mặt đáy của nó. (Bạn đọc hoàn toàn có thể xem lại phương pháp tính khoảng chừng cách từ một điểm đến một mặt phẳng)
Dĩ nhiên, ngoài những kiến thức và kỹ năng nêu dưới đây, thì những em học viên cần ôn tập kĩ lại phần kiến thức và kỹ năng về góc trong không khí:
2.1. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp là cạnh bên đó.
Ví dụ, hình chóp $S.ABCD$ có cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy thì thể tích của nó là $$ V =frac13 SAcdot S_ABCD$$
2.2. Hình chóp chứa hai mặt phẳng vuông góc với đáy
Hình chóp chứa hai mặt phẳng vuông góc với đáy thì đường cao là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
Ví dụ, hình chóp $S.ABCD$ có hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy thì đường cao của hình chóp đó đó là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$. Tức là đường thẳng $SB$. Do đó, thể tích của hình chóp là $$
V =frac13 SBcdot S_ABCD $$
2.3. Hình chóp chứa một mặt phẳng vuông góc với đáy
Hình chóp chứa một mặt phẳng vuông góc với đáy, mặt phẳng đó thường là một tam giác thì đường cao của hình chóp đó đó là đường cao của tam giác đó.
Cho hình chóp $S.ABC$ có $ (SAC) $ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khi đó, để xác định đường cao của hình chóp tất cả chúng ta làm như sau:
- Trong mặt phẳng $ (SAC) $ kẻ $ SH $ vuông góc với $ AC $, $ H $ thuộc $ AC $.
Sử dụng tính chất của Hai mặt phẳng vuông góc với nhau , ta chứng tỏ được $ SH $ vuông góc với $ (ABC) $ hay $ SH $ là đường cao của hình chóp.
Do đó, thể tích khối chóp $ S.ABC $ là $$ V=frac13SHcdot S_ABC $$
2.4. Hình chóp có những cạnh bên bằng nhau và hình chóp đều
Hình chóp có những cạnh bên bằng nhau và hình chóp đều thì đường cao đi qua đỉnh và tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy.
- Các em học viên cần lưu ý hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và có những cạnh bên bằng nhau. Các cạnh bên này và cạnh đáy hoàn toàn có thể bằng nhau hoặc không bằng nhau đều được.
Một hình chóp đều thì có những cạnh bên bằng nhau nhưng hình chóp có những cạnh bên bằng nhau thì chưa đủ điều kiện để là một hình chóp đều. Tuy nhiên, một hình chóp mà có những cạnh bên bằng nhau (gồm có cả hình chóp đều) thì có tính chất:
Hình chiếu vuông góc của đỉnh hình chóp lên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy.
Chẳng hạn, với hình chóp đều tứ giác $S.ABCD$ thì gọi $ O $ là tâm hình vuông vắn (tức là giao điểm hai tuyến đường chéo của hình vuông vắn, đồng thời cũng là tâm đối xứng, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông vắn) thì chứng tỏ được $ SO $ vuông góc với mặt phẳng đáy.
Như vậy, độ cao hình chóp $S.ABCD$ là $ SO $ và thể tích của khối chóp $ S.ABCD $ là $$ V=frac13SOcdot S_ABCD $$
3. Các dạng toán tính thể tích khối chóp
3.1. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1. [TN2013] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông vắn cạnh $ a $ và $ SA $ vuông góc với đáy. Cạnh $ SD $ tạo với mặt phẳng $ (SAB) $ góc $ 30^circ. $ Tính thể tích khối chóp.
Đáp số $ V=fraca^3sqrt33 $.
Ví dụ 2. [TN2011] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thang vuông tại $ A $ và $ D. $ Cạnh $ AD=CD=a,$ cạnh $AB=3a. $ Cạnh $ SA $ vuông góc với đáy và $ SC $ tạo với đáy một góc $ 45^circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.
Đáp số $ V=frac2a^3sqrt23 $.
Ví dụ 3. [TN2010] cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông vắn cạnh $ a $, cạnh $ SA $ vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng $ (SBD) $ và đáy là $ 60^circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $?
