Mẹo Hướng dẫn Tập nghiệm của phương trình ln 2 x bình trừ x cộng 1 bằng 0 là Mới Nhất
Lê Minh Long đang tìm kiếm từ khóa Tập nghiệm của phương trình ln 2 x bình trừ x cộng 1 bằng 0 là được Update vào lúc : 2022-06-24 05:40:07 . Với phương châm chia sẻ Kinh Nghiệm Hướng dẫn trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi đọc nội dung bài viết vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại phản hồi ở cuối bài để Mình lý giải và hướng dẫn lại nha.Trong đại số sơ cấp, phương trình bậc hai là phương trình có dạng:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
displaystyle ax^2+bx+c=0
.
- Phân tích thành nhân tử bằng phương pháp kiểm traPhần bù bình phươngCông thức nghiệmPhương trình bậc hai rút gọnBiệt thứcDiễn giải bằng hình họcNhân tử hóa đa thức bậc haiVideo liên quan
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai
Với x là ẩn số chưa chắc như đinh và a, b, c là những số đã biết sao cho a khác 0. Các số a, b, và c là những thông số của phương trình và hoàn toàn có thể phân biệt bằng phương pháp gọi tương ứng thông số bậc hai, thông số bậc một, và hằng số hay thông số tự do.[1]
Vì phương trình bậc hai chỉ có một ẩn nên nó được gọi là phương trình "đơn biến". Phương trình bậc hai chỉ chứa lũy thừa của x là những số tự nhiên, thế cho nên vì thế chúng là một dạng phương trình đa thức, rõ ràng là phương trình đa thức bậc hai do bậc cao nhất là hai.
Các cách giải phương trình bậc hai phổ biến là nhân tử hóa (phân tích thành nhân tử), phương pháp phần bù bình phương, sử dụng công thức nghiệm, hoặc đồ thị. Giải pháp cho những vấn đề tương tự phương trình bậc hai đã được con người nghe biết từ năm 2000 trước Công Nguyên.
Hình 1. Đồ thị của hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c với mỗi thông số biến hóa trong khi những thông số khác không thay đổi tại giá trị a = 1, b = 0, c = 0. Ví dụ, đồ thị bên phải là của hàm số y = ax2 (b = c = 0 không đổi) ứng với những giá trị a thay đổi là −4/3, −1/2, 0, 1/3, và 3/2 (sắc tố tương ứng); tương tự đồ thị ở giữa là của hàm số y = x2 + bx và đồ thị bên trái là của hàm số y = x2 + c.
Một phương trình bậc hai với những thông số thực hoặc phức có hai đáp số, gọi là những nghiệm. Hai nghiệm này còn có thế phân biệt hoặc không, và hoàn toàn có thể là thực hoặc không.
Phân tích thành nhân tử bằng phương pháp kiểm tra
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 hoàn toàn có thể viết được thành (px + q)(rx + s) = 0. Trong một vài trường hợp, điều này hoàn toàn có thể thực hiện bằng một bước xem xét đơn giản để xác định những giá trị p, q, r, và s sao cho phù phù phù hợp với phương trình đầu. Sau khi đã viết được thành dạng này thì phương trình bậc hai sẽ thỏa mãn nếu px + q = 0 hoặc rx + s = 0. Giải hai phương trình số 1 này ta sẽ tìm ra được nghiệm.
Với hầu hết học viên, phân tích thành nhân tử bằng phương pháp kiểm tra là phương pháp giải phương trình bậc hai đầu tiên mà người ta được tiếp cận.[2]:202–207 Nếu phương trình bậc hai ở dạng x2 + bx + c = 0 (a = 1) thì hoàn toàn có thể tìm cách phân tích vế trái thành (x + q)(x + s), trong đó q và s có tổng là -b và tích là c (đây đôi khi được gọi là "quy tắc Viet"[3]) Ví dụ, x2 + 5x + 6 viết thành (x + 3)(x + 2). Trường hợp tổng quát hơn khi a ≠ 1 đòi hỏi nỗ lực to hơn trong việc đoán, thử và kiểm tra; giả định rằng hoàn toàn hoàn toàn có thể làm được như vậy.
