Mẹo Hướng dẫn Ứng dụng của phương trình đạo hàm riêng 2022
Khoa Minh Hoàng đang tìm kiếm từ khóa Ứng dụng của phương trình đạo hàm riêng được Cập Nhật vào lúc : 2022-06-04 06:50:06 . Với phương châm chia sẻ Kinh Nghiệm về trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết Mới Nhất. Nếu sau khi đọc nội dung bài viết vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comment ở cuối bài để Mình lý giải và hướng dẫn lại nha.
Tên đề tài luận án: Một số phương trình với đạo hàm cấp không nguyên Ngành: Toán giải tích Mã số ngành: 9460102 Họ tên nghiên cứu và phân tích sinh: Trần Bảo Ngọc Khóa đào tạo: 2022 Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Huy Tuấn Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên- ĐHQG.Hồ Chí Minh 1. Tóm tắt luận án Kết quả của luận án này được tổng hợp từ 3 bài báo đã công bố trên những tạp chí Journal of Inverse and Ill-posed Problems, Computers and Mathematics with Applications, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, và được phân thành 3 chương chính sau đây - Chương 1: Bài toán biên một bên cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên. Bài toán này được chỉ ra không chỉnh theo nghĩa Hadamard, và được đề xuất chỉnh hóa bằng phương pháp chặt cụt Fourier. Kết quả chính của chương này là đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm đúng chuẩn trong - Chương 2: Bài toán giá trị cuối phi địa phương cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên. Kết quả chính của chương này là sự việc tồn tại nghiệm tích phân cho bài toán trong không khí thông qua định lý điểm bất động Krasnoselskii. - Chương 3: Bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên. Kết quả chính của chương này là sự việc tồn tại nghiệm tích phân trong không khí tích . Hơn nữa, việc áp dụng kết quả chính thu được sự tồn tại nghiệm tích phân của một lớp bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình tích phân Volterra với đạo hàm, tích phân cấp không nguyên. 2. Những kết quả mới của luận án Luận án chứa được nhiều kết quả mới, mạnh hơn những kết quả đã có, và được công bố trên những tạp chí khoa học uy tín trên thế giới. Luận án này đưa ra những kết quả mới sau: - Chỉ ra sự không chỉnh, đề xuất phương pháp chặt cụt Fourier chỉnh hóa bài toán biên một bên cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên. Như đã biết, những bài toán không chỉnh chứa hàm nguồn phi tuyến luôn là những bài toán hóc búa và khó xử lý. - Xây dựng những tính chất compact trong không khí , và thiết lập sự tồn tại nghiệm tích phân cho bài toán điều kiện cuối phi địa phương với đạo hàm cấp không nguyên thông qua định lý điểm bất động Krasnoselskii. - Thiết lập được sự tồn tại nghiệm tích phân của bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên trong trường hợp Giải quyết một lớp bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình tích phân Volterra tương ứng. 3. Các ứng dụng/ kĩ năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu và phân tích Trong tương lai, chúng tôi sẽ mở rộng nghiên cứu và phân tích theo những hướng sau - Hướng 1: Khảo sát sự tồn tại, tính chính qui hóa nghiệm cho những bài toán giá trị biên/giá trị đầu/giá trị cuối/điều kiện phi địa phương với những đạo hàm cấp không nguyên theo cả biến thời gian và không khí. - Hướng 2: Khảo sát sự tồn tại nghiệm cổ xưa, tính chất tắt dần, bùng nổ... của nghiệm cho những bài toán giá trị biên/giá trị đầu/giá trị cuối/điều kiện phi địa phương với những đạo hàm cấp không nguyên theo cả biến thời gian và không khí. - Hướng 3: Mở rộng hai hướng nghiên cứu và phân tích trên cho những loại đạo hàm cấp không nguyên có nhiều ứng dụng trong khoa học kỹ thuật. Ngoài ra, khảo sát thêm những bài toán mở với đạo hàm cấp nguyên theo chủ đề của luận án. - Hướng 4: Nghiên cứu những hướng 1 và 2 ở trên cho những phương trình vi phân - đạo hàm riêng ngẫu nhiên.