Hướng dẫn. Gọi $ O $ là tâm của đáy thì $ widehatSOA=60^circ. $ Đáp số $ V=fraca^3sqrt66. $
Ví dụ 4. [TN2009] Cho hình chóp $ S.ABC $ xuất hiện bên $ SBC $ là tam giác đều cạnh $ a $, cạnh $ SA $ vuông góc với đáy, $ widehatBAC=120^circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $.
Hướng dẫn. Hai tam giác vuông $ SAB $ và $ SAC $ bằng nhau nên $ AB=AC. $ Áp dụng định lí cosin có $ BC=fracasqrt3 3. $ Từ đó tìm được $ SA =fracasqrt36 $ và thể tích bằng $ fraca^3sqrt236. $
Ví dụ 5. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình chữ nhật, cạnh $ AB=a,AD=2a. $ Cạnh $ SB $ vuông góc với đáy và khoảng chừng cách từ $ B $ tới $ (SAD) $ bằng $ frac2asqrt5. $ Tính thể tích khối chóp.
Hướng dẫn. Dựng $ BH $ vuông góc với $ SA $ thì $ BH=frac2asqrt5. $ Suy ra $ SB=2a $, và từ đó tìm được $ V=frac43a^3. $
3.2. Hình chóp chứa hai mặt phẳng vuông góc với đáy
Ví dụ 1. Cho hình chóp $ S.ABC $ đáy là tam giác vuông tại $ A,AB=3a,AC=4a, $ SC $ =5a $. Hai mặt bên $ (SAB) $ và $ (SAC) $ cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp?
Hướng dẫn. Từ giả thiết suy ra $ SA $ vuông góc với đáy và tìm được $ SA=3a. $ Đáp số $ V=6a^3. $
Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=a,BC=2a. $ Hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (SAD) $ cùng vuông góc với đáy, cạnh $ SC $ phù phù hợp với đáy góc $ 60^circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $?
Hướng dẫn. Chỉ ra $ widehatSCA=60^circ $ và tìm được $ SA=asqrt15 $. Từ đó tìm được đáp số $ V_ABCD=frac2a^3sqrt153. $
Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông vắn cạnh $ a $. Các mặt bên $ (SAB) $ và $ (SAD) $ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $ (SBD) $ và đáy bằng $ 45^circ $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $ theo $ a $.
Đáp số $ V = fraca^3sqrt26 $
Ví dụ 4. [A2009] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thang vuông tại $ A $ và $ D,$ cạnh $AB=AD=2a,$ cạnh $CD=a,$ góc giữa hai mặt phẳng $ left( SBC right) $ và $ left( ABCD right) $ bằng $ 60^circ $. Gọi $ I $ là trung điểm của $ AD $. Biết rằng hai mặt phẳng $ left( SBI right) $ và $ left( SCI right) $ cùng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $?
Hướng dẫn. Vì hai mặt phẳng $ left( SBI right) $ và $ left( SCI right) $ cùng vuông góc với mặt đáy nên giao tuyến của chúng cũng vuông góc với đáy, tức là $ SIperp (ABCD) $. Kẻ $ IKperp BC $ với $ Kin BC $ thì $ widehatSKI=60^circ. $ Gọi $ J $ là trung điểm $ BC $ từ tam giác vuông $ IKJ $ tìm được $ IK= frac3asqrt55. $ Từ đó tìm được $ SI=frac3asqrt155$. Đáp số $ V=frac3a^3sqrt155. $
Ví dụ 5. [A2011] Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông cân tại $ B, AB = BC = 2a $, hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (SAC) $ cùng vuông góc với đáy. Gọi $ M $ là trung điểm của $ AB, $ mặt phẳng qua $ SM $ và song song với $ BC $, cắt $ AC $ tại $ N $. Biết góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABC) $ bằng $ 60^circ $. Tính thể tích khối chóp $ S.BCNM $.
