Kinh Nghiệm về Bài tập về 2 đường thẳng vuông góc lớp 11 Chi Tiết
Lê Sỹ Dũng đang tìm kiếm từ khóa Bài tập về 2 đường thẳng vuông góc lớp 11 được Update vào lúc : 2022-05-29 14:44:35 . Với phương châm chia sẻ Thủ Thuật về trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi tham khảo nội dung bài viết vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại phản hồi ở cuối bài để Ad lý giải và hướng dẫn lại nha.
CHUẨN KIẾN THỨC
Nội dung chính- 2. Góc giữa hai tuyến đường thẳng3. Hai đường thẳng vuông gócB. Bài tậpDạng 1. Ứng dụng của tích vô hướngDạng 2. Góc giữa hai tuyến đường thẳngDạng 3. Chứng minh hai tuyến đường thẳng vuông góc với nhauVideo liên quan
Luyện kĩ năng giải những dạng bài tập.
Bài toán 01: Tính góc giữa hai tuyến đường thẳng.
Phương pháp:
Để tính góc giữa hai tuyến đường thẳng , trong không khí ta hoàn toàn có thể thực hiện theo hai cách
Bài toán 02: Dùng tích vô hướng để chứng tỏ hai tuyến đường thẳng vuông góc.
Phương pháp:
Để chứng tỏ ta có trong phần này ta hoàn toàn có thể thực hiện theo những phương pháp sau:
LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Bài toán 01: TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
Bài toán 02: DÙNG TÍCH VÔ HƯỚNG ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
» Tải về file PDF tại đây.
» Hướng dẫn giải chuyên đề tại đây.
Xem thêm:
– Hai đường thẳng chéo nhau và hai tuyến đường thẳng song song – Chuyên đề Hình học 11
– Vectơ trong không khí – Chuyên đề Hình học 11
Related
Cho (overrightarrow a = 3,,,overrightarrow b = 5) và góc giữa chúng bằng (120^0). Chọn xác định sai trong những xác định sau:
Lời giải rõ ràng:
Xét đáp án A:
(beginarrayl^2 = overrightarrow a ^2 + overrightarrow b ^2 + 2overrightarrow a overrightarrow b cos left( overrightarrow a ;overrightarrow b right)\,,,,,,,,,,,,,,, = 3^2 + 5^2 + 2.3.5.cos120^0\,,,,,,,,,,,,,,, = 19\ Rightarrow left| overrightarrow a + overrightarrow b right| = sqrt 19 endarray)
(Rightarrow) Đáp án A đúng.
Xét đáp án B:
(beginarraylleft = overrightarrow a ^2 + overrightarrow b ^2 - 2overrightarrow a overrightarrow b cos left( overrightarrow a ;overrightarrow b right)\,,,,,,,,,,,,,,, = 3^2 + 5^2 - 2.3.5.cos120^0\,,,,,,,,,,,,,,, = 49\ Rightarrow left| overrightarrow a - overrightarrow b right| = sqrt 7 endarray)
(Rightarrow) Đáp án B đúng.
Xét đáp án C:
(beginarrayl overrightarrow a - 2overrightarrow b right = overrightarrow a ^2 + 4overrightarrow b ^2 - 4overrightarrow a overrightarrow b cos left( overrightarrow a ;overrightarrow b right)\,,,,,,,,,,,,,,, = 3^2 + 5^2 - 4.3.5.cos120^0\,,,,,,,,,,,,,,, = 139\ Rightarrow left| overrightarrow a - overrightarrow b right| = sqrt 139 endarray)
(Rightarrow) Đáp án C đúng.
Xét đáp án D:
(beginarrayl^2 = overrightarrow a ^2 + 4overrightarrow b ^2 + 4overrightarrow a overrightarrow b cos left( overrightarrow a ;overrightarrow b right)\,,,,,,,,,,,,,,, = 3^2 + 5^2 + 4.3.5.cos120^0\,,,,,,,,,,,,,,, = 79\ Rightarrow left| overrightarrow a - overrightarrow b right| = sqrt 79 endarray)
(Rightarrow) Đáp án D sai.
Chọn D.
Page 2
Quảng cáo
Chủ đề của bài này là Hai đường thẳng vuông góc nằm trong chương trình Hình học toán lớp 11, quý thầy/cô và những em hoàn toàn có thể tải file WORD hoặc PDF theo link cuối nội dung bài viết, nếu gặp trở ngại vất vả trong quá trình tải hãy liên hệ ngay với hoctai qua email hoặc nhắn tin trực tiếp qua Fanpage Hoctai.
MỤC LỤC
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Vectơ chỉ phương của đường thẳng Góc giữa hai tuyến đường thẳng Hai đường thẳng vuông gócB – BÀI TẬPDẠNG 1: TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUANHƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾTNếu những em không mình mất thời gian tải và in đề làm bài thì hoàn toàn có thể tham gia thi online miễn phí có kèm lời giải rõ ràng tại vaolop.hoctai.
