Mẹo Hướng dẫn Cho hàm số yxx sin xác định nào sau đây là xác định đúng Chi Tiết
Hoàng Gia Trọng Phúc đang tìm kiếm từ khóa Cho hàm số yxx sin xác định nào sau đây là xác định đúng được Cập Nhật vào lúc : 2022-12-08 18:16:08 . Với phương châm chia sẻ Kinh Nghiệm Hướng dẫn trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi đọc Post vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comments ở cuối bài để Tác giả lý giải và hướng dẫn lại nha.
I. Tính đơn điệu của hàm số
1. Nhắc lại định nghĩa
- Định nghĩa:
Kí hiệu K là khoảng chừng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng chừng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) to hơn f(x2), tức là
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:
a) f(x) đồng biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1>0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2).
f(x) nghịch biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1< 0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2).
b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
- Định lí:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
- Chú ý:
Nếu f’(x) = 0 với ∀x∈K thì f(x) không đổi trên K.
Ví dụ 1. Tìm những khoảng chừng đơn điệu của hàm số
a) y = x2 + 2x – 10;
b) y=x+ 52x-3.
Lời giải:
a) Hàm số đã cho xác định với mọi x∈R.
Ta có đạo hàm y’ = 2x + 2
Và y’ = 0 khi x = – 1.
Lập bảng biến thiên:
x
-∞
– 1
+∞
f’(x)
–
0
+
f(x)
– 11
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng chừng (-1;+∞) và nghịch biến trên khoảng chừng (-∞;-1).
b) y=x+ 52x-3
Hàm số đã cho xác định với ∀x≠32
Ta có: y'=-13(2x-3)2<0∀x≠32
Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng chừng (-∞;32) và (32;+∞).
- Chú ý:
Ta có định lí mở rộng sau đây:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x)≥0(f'(x)≤0);∀x∈K
Và f’(x) = 0 chỉ tại một số trong những hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.
Ví dụ 2. Tìm những khoảng chừng đơn điệu của hàm số y = x3 – 6x2 + 12x – 10.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x∈R.
Ta có: y’ = 3x2 – 12x + 12 = 3(x – 2)2
Do đó; y’ = 0 khi x = 2 và y’ > 0 với ∀x≠2.
Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên (mathbbR).
II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
1. Quy tắc
- Bước 1. Tìm tập xác định.
- Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm những điểm xi ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Bước 3. Sắp xếp những điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
- Bước 4. Nêu kết luận về những khoảng chừng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
2. Áp dụng
Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = 4x3 – 4x
y’ = 0 ⇔[x=0x=±1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (– 1; 0) và (1;+∞)
Hàm số nghịch biến trên (-∞;-1) và (0; 1).
Ví dụ 4. Cho hàm số y=-x3+6x2- 9x+ 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9
Và y’ = 0 ⇔[x= 1x= 3
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3); nghịch biến trên (-∞; 1) và (3;+∞).
Page 2
I. Tính đơn điệu của hàm số
1. Nhắc lại định nghĩa
- Định nghĩa:
Kí hiệu K là khoảng chừng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng chừng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) to hơn f(x2), tức là
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:
a) f(x) đồng biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1>0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2).
f(x) nghịch biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1< 0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2).
b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
- Định lí:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
- Chú ý:
Nếu f’(x) = 0 với ∀x∈K thì f(x) không đổi trên K.
Ví dụ 1. Tìm những khoảng chừng đơn điệu của hàm số
a) y = x2 + 2x – 10;
b) y=x+ 52x-3.
Lời giải:
a) Hàm số đã cho xác định với mọi x∈R.
Ta có đạo hàm y’ = 2x + 2
Và y’ = 0 khi x = – 1.
Lập bảng biến thiên:
x
-∞
– 1
+∞
f’(x)
–
0
+
f(x)
– 11
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng chừng (-1;+∞) và nghịch biến trên khoảng chừng (-∞;-1).
b) y=x+ 52x-3
Hàm số đã cho xác định với ∀x≠32
Ta có: y'=-13(2x-3)2<0∀x≠32
Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng chừng (-∞;32) và (32;+∞).