Hướng dẫn. Chỉ ra $ SAperp(ABC) $ và góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABC) $ là $ widehatSBA $. Mặt khác, chứng tỏ được $ N $ là trung điểm $ AC $. Từ đó, tìm được đáp số là $ V_S.BCNM = sqrt 3 a^3. $
Ví dụ 6. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thoi, $ AC = 2sqrt3a, BD = 2a.$ Hai cạnh $AC $ và $ BD $ cắt nhau tại $ O. $ Hai mặt phẳng $ (SAC) $ và $ (SBD) $ cùng vuông góc với đáy. Biết khoảng chừng cách từ điểm $ O $ đến mặt phẳng $ (SAB) $ bằng $ fracasqrt34 $.Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $ theo $ a $.
Hướng dẫn. Hai mặt phẳng $ (SAC) $ và $ (SBD) $ cùng vuông góc với đáy nên giao tuyến $ SO $ của chúng đó đó là đường cao của hình chóp. Chỉ ra tam giác $ ABD $ đều. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AB, K $ là trung điểm của $ HB $ và $ I $ là hình chiếu của $ O $ lên $ SK $ thì $ OI $ đó đó là khoảng chừng cách từ điểm $ O $ đến mặt phẳng $ (SAB) $. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có $$ frac1OI^2 = frac1OK^2 + frac1SO^2 $$ và tìm được $SO = fraca2 $. Đáp số $ V_S.ABCD=fracsqrt3a^33. $
3.3. Hình chóp chứa một mặt phẳng vuông góc với đáy
Ví dụ 1. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ A $, cho $ AB=a,AC=asqrt3 $, mặt bên $ SBC $ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABC $.
Đáp số $ fraca^32. $
Ví dụ 2. [CĐ2010] Hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông vắn cạnh $ a $. Mặt phẳng $ (SAB) $ vuông góc với đáy và $ SA=SB. $ Góc giữa $ SC $ và đáy là $ 45^circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.
Hướng dẫn. Gọi $ I $ là trung điểm $ AB $ thì $ SIperp (ABCD). $ Đáp số $ V=fraca^3sqrt56. $
Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $, đáy là hình thang vuông tại $ A $ và $ B,$ cạnh $AB=BC=a,$ cạnh $AD=2a. $ Mặt phẳng $ SAD $ vuông góc với đáy và tam giác $ SAD $ vuông tại $ S. $ Biết $ SB=asqrt2 $, tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.
Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABC $ có $ BC=2a $ và đáy là tam giác vuông tại $ C. $ Tam giác $ SAB $ vuông cân tại $ S $ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng $ (SAC) $ phù phù hợp với đáy một góc $ 60^circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $.
Hướng dẫn. Gọi $ H,K $ là trung điểm của $ AB,AC $ thì $ SHperp(ABC) $ và $ widehatSKH=60^circ. $ Đáp số $ V=frac2a^3sqrt63. $
Ví dụ 5. [B2008] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông vắn cạnh $ 2a, SA = a, SB = asqrt3 $ và mặt phẳng $ (SAB) $ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm $ AB, BC $. Tính theo $ a $ thể tích khối chóp $ S.BMDN $ và tính cosin góc giữa hai tuyến đường thẳng $ SM, DN $.
Đáp số: $ V=fraca^3sqrt3$ và $cos (SM,DN)=frac1sqrt5 $.
Ví dụ 6. [B2006] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=a,$ $AD=asqrt2,$ cạnh $SA=a $ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ AD,SC $ và $ I $ là giao điểm của $ BM $ và $ AC $. Tính thể tích khối tứ diện $ ANIB $.
Hướng dẫn. Chỉ ra đường thẳng $ NO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD) $ nên $V_ANIB=V_N.AIB$ và được tính bởi công thức $$frac13.S_Delta AIB.NO$$ Tính được $ AI,BI $ và suy ra tam giác $ AIB $ vuông tại $ I $. Từ đó tìm được đáp số $V_N.AIB=fraca^3sqrt236 $
Ví dụ 7. [A2007] Cho hình chóp $ S.ABCD $ đáy $ ABCD $ là hình vuông vắn cạnh $ a $, mặt bên $ SAD $ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm của $ SB,BC,CD $. Chứng minh rằng $ AMperp PB $ và tính thể tích khối tứ diện $ CMNP $.