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN THỊ THƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÔNG KHÍ VÀ Ô NHIỄM MÔI TRƢỜNG NƢỚC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới những thầy cô giáo, đặc biệt là Tiến sỹ Nguyễn Văn Hùng người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn toàn có thể hoàn thành xong luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, những thầy cô giáo, cán bộ, nhân viên cấp dưới trường Đại học Sư phạm Tp Hà Nội Thủ Đô 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập tại trường. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới mái ấm gia đình, bạn bè đã luôn động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành xong luận văn. Tp Hà Nội Thủ Đô, tháng 11 năm 2014 Tác giả Trần Thị Thương Lời cam kết Qua thuở nào gian học tập và nghiên cứu và phân tích luận văn này là kết quả của tôi đã đạt được dưới sự giúp sức chỉ bảo tận tình của Tiến sỹ Nguyễn Văn Hùng. Trong quá trình nghiên cứu và phân tích luận văn này tôi có tham khảo một số trong những tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Tôi xin cam kết nội dung đề tài “Ứng dụng của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng trong bài toán ô nhiễm không khí và ô nhiễm môi trường tự nhiên thiên nhiên nước” không còn sự trùng lặp với những đề tài khác. Tp Hà Nội Thủ Đô, tháng 11 năm 2014 Tác giả Trần Thị Thương MỤC LỤC Lời cảm ơn ............................................................................................................. Lời cam kết ......................................................................................................... Mở đầu ................................................................................................................. 1 Chƣơng1. Kiến thức sẵn sàng sẵn sàng ............................................................................ 3 1.1. Phương trình vi phân thường ......................................................................... 3 1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 .................................................. 3 1.1.2. Phương trình Becnuli ............................................................................ 4 1.1.3. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất cấp n với thông số là hằng số ............................................................................... 5 1.2. Phương trình vi phân đạo hàm riêng .............................................................. 7 1.2.1. Các định nghĩa ...................................................................................... 7 1.2.2. Phương trình truyền nhiệt ..................................................................... 8 1.3. Một số khái niệm cơ bản của quy mô hóa môi trường tự nhiên thiên nhiên ............................... 10 Chƣơng 2. Ứng dụng của phƣơng trình vi phân và phƣơng trình đạo hàm riêng trong giải bài toán ô nhiễm không khí .......................................... 