Trừ những trường hợp đặc biệt như khi b = 0 hay c = 0, phân tích bằng kiểm tra chỉ thực hiện được đối với những phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ. Điều này nghĩa là đa phần những phương trình bậc hai phát sinh trong ứng dụng thực tiễn không thể giải được bằng phương pháp này.[2]:207
Phần bù bình phương
Hình 2. Đồ thị hàm số bậc hai y = x2 − x − 2. Các hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành x = −1 và x = 2 là nghiệm của phương trình bậc hai x2 − x − 2 = 0.
Trong quá trình hoàn thành xong bình phương ta sử dụng hằng đẳng thức:
x 2 + 2 h x + h 2 = ( x + h ) 2 , displaystyle x^2+2hx+h^2=(x+h)^2,một thuật toán rạch ròi hoàn toàn có thể áp dụng để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào.[2]:207 Bắt đầu với phương trình bậc hai dạng tổng quát ax2 + bx + c = 0
Chia hai vế cho a, thông số của ẩn bình phương. Trừ c/a mỗi vế. Thêm bình phương của một nửa b/a, thông số của x, vào hai vế, vế trái sẽ trở thành bình phương đầy đủ. Viết vế trái thành bình phương của một tổng và đơn giản hóa vế phải nếu thiết yếu. Khai căn hai vế thu được hai phương trình số 1. Giải hai phương trình số 1.Tiếp theo là ví dụ minh họa việc sử dụng thuật toán này. Giải phương trình 2x2 + 4x − 4 = 0
αx² + bx + c = 0 αx² + bx = -c x² + bx⁄α = -c⁄α x² + bx⁄α + (b⁄2α)² = -c⁄α + (b⁄2α)² (x + b/2α)² = -c/α + b²/4α² (x + b/2α)² = (b² - 4αc)⁄4α² x + b/2α = ±√(b² - 4αc)⁄±√4α² x + b/2α = ±√(b² - 4αc)⁄2a x = (-b ± √(b² - 4αc))⁄2α Đây là lời giải.
⇔ x 2 + 2 x − 2 = 0 displaystyle Leftrightarrow x^2+2x-2=0 ⇔ x 2 + 2 x = 2 displaystyle Leftrightarrow x^2+2x=2 ⇔ x 2 + 2 x + 1 = 2 + 1 displaystyle Leftrightarrow x^2+2x+1=2+1 ⇔ ( x + 1 ) 2 = 3 displaystyle Leftrightarrow left(x+1right)^2=3 ⇔ x + 1 = ± 3 displaystyle Leftrightarrow x+1=pm sqrt 3 ⇔ x = − 1 ± 3 displaystyle Leftrightarrow x=-1pm sqrt 3Dấu cộng-trừ "±" biểu thị rằng cả x = −1 + √3 và x = −1 − √3 đều là nghiệm của phương trình.[4]
Công thức nghiệm
Có thể áp dụng phương pháp phần bù bình phương để rút ra một công thức tổng quát cho việc giải phương trình bậc hai, được gọi là công thức nghiệm của phương trình bậc hai.[5] Giờ là phần chứng tỏ tóm tắt.[6] Bằng khai triển đa thức, hay thấy phương trình dưới đây tương đương với phương trình đầu:
( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4. a 2 . displaystyle left(x+frac b2aright)^2=frac b^2-4ac4.a^2.Lấy căn bậc hai của hai vế rồi chuyển x về một bên, ta được:
x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a . displaystyle x=frac -bpm sqrt b^2-4ac 2a.Một số nguồn tài liệu, đặc biệt là tài liệu cũ, sử dụng tham số hóa phương trình bậc hai thay thế như ax2 + 2bx + c = 0 hoặc ax2 − 2bx + c = 0 ,[7] ở đây b có độ lớn bằng một nửa và hoàn toàn có thể mang dấu ngược lại. Các dạng nghiệm là hơi khác, còn sót lại thì tương đương.
Còn một số trong những cách rút ra công thức nghiệm hoàn toàn có thể tìm thấy trong tài liệu. Các cách chứng tỏ này là đơn giản hơn phương pháp phần bù bình phương tiêu chuẩn.