Hướng dẫn. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AD $ thì $ SHperp AD $. Kẻ $ MKparallel SH$ với $Kin HB $ thì chứng tỏ được $ MKperp(ABCD) $ và $ MK=fracSH2=fracasqrt34. $ Do đó, thể tích khối chóp cần tính là beginalign V&=V_M.CNP\ &=frac13MK.S_CNP\ &=fraca^3sqrt396
endalign
3.4. Hình chóp đều – Hình chóp có những cạnh bên bằng nhau
Ví dụ 1. Hình chóp tam giác đều $ S.ABC $ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $ a $, những cạnh bên tạo với đáy một góc $ 60^circ $. Hãy tính thể tích của khối chóp $ S.ABC $.
Hướng dẫn. Gọi $ M $ là trung điểm $ BC $ và $ O $ là tâm của đáy thì $ widehatSAO=60^circ $. Từ đó tìm được $ SO=a $ và $ V=fraca^3sqrt312 $
Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy $ 2a $, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $ 60^circ $. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABCD $.
Hướng dẫn. Gọi $ O $ là tâm của đáy, $ M $ là trung điểm của $ AB $ thì $ widehatSMO=60^circ. $ Đáp số $ V=frac4a^3sqrt33. $
Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật, $ AB = a , AD = 2a $. Đỉnh $ S $ cách đều những đỉnh $ A,B,C,D $ của mặt đáy và $ SB = asqrt5 $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD. $
Hướng dẫn. Đáp số beginalign V &= frac13SO.S_ABCD \ &= frac13.fracasqrt 15 2.2a^2 \ &= fraca^3sqrt 15 3 endalign
Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi cạnh $ a,widehatABC =60^circ$, cạnh $SB = 2a $. Đỉnh $ S $ cách đều những đỉnh $ A,B,C $ của mặt đáy $ ABCD $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD.$
Hướng dẫn. Chỉ ra tam giác $ ABC $ đều và gọi $ H $ là tâm của tam giác $ ABC $ thì $ SHperp(ABCD). $ Từ đó tìm được beginalign V&=frac13SH.S_ABCD\ &=frac13.fracasqrt339.fraca^2sqrt32\ &=fraca^3sqrt1118
endalign
Ví dụ 5. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi cạnh $ a $ và $SA=a$. Các góc $widehatSAB,widehatSAD ,widehatBAD$ cùng bằng $60^circ $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.
Hướng dẫn. Gọi $ O $ là tâm hình thoi $ ABCD $. Từ $ SA=AB=AD=a $ và $ widehatSAB=widehatSAD=60^circ $ suy ra những tam giác $ SAB,SAD $ đều.
Do đó, $ SA=SB=SD $ nên hình chiếu của đỉnh $S$ lên mặt đáy sẽ trùng với tâm $ H $ của tam giác $BAD $.
Có cạnh $ BD=a$ nên suy ra $ AC=asqrt3$ và tính được diện tích s quy hoạnh $ABCD$ là $frac12AC.BD=fraca^2sqrt32. $
Trong tam giác $ BAD $ có $ AH=frac23AO=fracasqrt33 $ nên suy ra $ SH=sqrtSA^2-AH^2$. Từ đó tính được $SH=fracasqrt63. $
Suy ra $ V=fraca^3sqrt26. $
4. Bài tập . thể tích khối chóp
Hình chóp có chứa một cạnh bên vuông góc với đáy
Bài tập 1. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B $ với $ AC=a,SAperp left( ABC right) $ và $ SB $ phù phù hợp với mặt phẳng đáy $ (ABC) $ một góc $ 60^circ $. Tính thể tích của khối chóp.
Đáp số: $ V=fraca^3sqrt624 $.
Bài tập 2. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B,SAperp left( ABC right) $. Biết rằng $ AB=a, AC=2a $, góc giữa hai mặt phẳng $ left( SBC right) $ và $ left( ABC right) $ bằng $ 60^circ $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $ theo $ a $.
Đáp số: $ V=fraca^32 $.