12 2.1. Mô hình hóa không khí theo phương pháp Gauss ....................................... 12 2.1.1. Phương trình cơ bản để tính nồng độ chất ô nhiễm trong không khí ....... 12 2.1.2. Mô hình Gauss tính toán Viral chất ô nhiễm không khí ............. 18 2.1.3. Môt số bài toán về quy mô Gauss ...................................................... 26 2.2. Mô hình hóa không khí theo phương pháp Berliand ................................... 43 2.2.1. Sự phân bố chất ô nhiễm và phương trình toán học cơ bản ............... 43 2.2.2. Công thức Berliand trong trường hợp chất khí và bụi nặng ............... 45 2.2.3. Công thức Berliand trong trường hợp lặng gió................................... 47 2.2.4. Một số bài toán về quy mô Berliand .................................................. 48 Chƣơng 3. Ứng dụng của phƣơng trình vi phân và phƣơng trình đạo hàm riêng trong giải bài toán ô nhiễm nƣớc .................................................. 63 3.1. Các định nghĩa.............................................................................................. 63 3.2. Mô hình Streeter – Phelps ............................................................................ 64 3.2.1. Cách tiếp cận cân đối vật chất .......................................................... 64 3.2.2. Độ thiếu hụt Oxy ................................................................................. 65 3.2.3. Phương trình diễn tiến DO .................................................................. 67 3.3. Bài toán ứng dụng quy mô Streeter – Phelps.............................................. 70 Kết luận ............................................................................................................... 86 Tài liệu tham khảo ............................................................................................... 87 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Ô nhiễm môi trường tự nhiên thiên nhiên sống là vấn đề rất quan trọng mang tính chất chất chất toàn cầu. Đặc biệt là ô nhiễm không khí. Những hậu quả của sự việc ô nhiễm mang lại cho con người là rất nghiêm trọng. Trong quá trình học tập và nghiên cứu và phân tích về phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng, qua quá trình tìm hiểu những bài toán thực tế tôi đã rằng đây là một ngành có nhiều ứng dụng. Đặc biệt là ứng dụng của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng để xử lý và xử lý bài toán ô nhiễm không khí và nước. Với mong ước đó, nhờ việc giúp sức hướng dẫn tận tình của Tiến sỹ Nguyễn Văn Hùng tôi đã mạnh dạn chọn và nghiên cứu và phân tích đề tài: “Ứng dụng của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng trong bài toán ô nhiễm không khí và ô nhiễm môi trường tự nhiên thiên nhiên nước”. Luận văn tìm hiểu về: Mô hình ô nhiễm không khí theo phương pháp Gauss và phương pháp Berliand. Mô hình ô nhiễm nước theo Streeter – Phelps. 2. Mục đích nghiên cứu và phân tích Nghiên cứu ứng dụng của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng trong vấn đề ô nhiễm không khí và ô nhiễm nước. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu và phân tích Mô hình ô nhiễm không khí theo phương pháp Gauss và phương pháp Berliand.Mô hình chất lượng nước. 2 4. Đối tƣơng nghiên cứu và phân tích và phạm vi nghiên cứu và phân tích Đối tượng nghiên cứu và phân tích: Ứng dụng của phương trình vi phân vào những bài toán về ô nhiễm không khí và chất lượng nước. Phạm vi nghiên cứu và phân tích: Phương trình vi phân, và ứng dụng của phương trình vi phân vào những bài toán về ô nhiễm môi trường tự nhiên thiên nhiên. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu và phân tích Phương pháp nghiên cứu và phân tích của phương trình vi phân. Phương pháp nghiên cứu và phân tích của khoa học môi trường tự nhiên thiên nhiên. 6. Những đóng góp mới của luận văn Trình bày một cách có khối mạng lưới hệ thống một số trong những ứng dụng của phương trình vi phân thông qua những quy mô toán học trong việc xử lý và xử lý những bài toán ô nhiễm không khí và nước. 3 CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phƣơng trình vi phân thƣờng 1.1.1 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng: dy p( x). y q( x) ( p x , q x là những hàm liên tục) dx (1.1) Phương pháp giải. Bước 1: Xét phương trình trình tuyến tính thuần nhất: dy p( x). y 0 dx (1.2) Trường hợp 1: y = 0 là nghiệm của (1.2) Trường hợp 2: Xét y ≠ 0,(1.2) p ( x ) dx dy p( x). y y e C dx p ( x ) dx C được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) Nghiệm y e Bước 2: Ta coi C = C(x) khi đó ta có: p ( x ) dx p ( x ) dx ye C ye C ( x) p ( x ) dx dy d (C ( x)) p ( x ) dx p( x)dx e C ( x) e dx dx p ( x ) dx dy d (C ( x)) p ( x ) dx p( x)e C ( x) e dx dx Thay (1.3) và (1.4) vào (1.1) ta được: (1.3) (1.4) 4 p ( x ) dx p ( x ) dx d (C ( x)) p ( x ) dx p ( x )e C ( x) e p( x).C ( x)e q ( x) dx p ( x ) dx p ( x ) dx d (C ( x)) e q ( x) C ( x) e q( x) C1 dx Thay vào (1.4) ta được y (q( x)e p ( x ) dx p ( x ) dx là nghiệm tổng C1 ).e quát của phương trình (1.1). 1.1.2 Phƣơng trình Becnuli. Định nghĩa. Phương trình Becnuli là phương trình có dạng: dy p( x). y q( x). y dx (1.5) Phương pháp giải. Trường hợp 1: 0 phương trình (1.5) là phương trình tuyến tính cấp 1. Trường hợp 2: 1 phương trình (1.5) trở thành: dy dy q ( x) p ( x) y q( x) p( x) dx dx y Đây là phương trình tuyến tính thuần nhất Trường hợp 3: 0 ; 1 Giả sử y ≠ 0. Ta chia cả hai vế cho y ta được Đặt z y1 1 dy y p( x) q( x) y dx y dz dy 1 dy (1 ) y y (1 ) y dx dx y dx 1 dz Phương trình (1.5) trở thành : p( x).z q( x) 1 dx Phương trình (1.6) là phương trình tuyến tính cấp một. (1.6) 5 1.1.3 Phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất cấp n với thông số là hằng số * Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp n với thông số hằng số Định nghĩa. Là phương trình có dạng: ai const y ( n) an1 y ( n1) ... a0 y 0, (1.7) Phương pháp giải. Xét phương trình k n an1k n1 ... a0 0 (1.8) Phương trình (1.8) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.7). Ta đi giải (1.8) trên trường số phức. Giả sử trên trường này phương trình (1.8) có n nghiệm k1, k2 ,, kn Trường hợp 1: k1, k2 ,, kn R , k i k j i j Các nghiệm riêng của phương trình (1.7) là: y1 ek1x , y2 ek2 x ,...., yn ekn x n y c je kjx là nghiệm tổng quát của phương trình (1.7). j 1 Trường hợp 2: Phương trình (1.8) có một nghiệm kj nào đó là nghiệm thực bội s (s 1). Ứng với những kj ta có những nghiệm riêng của (1.7) như sau: y j e j , y j 1 xe j ,..., y j s1 x s1e k x k x kjx Từ đó suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (1.7). Trường hợp 3: Phương trình (1.8) có một nghiệm kj nào đó là nghiệm phức k j j i j . Khi đó ứng với những kj ta có những nghiệm riêng của phương jx trình (1.7) như sau: y j e jx cos j x, y j 1 e sin j x . 