Góc giữa hai vecto trong không khí:
.
Tích vô vị trí hướng của hai vecto trong không khí:
Cho . Khi đó: .
Với hoặc . Quy ước: .
.
.
.
2. Góc giữa hai tuyến đường thẳng
Khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng
Một vectơ mà có phương song song hoặc trùng với được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng .
Góc giữa hai tuyến đường thẳng
Góc giữa hai tuyến đường thẳng và là góc giữa hai tuyến đường thẳng , lần lượt song song với , . Kí hiệu
Từ định nghĩa ta có sơ đồ: .
Nhận xét:
+ Giả sử có vectơ chỉ phương tương ứng là và .
Khi đó
+ Nếu hoặc thì .
3. Hai đường thẳng vuông góc
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu . Kí hiệu là .
Nếu và lần lượt là những vecto chỉ phương của hai tuyến đường thẳng và thì
Nếu và vuông góc với một trong hai tuyến đường thẳng đó thì vuông góc với đường thẳng còn sót lại.
B. Bài tập
Dạng 1. Ứng dụng của tích vô hướng
A. Phương pháp
Muốn tính độ dài của đoạn thẳng hoặc tính khoảng chừng cách giữa hai điểm và ta nhờ vào công thức: .
Tính góc giữa hai vecto và ta nhờ vào công thức: .
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1.1: Cho tứ diện đều cạnh .
a) Tính góc giữa hai véctơ .
b) Gọi là trung điểm của . Tính góc giữa hai véctơ .
Lời giải:
a) Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ ta được:
.
Xét
Mà .
.
b) Ta có
Tứ diện đều cạnh . là trung tuyến của tam giác đều nên
Suy ra .
Ta có
Do đều nên
Đồng thời
Suy ra .
Thay vào ta được suy ra .
Vậy .
Ví dụ 1.2: Cho hình chóp có , , đôi một vuông góc và . Gọi là trung điểm của .
a) Biểu diễn những véctơ và theo những véctơ , , .
b) Tính .
Lời giải:
a) Sử dụng quy tắc trung điểm và quy tắc trừ hai véctơ ta được:
.
b)
Mà , , đôi một vuông góc nên
Tam giác và vuông tại nên theo định lý Pitago ta được
suy ra .
Theo câu a ta có:
.
Thay vào ta được suy ra .
Dạng 2. Góc giữa hai tuyến đường thẳng
A. Phương pháp
Để tính góc giữa hai tuyến đường thẳng trong không khí ta hoàn toàn có thể thực hiện theo hai cách sau:
Cách 1: Tìm góc giữa hai tuyến đường thẳng bằng phương pháp chọn một điểm thích hợp ( thường nằm trên một trong hai tuyến đường thẳng).
Từ dựng những đường thẳng lần lượt song song (hoàn toàn có thể trùng nếu nằm trên một trong hai tuyến đường thẳng) với .
Lưu ý: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí cosin trong tam giác .
Cách 2: Tìm hai vecto chỉ phương của hai tuyến đường thẳng .
Khi đó góc giữa hai tuyến đường thẳng xác định bởi .
Lưu ý: Để tính ta chọn ba vecto không đồng phẳng mà hoàn toàn có thể tính được độ dài và góc giữa chúng, sau đó biểu thị những vecto qua những vecto rồi thực hiện những tính toán.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 2.1: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, những tam giác , , là những giác vuông tại . Biết , , . Tính góc Một trong những đường thẳng sau:
a) và . b) và . c) và .
Lời giải:
a) Tính góc giữa và
Để xác định góc giữa hai tuyến đường thẳng và ta sử dụng cách 1, tìm đường thẳng song song với một trong hai tuyến đường thẳng , và cắt đường thẳng còn sót lại.
Ta dễ nhận thấy .
Khi đó .
Xét có suy ra . Vậy .
b) Tính góc giữa và
Tương tự, .
Xét có suy ra . Vậy .
c) Tính góc giữa và
Gọi là tâm của hình chữ nhật , là trung điểm của .
Trong có suy ra .
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông có:
.
Ta có là hình chữ nhật nên suy ra
.
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông có:
.
Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ta được:
.
Suy ra .Vậy .
Ví dụ 2.2: Cho tứ diện , gọi , là trung điểm của , . Biết , . Tính góc giữa hai tuyến đường thẳng và .
Lời giải:
Cách 1:
Do và là hai cạnh đối của tứ diện nên chúng chéo nhau, để xác định góc giữa hai tuyến đường thẳng và ta tạo những đường thẳng tương ứng song song với , và chúng cắt nhau.
Gọi là trung điểm của , khi đó ,
Do , là những đường trung bình nên ta có . Áp dụng định lý hàm số cosin trong ta được:
Suy ra . Vậy .