Bài tập 3. [CĐ2008] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thang, những góc $ widehatBAD$, $widehatABC$ cùng bằng $90^circ$, $AB=BC=a,$ $AD=2a$, cạnh $ SA$ vuông góc với $left( ABCD right)$ và dài bằng $2a $. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ SA,SD $. Chứng minh rằng $ BCNM $ là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp $ S.BNM $?
Hướng dẫn. Có beginalign
V_S.BNM&=V_N.BMS\
&=frac13NM.S_Delta BMS \
&=fraca^36
endalign
Bài tập 4. [CĐKT Cao Thắng 2007] Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ Delta ABC $ là tam giác vuông tại $ B $ và $ SAperp left( ABC right) $ với $ widehatACB=60^circ $, $ BC=a,SA=asqrt3 $. Gọi $ M $ là trung điểm của cạnh $ SB $. Chứng minh $ left( SAB right)perp left( SBC right) $ và tính thể tích khối tứ diện $ MABC $.
Hướng dẫn. Có beginalign
V_MABC &=V_C.MAB\
&=frac13CB.S_Delta MAB \
&=fraca^34.
endalign
Bài tập 5. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là $Delta ABC$ vuông tại $A$ và $SBperp left( ABC right)$. Biết $SB=a,SC$ phù phù hợp với mặt phẳng $left( SAB right)$ một góc $30^circ$ và mặt phẳng $left( SAC right)$ phù phù hợp với mặt phẳng $left( SAB right)$ một góc $60^circ$. Chứng minh $SC^2=SB^2+AB^2+AC^2$ và tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
Hướng dẫn. Chỉ ra $ ACperp (SAB) $ nên tam giác $ SAC $ vuông. Do đó $ SC^2=SA^2+AC^2$ và suy ra $SC^2=SB^2+AB^2+AC^2. $ Thể tích $V=fraca^3sqrt327$.
Bài tập 6. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=3a, BC=4a $. Biết $ SD $ vuông góc với đáy và tam giác $ SBC $ có diện tích s quy hoạnh $ 6sqrt2 a^2 $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $ theo $ a $.
Đáp số: $ 12a^3 $
Bài tập 7. [A2010] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông vắn cạnh $ a $. Gọi $ M $ và $ N $ lần lượt là trung điểm của những cạnh $ AB $ và $ AD,H $ là giao điểm của $ CN $ và $ DM $. Biết $ SHperp left( ABCD right) $ và $ SH=asqrt3 $. Tính thể tích khối chóp $ S.CDNM $.
Hướng dẫn. Tính diện tích s quy hoạnh của tứ giác $ CDNM$ bằng phương pháp lấy diện tích s quy hoạnh $ABCD$ trừ đi diện tích s quy hoạnh tam giác $AMN$ và $BMC $. Đáp số $ V=frac5a^3sqrt324$.
Bài tập 8. [DB A2006] Cho hình hộp đứng $ABCD.A’B’C’D’$ có $AB=AD=a,$ cạnh bên $AA’=fracasqrt32,$ góc $BAD=60^0$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của những cạnh $A’D’$ và $A’B’$. Chứng minh rằng: $AC’bot left( BDMN right)$ và tính thể tích khối chóp $A.BDMN$.
Hướng dẫn. Nhận thấy $ABCD$ là hình thoi nên chứng tỏ được $ BDperp(ACC’A’) $. Do đó $ AC’perp BD. $ Gọi $ E=MDcap AA’ $ thì $ A’ $ là trung điểm $ AE $ và $ AA’,BN,DM $ đồng quy tại $ E. $ Hai tam giác vuông $ AOE $ và $ CC’A $ bằng nhau nên suy ra $ AC’perp OE. $ Như vậy $ AC’ $ vuông góc với $ BD $ và $ OE $ nên $ AC’perp(BDMN) $. Gọi $ H=AC’cap OE $ thì $ AH $ là đường cao của hình chóp $ A.BDMN $. Khi đó, $ V=frac13AH.S_BDMN=frac3a^316. $
Hình chóp có chứa hai mặt phẳng vuông góc với đáy
Bài tập 9. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông vắn cạnh $ a $, hai mặt bên $ left( SAB right) $ và $ left( SAD right) $ cùng vuông góc với $ left( ABCD right) $. Cho $ SB=3a $. Gọi $ M $ là trung điểm của $ CD $. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABCM $.