Một công thức ít phổ biến hơn, như dùng trong phương pháp Muller và hoàn toàn có thể tìm được từ công thức Viet:
x = − 2 c b ± b 2 − 4 a c . displaystyle x=frac -2cbpm sqrt b^2-4ac.Một tính chất của công thức này là lúc a = 0 nó sẽ cho ra một nghiệm hợp lệ, trong khi nghiệm còn sót lại sở hữu chứa phép chia cho 0, bởi khi a = 0 thì phương trình bậc hai sẽ chuyển về số 1 có một nghiệm. trái lại, công thức phổ biến chứa phép chia cho 0 ở cả hai trường hợp.
Phương trình bậc hai rút gọn
Việc rút gọn phương trình bậc hai để cho thông số lớn số 1 bằng một đôi khi là tiện lợi. Cách làm là chia cả hai vế cho a, điều này luôn thực hiện được bởi a khác 0, ta được phương trình bậc hai rút gọn:[8]
x 2 + p x + q = 0 , displaystyle x^2+px+q=0,trong đó p = b/a và q = c/a. Công thức nghiệm của phương trình này là:
x = 1 2 ( − p ± p 2 − 4 q ) . displaystyle x=frac 12left(-ppm sqrt p^2-4qright).Biệt thức
Hình 3. Ảnh hưởng của dấu của biệt thức đến số nghiệm [thực] của phương trình bậc hai. Khi Δ > 0, đường parabol cắt trục hoành tại hai điểm; Δ = 0, đỉnh của parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất; Δ < 0, parabol không giao trục hoành tại bất kỳ điểm nào. (đường parabol là đồ thị của hàm số bậc hai)
Trong công thức nghiệm của phương trình bậc hai, biểu thức dưới dấu căn được gọi là biệt thức và thường được màn biểu diễn bằng chữ D hoa hoặc chữ delta hoa (Δ) trong bảng vần âm Hy Lạp:[9]
Δ = b 2 − 4 a c . displaystyle Delta =b^2-4ac. Ngoài ra, với b = 2b' thì ta có biệt thức thu gọn: Δ ′ = b ′ 2 − a c . displaystyle Delta '=b'^2-ac. với Δ = 4Δ'Phương trình bậc hai với những thông số thực hoàn toàn có thể có một hoặc hai nghiệm thực phân biệt, hoặc hai nghiệm phức phân biệt. Trong trường hợp này biệt thức quyết định số lượng và bản chất của nghiệm. Có ba trường hợp:
- Nếu Δ (hoặc Δ') dương (Δ > 0 hay Δ'>0), phương trình có hai nghiệm phân biệt:
- Nếu Δ = 0 (hoặc Δ' = 0), phương trình có một nghiệm thực:
- Nếu Δ (hoặc Δ') âm (Δ < 0 hoặc Δ' < 0), phương trình không còn nghiệm thực, thay vào đó là hai nghiệm phức phân biệt[10]
Vậy phương trình có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ khác 0, có nghiệm thực khi và chỉ khi Δ không âm (Δ ≥ 0) .
Diễn giải bằng hình học
Hàm số f(x) = ax2 + bx + c là hàm số bậc hai.[11] Đồ thị của bất kỳ hàm bậc hai nào thì cũng đều có một dạng chung được gọi là parabol. Vị trí, hình dạng, kích cỡ của parabol phụ thuộc vào giá trị của a, b, và c. Nếu a > 0, prabol có một điểm cực tiểu và bề lõm hướng lên trên; nếu a < 0, parabol có một điểm cực lớn và bề lõm hướng xuống dưới (xem hình 1, a). Cực điểm của parabol ứng với đỉnh của nó; điểm này còn có hoành độ x = − b 2 a displaystyle scriptstyle x=tfrac -b2a , tính x rồi thế vào hàm số ta sẽ tìm được giá trị tung độ. Đồ thị giao trục tung tại điểm có tọa độ (0, c).
Các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 tương ứng là những nghiệm của hàm số f(x) = ax2 + bx + c bởi chúng là những giá trị của x để cho f(x) = 0. Nếu a, b, và c là những số thực và miền xác định của hàm f là tập hợp số thực thì nghiệm của f là hoành độ của giao/tiếp điểm của đồ thị với trục hoành (xem hình 3).