Nhận xét: Ngoài việc tạo ra điểm như trên ta cũng hoàn toàn có thể lấy điểm là trung điểm của , cách giải khí đó cũng tương tự.
Cách 2:
Ta có: .
.
.
.
Ví dụ 2.3: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , , , vuông góc với và , . Tính góc của 2 đường thẳng:
a) và . b) và .
Lời giải:
a) Do
Tam giác vuông tại nên là góc nhọn, khi đó suy ra .
Vậy góc giữa hai tuyến đường thẳng và bằng .
Gọi là trung điểm của , khi đó . Tứ giác là hình hình hành (do ), có nên là hình thoi. Lại có góc , vuông nên là hình vuông vắn cạnh suy ra .
Mặt khác, tứ giác là hình hình hành (do cặp cạnh và song song và bằng nhau) nên . Khi đó, .
Tam giác vuông tại nên .
Tam giác vuông tại nên .
Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ta được
Do nên góc là góc nhọn suy ra .
Dạng 3. Chứng minh hai tuyến đường thẳng vuông góc với nhau
A. Phương pháp
Để chứng ta hoàn toàn có thể thực hiện theo những phương pháp sau:
Chứng minh , trong đó lần lượt là những vecto chỉ phương của và .
Sử dụng tính chất .
Sử dụng định lí Pitago hoặc xác định góc giữa và tính trực tiếp góc đó.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 3.1: Cho tứ diện trong đó . Gọi và lần lượt là trung điểm của và .
a) Chứng minh rằng vuông góc với cả hai tuyến đường thẳng và .
b) Tính độ dài .
Lời giải:
a) Từ giả thiết thuận tiện và đơn giản suy ra tam giác đều, vuông cân tại .
Từ đó vuông cân tại .
Chứng minh vuông góc với
Do những vuông cân tại nên
.
Chứng minh vuông góc với
Do những đều nên .
b) Áp dụng định lí Pitago cho vuông tại ta được:
.
Vậy .
Ví dụ 3.2: Cho hình chóp tam giác có và . Chứng minh rằng .
Lời giải:
Chứng minh
Xét .
Mà
Chứng minh tương tự ta cũng khá được .
Ví dụ 3.3: Cho tứ diện đều , cạnh bằng . Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp .
a) Chứng minh vuông góc với .
b) Gọi là trung điểm của . Tính góc giữa:
+ và .
+ và .
Lời giải:
a) Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng.
Gọi là trung điểm của . Ta có:
.
Do là tứ diện đều nên và
là tâm đáy (hay là giao điểm của ba đường cao).
Khi đó:
.
b) Xác định góc giữa và ; và
Xác định góc giữa và :
Gọi là trung điểm của .
Từ đó:
.
Áp dụng định lí hàm số cosin trong ta được:
(1)
Các đều, có cạnh nên .
là đường trung bình nên .
Từ đó
.
Xác định góc giữa và :
Gọi là trung điểm của .
Khi dó .
Các tam giác là những tam giác đều cạnh , nên những trung tuyến tương ứng .
Do đó, .
Vậy .
Ví dụ 3.4: Cho hình lập phương cạnh . Đặt .
a) Tính góc Một trong những đường thẳng .
b) Gọi là tâm của hình vuông vắn và là một điểm sao cho . Tính khoảng chừng cách từ đến theo .
c) Phân tích hai véc tơ theo ba véc tơ . Từ đó, chứng tỏ rằng và vuông góc với nhau.
d) Trên cạnh và lấy hai điểm tương ứng sao cho (với ).
Chứng minh rằng vuông góc với .
Lời giải:
Nhận xét:
Để làm tốt những bài toán liên quan đến hình lập phương ta cần nhớ một số trong những tính chất cơ bản của hình lập phương:
Tất cả những đường chéo ở những mặt của hình lập phương đều bằng nhau và bằng (nếu hình lập phương cạnh ).
Các đoạn thẳng tạo bởi những kích thước của hình lập phương luôn vuông góc với nhau (dài, rộng, cao).
a)
Tính góc giữa: .
+ Tính :
Do .
+ Tính :
Do .
là hình vuông vắn nên là tam giác vuông cân tại .
.
Tính :
Do .
Xét trong tam giác có (do đều là những đường chéo ở mặt hình vuông vắn của hình lập phương).
Do đó đều .
b) Tính độ dài theo .
Vơi là tâm của hình vuông vắn thì .
Khi đó .
Gọi là tâm của đáy , theo quy tắc trung tuyến ta có:
.
Khoảng cách từ đến đó đó là độ dài véc tơ , từ đó ta được .
c) Phân tích hai véc tơ theo ba véc tơ .
Theo tính chất của hình lập phương ta thuận tiện và đơn giản có: .
Phân tích: .
Chứng minh vuông góc với :
Xét .
.
d) Chứng minh rằng :
Ta có phân tích
Mà .