Đáp số: $ V=frac3sqrt2a^32 $
Bài tập 10. Hình chóp $ S.ABC $ có những cạnh $ SB,SC,BC,CA$ bằng nhau và cùng bằng $a, $ hai mặt $ (ABC) $ và $ (ASC) $ cùng vuông góc với $ (SBC). $ Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
Đáp số: Chọn $ A $ làm đỉnh hình chóp. Đáp số $ V=fraca^3sqrt312 $
Bài tập 11. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật, những mặt bên $ left( SAB right) $ và $ left( SAD right) $ cùng vuông góc với mặt đáy $ left( ABCD right) $, cho $ AB=a,AD=2a,$ cạnh $SC $ tạo với mặt đáy $ left( ABCD right) $ một góc $ 45^circ $. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABCD $.
Đáp số: $ V=frac2sqrt3a^33.$
Bài tập 12. Hình chóp $ S.ABC $ có hai mặt bên $ (SAB) $ và $ (SAC) $ cùng vuông góc với mặt đáy. Biết rằng đáy $ ABC $ là tam giác vuông cân đỉnh $ A $ với trung tuyến $ AD = a $, cạnh bên $ SB $ tạo với đáy một góc $ alpha $. Biết $ $SA$=asqrt6 $, hãy tìm góc $ alpha $ và tính thể tích khối chóp $ S.ABC$. Đáp số:
$ alpha=widehatSBA=60^circ $, $ V=fraca^3sqrt63 $.
Bài tập 13. Cho hình chóp $ S.ABC $ có những mặt bên đôi một vuông góc. Diện tích những mặt bên lần lượt là $ 4a^2,6a^2 $ và $ 12a^2. $ Tính thể tích khối chóp.
Hướng dẫn. Chỉ ra $ SA,SB,SC $ đôi một vuông góc. Đặt $ SA=x,$ $SB=y,$ $SC=z $ và màn biểu diễn tích $ xyz $ theo $ a. $ Từ đó tìm được thể tích $ V=8a^3 $.
Bài tập 14. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thang vuông tại $ A $ và $ D $, $ AD=DC=a,AB=2a $. Biết rằng hai mặt phẳng $ left( SAB right) $ và $ left( SAD right) $ cùng vuông góc với mặt đáy $ left( ABCD right),SC $ tạo với mặt phẳng đáy $ left( ABCD right) $ một góc $ 60^circ $. Gọi $ I $ là trung điểm của $ SB $.
Tính thể tích của khối chóp $ S.ABCD $ theo $ a $. Chứng minh tam giác $ SBC $ vuông và tính thể tích khối chóp $ S.ACI $.Hướng dẫn. Có beginalign V&=V_I.SAC\ &=frac13d(I,(SAC)).S_Delta SAC\ &= frac13.frac12d(B,(SAC)).S_Delta SAC
endalign Đáp số $ V_S.ABCD=fracsqrt6a^32,$ và $V_S.ACI=fraca^3sqrt66. $
Hình chóp có chứa một mặt phẳng vuông góc với đáy
Bài tập 15. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thang cân với $ ADparallel BC $. Mặt phẳng $ (SAD) $ vuông góc với đáy. Cho $ AB=BC=CD=a$ và $SA=SD=AD=2a $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABC$.
Đáp số: $ V_S.ABCD=frac3a^34$ và $V_S.ABC=fraca^34. $
Bài tập 16. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thang vuông tại $ A $ và $ D,AD=DC=a,AB=2a $. Biết rằng $ Delta SAB $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $ left( ABCD right) $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.
Đáp số: $ V=fraca^3sqrt32 $.
Bài tập 17. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông vắn cạnh $ a, $ mặt phẳng $ (SAC) $ vuông góc với đáy, $ widehatASC=90^circ $ và $ SA $ tạo với đáy một góc $ alpha. $ Tính thể tích khối chóp.