Nhân tử hóa đa thức bậc hai
Biểu thức
x − r displaystyle x-rlà nhân tử của đa thức
a x 2 + b x + c displaystyle ax^2+bx+ckhi và chỉ khi r là một nghiệm của phương trình bậc hai
a x 2 + b x + c = 0. displaystyle ax^2+bx+c=0.Từ công thức nghiệm ta có
a x 2 + b x + c = a ( x − − b + b 2 − 4 a c 2 a ) ( x − − b − b 2 − 4 a c 2 a ) . displaystyle ax^2+bx+c=aleft(x-frac -b+sqrt b^2-4ac2aright)left(x-frac -b-sqrt b^2-4ac2aright).Trong trường hợp đặc biệt b2 = 4ac (hay Δ = 0) phương trình chỉ có một nghiệm phân biệt, hoàn toàn có thể nhân tử hóa đa thức bậc hai thành
a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 . displaystyle ax^2+bx+c=aleft(x+frac b2aright)^2.Ngay từ năm 2000 trước Công Nguyên, những nhà toán học Babylon đã hoàn toàn có thể giải những bài toán liên quan đến diện tích s quy hoạnh và những cạnh của hình chữ nhật. Có dẫn chứng từ ra thuật toán này xuất hiện từ triều đại Ur thứ ba.[12] Theo ký hiệu tân tiến, những bài toán này thường liên quan đến việc giải hệ gồm hai phương trình:
x + y = p , x y = q displaystyle x+y=p, xy=qtương đương với phương trình:[13]:86
x 2 + q = p x displaystyle x^2+q=pxCác bước giải được người Babylon đưa ra như sau:
Tính p/2. Bình phương kết quả tìm được. Trừ đi q. Tính căn bậc hai bằng bảng căn bậc hai. Cộng kết quả của bước (1) và (4) để tìm x. Điều này về cơ bản là tương đương với việc tính x = p 2 + ( p 2 ) 2 − q displaystyle x=frac p2+sqrt left(frac p2right)^2-qỞ Babylon, Ai Cập, Hy Lạp, Trung Quốc, và Ấn Độ, phương pháp hình học được sử dụng để giải phương trình bậc hai. Tài liệu Berlin Papyrus của người Ai Cập có từ thời Trung vương quốc (từ năm 2050 đến 1650 trước CN) có chứa lời giải của phương trình bậc hai hai số hạng.[14] Trong nguyên bản kinh Sulba Sutras, khoảng chừng thế kỷ 8 trước CN, phương trình bậc hai dạng ax2 = c và ax2 + bx = c được khảo sát bằng phương pháp hình học. Các nhà toán học Babylon từ khoản năm 400 trước CN và những nhà toán học Trung Quốc từ khoảng chừng năm 200 trước CN đã sử dụng phương pháp phân chia hình học để giải những phương trình bậc hai với nghiệm dương.[15][16] Cuốn Cửu chương toán thuật của người Trung Quốc có ghi những quy tắc của phương trình bậc hai.[16][17] Trong những phương pháp hình học thuở đầu này sẽ không xuất hiện một công thức tổng quát. Tới khoảng chừng năm 300 trước CN, nhà toán học Hy Lạp Euclid đã cho ra một phương pháp hình học trừu tượng hơn. Với cách tiếp cận hoàn toàn bằng hình học, Pythagoras và Euclid đã tạo dựng một phương pháp tổng quan để tìm nghiệm của phương trình bậc hai. Trong tác phẩm Arithmetica của tớ, nhà toán học Hy Lạp Diophantus đã giải phương trình bậc hai, tuy nhiên chỉ cho ra một nghiệm, kể cả khi cả hai nghiệm đều là dương.[18]
Vào năm 628 CN, Brahmagupta, một nhà toán học Ấn Độ đưa ra lời giải rõ ràng đầu tiên (dù vẫn chưa hoàn toàn tổng quát) cho phương trình bậc hai ax2 + bx = c như sau: "Nhân số tuyệt đối (c) với bốn lần thông số bình phương, cộng với bình phương thông số số hạng ở giữa; căn bậc hai toàn bộ, trừ đi thông số số hạng ở giữa, rồi chia cho hai lần thông số bình phương là giá trị." (Brahmasphutasiddhanta, Colebrook translation, 1817, tr 346)[13]:87 Điều này tương đương:
x = 4 a c + b 2 − b 2 a . displaystyle x=frac sqrt 4ac+b^2-b2a.Thủ bản Bakhshali ra đời ở Ấn Độ vào thế kỷ 7 CN có chứa một công thức đại số cho việc giải phương trình bậc hai, cũng như những phương trình vô định. Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi đi xa hơn trong việc đáp ứng một lời giải đầy đủ cho phương trình bậc hai dạng tổng quát,[19] ông đã và đang mô tả phương pháp phần bù bình phương và thừa nhận rằng biệt thức phải dương,[19][20]:230 điều đã được 'Abd al-Hamīd ibn Turk (Trung Á, thế kỷ 9) chứng tỏ. Turk là người đưa ra những biểu đồ hình học chứng tỏ rằng nếu biệt thức âm thì phương trình bậc hai vô nghiệm.[20]:234 Trong khi bản thân al-Khwarizmi khước từ nghiệm âm, những nhà toán học Hồi giáo kế tục ông sau này đã đồng ý nghiệm âm cũng như nghiệm vô tỉ.[19]:191[21] Cá biệt Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (Ai Cập, thế kỷ 10) là người đầu tiên đồng ý những số vô tỉ (thường ở dạng căn bậc hai, căn bậc ba hay căn bậc bốn) là nghiệm hay là thông số của phương trình bậc hai.[22] Nhà toán học Ấn Độ thế kỷ thứ 9 Sridhara đã viết ra những quy tắc giải phương trình bậc hai.[23]
Nhà toán học người Do Thái Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (thế kỷ 12, Tây Ban Nha) là tác giả cuốn sách đầu tiên của người châu Âu có chứa lời giải đầy đủ cho phương trình bậc hai dạng tổng quát.[24] Giải pháp của Ha-Nasi dựa nhiều vào tác phẩm của Al-Khwarizmi.[19] Lần đầu tiên thông số âm của 'x' xuất hiện trong tác phẩm của nhà toán học người Trung Quốc Yang Hui (1238–1298 CN), dù vậy ông cho điều này là từ nhà toán học Liu Yi ở thời trước đó.[25] Vào năm 1545 Gerolamo Cardano biên soạn những tác phẩm liên quan đến phương trình bậc hai. Công thức nghiệm cho mọi trường hợp lần đầu đạt được bởi Simon Stevin vào năm 1594.[26] Năm 1637 René Descartes công bố tác phẩm La Géométrie trong đó có chứa công thức nghiệm mà tất cả chúng ta biết ngày này. Lời giải tổng quát xuất hiện lần đầu trong tài liệu toán học tân tiến vào năm 1896, bởi Henry Heaton.[27]
Công thức Viète cho ta thấy quan hệ đơn giản Một trong những nghiệm của đa thức với những thông số của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai một ẩn, chúng được phát biểu như sau:
- Nếu
x
1
displaystyle x_1
và
x
2
displaystyle x_2
là hai nghiệm của phương trình
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(
a
≠
0
)
displaystyle ax^2+bx+c=0,(aneq 0)
thì:
{
x
1
+
x
2
=
S
=
−
b
a
x
1
x
2
=
P
=
c
a
displaystyle begincasesx_1+x_2=S=-frac ba\\x_1x_2=P=frac ca\endcases
trái lại nếu x1 và x2 có tổng là S và tích là P thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình x2 - Sx + P=0
Khi phương trình bậc hai đã cho có tín hiệu sau:
-
a
+
b
+
c
=
0
displaystyle a+b+c=0
(với a,b và c là những thông số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì lúc đó nghiệm của phương trình là:
x
1
=
1
;
x
2
=
c
a
displaystyle x_1=1;,x_2=frac ca
.
a
−
b
+
c
=
0
displaystyle a-b+c=0
(với a,b và c là những thông số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì lúc đó nghiệm của phương trình là:
x
1
=
−
1
;
x
2
=
−
c
a
displaystyle x_1=-1;,x_2=-frac ca
Nếu
a
c
<
0
displaystyle ac<0
(tức a và c trái dấu nhau) thì phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.