6 Từ đó suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (1.7). Trường hợp 4: Phương trình (1.8) có một k j j i j nào đó là nghiệm phức bội s ( s 1 ). Ứng với những kj ta có những nghiệm riêng của phương trình (1.7) như sau: jx cos j x, y j 1 xe jx sin j x, y j 1 xe yj e yj e jx cos j x,...., y j s 1 x s 1e jx jx sin j x,...., y j s 1 x s 1e jx cos j x sin j x Từ đó suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (1.7) * Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp n với thông số hằng số Định nghĩa. Là phương trình có dạng: y n an 1y n 1 ... a1y a0y f x , ai const (1.9) Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng của (1.7) là k n an1k n1 ... a0 0 Để tìm nghiệm tổng quát của (1.9) ta tìm một nghiệm riêng y* của phương trình (1.9) như sau: Trường hợp 1: Nếu f(x) có dạng f ( x) e x Pn ( x) Nếu không là nghiệm đặc trưng của phương trình (1.8) thì y* có dạng: y* e x Pn ( x) ; trong đó Pn ( x) là đa thức bậc n. Nếu là nghiệm bội s ( s 1 ) của phương trình đặc trưng (1.8) thì y* có dạng: y* x s e x Pn ( x) Trường hợp 2: Nếu f(x) có dạng: f ( x) e x ( Pn ( x)cos x Qn ( x)sin x) 7 Nếu i không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.8) thì y* có dạng: y* e x ( Pn ( x)cos x Qn ( x) sin x) Nếu i là nghiệm bội (s 1) của phương trình đặc trưng (1.8) thì y* có dạng: y* x s e x Pn ( x)cos ( x) Qn ( x)sin ( x) 1.2 Phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng 1.2.1 Các định nghĩa Phương trình đạo hàm riêng cấp k đối với hàm phải tìm có dạng: u u u 2u 2u ku ku F x 1, x 2,...x n , , ,..., , 2, ,..., k ,..., k ... 0 x x x x x x x 1 x n 1 2 n 1 1 2 Trong số đó: u u x 1, x 2,..., x n là nghiệm của hàm cần tìm. F là hàm nhiều biến, x x1, x2, , x n n ; Cấp của phương trình đạo hàm riêng là bậc cao nhất của những đạo hàm riêng có trong phương trình. Phương trình đạo hàm riêng là tuyến tính nếu nó có dạng: Lu a 0 x u m k1 ,k2 ,...,kn k1 k2 ...kn m k1 ,k2 ,...,kn ak x ku b x k x 1...x n n Phương trình đạo hàm riêng là tuyến tính thuần nhất nếu Lu = 0 Nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng là hàm mà khi thay nó cho giá trị của ẩn hàm trong phương trình ta nhận được đồng nhất thức. 8 1.2.2 Phƣơng trình truyền nhiệt Phương trình truyền nhiệt trong vật thể đẳng hướng không thuần nhất có dạng: u u u u k k k F x, y, z, t 0 t x x y y z z (1.10) Trong số đó: Hàm u u x, y, z, t là nhiệt độ của vật thể rắn tại x, y, z và thời điểm t. V là thể tích vật thể số lượng giới hạn bởi mặt kín trơn S. x, y, z là nhiệt dung. x, y, z là tỷ khối của thế vật thể tại x, y, z . F x, y, z, t là tỷ lệ nguồn nhiệt trong vật thể tại x, y, z và tại thời điểm t ( Nhiệt lượng tỏa ra hay mất đi trong một đơn vị thể tích và đơn vị thời gian). k >0 là thông số truyền nhiệt phụ thuộc vào x, y, z . Với vật thể thuần nhất thì γ, ρ, k là hằng số và phương trình trên trở thành: 2 u 2u 2u 2 u a 2 2 2 f x , y, z, t t y z x a k ; f x , y, z, t F x, y, z, t (1.11) 9 Nếu trong vật thể không còn nguồn nhiệt nghĩa là F x, y, z, t 0 , phương trình (1.11) trở thành: 2u 2u 2u u a2 2 2 2 t y z x (1.12) Nếu nhiệt độ chỉ phụ thuộc x, y, t ví dụ điển hình xét sự truyền nhiệt trong bản 2 u 2u 2 u phẳng mỏng dính thì (1.12) sẽ là: a 2 2 t y x (1.13) Nếu nhiệt độ chỉ phụ thuộc x, t ví dụ điển hình xét sự truyền nhiệt trong thanh 2 u 2 u thẳng, mỏng dính thì (1.13) sẽ là: a t x 2 Điều kiện đầu của phương trình truyền nhiệt chỉ rõ sự phân bố nhiệt độ tại thời điểm đầu t = 0: u x, y, z, 0 x, y, z Điều kiện biên của phương