Hướng dẫn. Kẻ $ AH $ vuông góc với $ AC $ tại $ H $ thì $ AH $ là đường cao của hình chóp. Đáp số: $ V=fraca^3sqrt2sin2alpha6 $
Bài tập 18. Hình chóp $ S.ABC $ có $ widehatBAC=90^circ,$ $widehatABC=alpha.$ Tam giác $SBC $ là tam giác đều cạnh $ a $ và $ (SAB)perp (ABC). $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $.
Hướng dẫn. Hạ $ SHperp AB $ thì có hai tam giác $ SHB,SHC $ bằng nhau nên suy ra $ HB=HC $. Gọi $ I $ là trung điểm $ BC $ thì $ HI $ là đường trung tuyến và đường cao của tam giác cân $ HBC $ nên tính được $ HB =fraca2cosalpha $. Từ đó tìm được $ SH=fracasqrt4cos^2alpha-12cosalpha $. Đáp số: $ frac112a^3sinalphasqrt4cos^2alpha-1 $
Bài tập 19. Hai hình thang $ ABCD $ và $ ABEF $ cùng vuông tại $ A,B $ và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Cho $ AB=5a$, $AD=AF=a$, $BC=4a$, $BE=x. $ Định $ x $ để hai tứ diện $ ABDF $ và $ ABCE $ hoàn toàn có thể tích bằng nhau.
Đáp số: $ x=fraca4. $
Hình chóp đều và hình chóp có những cạnh bên bằng nhau
Bài tập 20. [TN2008] Cho hình chóp đều $ S.ABC $ có cạnh đáy bằng $ a $, cạnh bên bằng $ 2a $. Gọi $ I $ là trung điểm của cạnh $ BC $. Chứng minh: $ SAperp BC $ và tính thể tích khối chóp $ S.ABI $ theo $ a $.
Bài tập 21. Tính thể tích tứ diện đều có những cạnh bằng $ a $.
Đáp số: $ fraca^2sqrt212 $
Bài tập 22. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng $ a $.
Đáp số: $ fraca^2sqrt26 $
Bài tập 23. Hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ a $, những cạnh bên tạo với mặt đáy góc $ 60^circ $. Tính thể tích hình chóp đó.
Đáp số: $ fraca^3sqrt6 $
Bài tập 24. Cho hình chóp đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ a $, những cạnh bên tạo với mặt đáy góc $ 45^circ $. Tính thể tích khối chóp.
Đáp số: $ fraca^3sqrt26 $
Bài tập 25. Hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có độ cao $ SH = h $, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $ alpha $. Tính thể tích khối chóp theo $ h $ và $ alpha $.
Đáp số: $ frac4h^3cot ^2alpha 3 $
Bài tập 26. [Cao Đẳng Kinh Tế Đối Ngoại 2007] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có tất cả những cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng $ S.ABCD $ là hình chóp đều. Tính độ dài cạnh của hình chóp này lúc biết thể tích của nó bằng $ frac9a^3sqrt22 $.
Đáp số: $ 3a $.
Bài tập 27. [DB D2006] Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ a $. Gọi $ SH $ là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm $ I $ của $ SH $ đến mặt bên $ left( SBC right) $ bằng $ b $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.
Hướng dẫn. Gọi $ M $ là trung điểm của $ CD $, hạ $ IKperp SM $ thì $ IK $ đó đó là khoảng chừng cách từ $ I $ đến mặt phẳng $ (SCD). $ Đáp số: $ V=frac2a^3b3sqrta^2-16b^2 $.
Bài tập 29. [B2004] Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ a $, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $ varphi$. Tính tang góc giữa hai mặt phẳng $ left( SAB right) $ và mặt phẳng $ left( ABCD right) $ theo $ varphi $. Tính thể tích khối chóp theo $ a $ và $ varphi $.
Đáp số: $ sqrt2tan varphi$, $V=fraca^3sqrt2.tan varphi 6 $.
[embed]https://www.youtube.com/watch?v=WCaCGW5R4Vw[/embed]