- Phương trình
Phương trình tuyến tính
Hàm số số 1
Hàm số bậc hai
Phương trình bậc ba
Phương trình bậc bốn
Phương trình bậc năm
Lý thuyết cơ bản của đại số
Đường cong bậc hai
Mặt bậc hai
^ Protters & Morrey: " Calculus and Analytic Geometry. First Course" ^ a b c Washington, Allyn J. (2000). Basic Technical Mathematics with Calculus, Seventh Edition. Addison Wesley Longman, Inc. ISBN 0-201-35666-X. ^ Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Ewing, John H. (1991), Numbers, Graduate Texts in Mathematics, 123, Springer, tr. 77, ISBN 9780387974972. ^ Sterling, Mary Jane (2010), Algebra I For Dummies, Wiley Publishing, tr. 219, ISBN 978-0-470-55964-2 ^ Rich, Barnett; Schmidt, Philip (2004), Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra, The McGraw-Hill Companies, ISBN 0-07-141083-X, Chapter 13 §4.4, p. 291 ^ Himonas, Alex. Calculus for Business and Social Sciences, p. 64 (Richard Dennis Publications, 2001). ^ Kahan, Willian (ngày 20 tháng 11 năm 2004), On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic (PDF), truy cập ngày 25 tháng 12 năm 2012 ^ Alenit͡syn, Aleksandr and Butikov, Evgeniĭ. Concise Handbook of Mathematics and Physics, p. 38 (CRC Press 1997) ^ Δ is the initial of the Greek word Διακρίνουσα, Diakrínousa, discriminant. ^ Achatz, Thomas; Anderson, John G.; McKenzie, Kathleen (2005). Technical Shop Mathematics. Industrial Press. tr. 277. ISBN 0-8311-3086-5. ^ Wharton, P. (2006). Essentials of Edexcel Gcse Math/Higher. Lonsdale. tr. 63. ISBN 978-1-905-129-78-2. ^ Friberg, Jöran (2009). “A Geometric Algorithm with Solutions to Quadratic Equations in a Sumerian Juridical Document from Ur III Umma”. Cuneiform Digital Library Journal. 3. ^ a b Stillwell, John (2004). Mathematics and Its History (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-95336-1. ^ The Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East. Cambridge University Press. 1971. tr. 530. ISBN 978-0-521-07791-0. ^ Henderson, David W. “Geometric Solutions of Quadratic and Cubic Equations”. Mathematics Department, Cornell University. Truy cập ngày 28 tháng 4 năm 2013. ^ a b Aitken, Wayne. “A Chinese Classic: The Nine Chapters” (PDF). Mathematics Department, California State University. Truy cập ngày 28 tháng 4 năm 2013. ^ Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 380. ISBN 978-0-486-20430-7. ^ Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics, Volume 1. Courier Dover Publications. tr. 134. ISBN 0-486-20429-4. Extract of page 134 ^ a b c d Katz, V. J.; Barton, B. (2006). “Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching”. Educational Studies in Mathematics. 66 (2): 185–201. doi:10.1007/s10649-006-9023-7. ^ a b Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach, rev. editor (1991). A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Arabic mathematics: forgotten brilliance?”, Dữ liệu Lịch sử Toán học MacTutor, Đại học St. Andrews "Algebra was a unifying theory which allowed rational numbers, irrational numbers, geometrical magnitudes, etc., to all be treated as "algebraic objects"." ^ Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 148, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan sửa đổi và biên tập (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics, Springer, ISBN 1-4020-0260-2 ^ Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 280. ISBN 978-0-486-20429-1. ^ Livio, Mario (2006). The Equation that Couldn't Be Solved. Simon & Schuster. ISBN 0743258215. ^ Ronan, Colin (1985). The Shorter Science and Civilisation in China. Cambridge University Press. tr. 15. ISBN 978-0-521-31536-4. ^ Struik, D. J.; Stevin, Simon (1958), The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics (PDF), II–B, C. V. Swets & Zeitlinger, tr. 470 ^ Heaton, H (1896). “A Method of Solving Quadratic Equations”. American Mathematical Monthly. 3 (10): 236–237. doi:10.2307/2971099. JSTOR 2971099.
- Quadratic Equation Solver
Solve Quadratic equations, see work shown and draw graphs