trình truyền nhiệt chỉ rõ chính sách trên biên: u x, y, z, t x ,y ,z S x, y, z, t Điều kiện hỗn hợp là gồm có cả điều kiện đầu lẫn điều kiện biên Phương trình truyền nhiệt trong môi trường tự nhiên thiên nhiên đẳng hướng và không còn 2 u 2u 2u 2 u nguồn nhiệt có dạng: a 2 2 2 t y z x Giả sử sau thuở nào gian nào đấy, nhiệt độ trong môi trường tự nhiên thiên nhiên ổn định, nghĩa là u x, y, z, t không phụ thuộc thời gian, tức ta có u 0 t 2u 2u 2u Khi đó ta có phương trình Laplace sau: 0 x 2 y 2 z 2 10 1.3 Một số khái niệm cơ bản của quy mô hóa môi trƣờng Các thành phần trong quá trình quy mô hóa môi trường tự nhiên thiên nhiên gồm có. * Biến trạng thái Là biến mô tả tình trạng của hệ sinh thái. Việc lựa chọn biến trạng thái cho cấu trúc của quy mô là rất quan trọng và phụ thuộc vào tiềm năng. Thí dụ, nếu tất cả chúng ta muốn quy mô hóa sự tích lũy sinh học của độc chất, khi đó cần lấy những biến trạng thái là những sinh vật trong những chuỗi thức ăn quan trọng và nồng độ những chất độc trong khung hình sinh vật. * Hàm điều khiển Là hàm số của những biến đặc tính bên phía ngoài có ảnh hưởng đến tình trạng của hệ sinh thái. Nếu hàm điều khiển nằm trong tầm trấn áp thì được gọi là hàm trấn áp. Ví dụ, trong những quy mô độc học viên thái, những hàm trấn áp là những chất độc đầu vào hệ sinh thái. Trong quy mô phú dưỡng thì hàm trấn áp là những chất dinh dưỡng đầu vào. Những hàm điều khiển khác cần để ý quan tâm là những biến khí hậu có ảnh hưởng đến thành phần hữu sinh và vô sinh cũng như đến tỷ lệ những quá trình xảy ra trong một hệ sinh thái. Đây là hàm điều khiển nhưng không phải là những hàm trấn áp. * Phương trình toán học Phương trình toán được sử dụng để màn biểu diễn những quá trình sinh học, hóa học và vật lý. Chúng mô tả quan hệ giữa hàm điều khiển và biến trạng thái. Cùng một quá trình hoàn toàn có thể có tìm thấy trong nhiều ngữ cảnh môi trường tự nhiên thiên nhiên khác nhau, điều này nghĩa là cùng một phương trình hoàn toàn có thể được sử dụng trong nhiều quy mô rất khác nhau. Tuy nhiên, điều này sẽ không nghĩa là cùng một quá 11 trình sẽ luôn luôn luôn được màn biểu diễn bằng cùng một phương trình. Quá trình đang xét hoàn toàn có thể được mô tả tốt hơn khi sử dụng phương trình toán có lưu ý tới ảnh hưởng của những tác nhân rõ ràng. Thứ hai, mức độ rõ ràng nên phải có trong quy mô hoàn toàn có thể là rất khác nhau trong những trường hợp rất khác nhau, điều này phụ thuộc vào sự khác lạ về tính phức tạp của khối mạng lưới hệ thống hay của bài toán. * Các tham số Là những thông số trong những phương trình toán màn biểu diễn quá trình. Chúng hoàn toàn có thể được xem là hằng số đối với một hệ sinh thái đặc biệt hoặc một phần của hệ sinh thái. Tuy nhiên kiến thức và kỹ năng về những tham số còn hạn chế, là một trong những điểm yếu nhất trong quá trình quy mô hóa. Hơn nữa, việc áp dụng những tham số là hằng số trong những quy mô môi trường tự nhiên thiên nhiên là không thực tế do có rất nhiều phản ứng trong một hệ sinh thái thực. Tính thường xuyên thay đổi của một hệ sinh thái xích míc với việc áp dụng những thông số là hằng số cho những quy mô. * Các hằng số Thí dụ như hằng số khí và trọng lượng nguyên tử, cũng khá được sử dụng trong hầu hết những quy mô. 12 CHƢƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÔNG KHÍ 2.1 Mô hình hóa không khí theo phƣơng pháp Gauss 2.1.1 Phƣơng trình cơ bản để tính nồng độ chất ô nhiễm trong không khí Khi mô tả quá trình khuyếch tán chất ô nhiễm trong không khí bằng mô hình toán học thì mức độ ô nhiễm không khí thường được đặc trưng bằng trị số nồng độ chất ô nhiễm phân bố trong không khí và biến hóa theo thời gian. Trong trường hợp tổng quát, trị số trung bình của nồng độ ô nhiễm trong không khí phân bố theo thời gian và không khí được mô tả từ phương trình chuyển tải vật chất (hay là phương trình truyền nhiệt) có biến hóa hoá học đầy đủ như sau: C C C C C C C u v w kx ky kz t x y z x x y y z z C C C wc z (2.1) Trong số đó: C x, y, z : Nồng độ chất ô nhiễm trong không khí, x, y, z 3 t: Thời gian. kx , ky , kz : Các thành phần của thông số khuyếch tán rối theo những trục Ox, Oy, Oz. u, v, w : Các thành phần vận tốc gió theo trục Ox, Oy, Oz. wc: Vận tốc lắng đọng của những chất ô nhiễm 13 : Hệ số link của chất ô nhiễm với những phần tử khác của môi trường tự nhiên thiên nhiên không khí. : Hệ số biến hóa chất ô nhiễm thành những chất khác do những quá trình phản ứng hoá học xảy ra trên đường Viral. Tuy nhiên phương trình (2.1) rất phức tạp nó là hình thức mô phỏng sự lan truyền ô nhiễm. Thực tế để giải phương trình này người ta phải tiến hành đơn giản hoá trên cơ sở thừa nhận 1 số điều kiện gần đúng bằng phương pháp đưa ra những giả thuyết phù phù phù hợp với điều kiện rõ ràng sau: Nếu hướng gió trùng với trục Ox thì thành phần tốc độ gió chiếu lên trục Oy sẽ bằng 0, nghĩa là v = 0. Tốc độ gió thẳng đứng thường nhỏ hơn rất nhiều so với tốc độ gió nên có thể bỏ qua, nghĩa là w = 0. Trong nhiều trường hợp, nếu xét bụi nhẹ thì Ws = 0 (trong trường hợp bụi nặng thì lúc đó ta sẽ cho ws 0). Nếu bỏ qua hiện tượng kỳ lạ biến hóa hoá học (chuyển pha) của chất ô nhiễm cũng như không xét đến chất ô nhiễm được tương hỗ update trong quá trình khuyếch tán thì 0 . Như vậy sau những giả thiết và đồng ý 1 số điều kiện gần đúng thì phương trình (2.1) được viết dưới dạng là: C C C C u ky kz t x y y z z (2.2) Nếu giả sử rằng những thông số k y , k z là không đổi thì phương trình (2.2) được viết lại là : C C 2C 2C u k y 2 kz 2 t x y z (2.3) 14 Trong trường hợp không tính đến thành phần phi tuyến u trình (2.3) được viết là: C thì phương x C 2C 2C k y 2 kz 2 t y z (2.4) Phương trình (2.4) là phương trình truyền nhiệt 2 chiều. Tuỳ theo điều kiện ban đầu và điều kiện biên mà ta có những nghiệm giải tích rất khác nhau. Để tìm nghiệm giải tích phương trình (2.4), ta xét bài toán truyền nhiệt 1 chiều sau: 2 u 2 u a t x 2 x , t = 0 (2.5) Điều kiện ban đầu: u x, t x , x : là một hàm liên tục Đặt u x, t X x T t u X t T t XT t u 2u T x X t TX TX x x 2 Thay vào phương trình (2.5) ta được: XT a 2 X T Hay X T 2 2 const X aT (2.6) Suy ra X 2 X 0 (2.7) T a 2 2T 0 (2.8) Giải phương trình (2.7) 15 Phương trình đặc trưng: k 2 2 0 k i Nghiệm của phương trình (2.7) là X1 C1ei x , X 2 C2ei x Giải phương trình (2.8) T a 2 2T 0 dT a 2 2 T dT a 2 2 ln T a 2 2t T C3e a t T 2 2 Nghiệm tổng quát của phương trình (2.5) là: u x, t A e a t i x , 2 2 Do x nên ta được hàm số: u x, t A e 2 a 2 t i x d (2.9) Nếu những đạo hàm của phương trình (2.5) hoàn toàn có thể tính được bằng phương pháp vi phân hàm dưới dấu tích phân (2.9) thì có nghĩa phương trình (2.9) sẽ thoả mãn phương trình (2.5) hay phương trình (2.9) sẽ là nghiệm của phương trình (2.5). Điều kiện ban đầu t = 0 : u x, 0 Đặt: x A e A e d i x d i x Tính tích phân Fourier ngược ứng với hàm số x ta được: 1 A 2 e i d ( tức là F 1 A ) (2.10)