- Chú ý:
Ta có định lí mở rộng sau đây:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x)≥0(f'(x)≤0);∀x∈K
Và f’(x) = 0 chỉ tại một số trong những hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.
Ví dụ 2. Tìm những khoảng chừng đơn điệu của hàm số y = x3 – 6x2 + 12x – 10.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x∈R.
Ta có: y’ = 3x2 – 12x + 12 = 3(x – 2)2
Do đó; y’ = 0 khi x = 2 và y’ > 0 với ∀x≠2.
Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên (mathbbR).
II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
1. Quy tắc
- Bước 1. Tìm tập xác định.
- Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm những điểm xi ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Bước 3. Sắp xếp những điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
- Bước 4. Nêu kết luận về những khoảng chừng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
2. Áp dụng
Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = 4x3 – 4x
y’ = 0 ⇔[x=0x=±1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (– 1; 0) và (1;+∞)
Hàm số nghịch biến trên (-∞;-1) và (0; 1).
Ví dụ 4. Cho hàm số y=-x3+6x2- 9x+ 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9
Và y’ = 0 ⇔[x= 1x= 3
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3); nghịch biến trên (-∞; 1) và (3;+∞).
Page 3
I. Tính đơn điệu của hàm số
1. Nhắc lại định nghĩa
- Định nghĩa:
Kí hiệu K là khoảng chừng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng chừng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) to hơn f(x2), tức là
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:
a) f(x) đồng biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1>0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2).
f(x) nghịch biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1< 0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2).
b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
- Định lí:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
- Chú ý:
Nếu f’(x) = 0 với ∀x∈K thì f(x) không đổi trên K.
Ví dụ 1. Tìm những khoảng chừng đơn điệu của hàm số
a) y = x2 + 2x – 10;
b) y=x+ 52x-3.
Lời giải:
a) Hàm số đã cho xác định với mọi x∈R.
Ta có đạo hàm y’ = 2x + 2
Và y’ = 0 khi x = – 1.
Lập bảng biến thiên:
x
-∞
– 1
+∞
f’(x)
–
0
+
f(x)
– 11
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng chừng (-1;+∞) và nghịch biến trên khoảng chừng (-∞;-1).
b) y=x+ 52x-3
Hàm số đã cho xác định với ∀x≠32
Ta có: y'=-13(2x-3)2<0∀x≠32
Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng chừng (-∞;32) và (32;+∞).
- Chú ý:
Ta có định lí mở rộng sau đây:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x)≥0(f'(x)≤0);∀x∈K
Và f’(x) = 0 chỉ tại một số trong những hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.
Ví dụ 2. Tìm những khoảng chừng đơn điệu của hàm số y = x3 – 6x2 + 12x – 10.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x∈R.
Ta có: y’ = 3x2 – 12x + 12 = 3(x – 2)2
Do đó; y’ = 0 khi x = 2 và y’ > 0 với ∀x≠2.
Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên (mathbbR).
II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
1. Quy tắc
- Bước 1. Tìm tập xác định.
- Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm những điểm xi ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Bước 3. Sắp xếp những điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
- Bước 4. Nêu kết luận về những khoảng chừng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
2. Áp dụng
Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = 4x3 – 4x
y’ = 0 ⇔[x=0x=±1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (– 1; 0) và (1;+∞)
Hàm số nghịch biến trên (-∞;-1) và (0; 1).
Ví dụ 4. Cho hàm số y=-x3+6x2- 9x+ 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9
Và y’ = 0 ⇔[x= 1x= 3
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3); nghịch biến trên (-∞; 1) và (3;+∞).
Page 4
I. Tính đơn điệu của hàm số
1. Nhắc lại định nghĩa
- Định nghĩa:
Kí hiệu K là khoảng chừng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng chừng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) to hơn f(x2), tức là
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:
a) f(x) đồng biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1>0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2).
f(x) nghịch biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1< 0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2).
b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
- Định lí:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
- Chú ý:
Nếu f’(x) = 0 với ∀x∈K thì f(x) không đổi trên K.
Ví dụ 1. Tìm những khoảng chừng đơn điệu của hàm số
a) y = x2 + 2x – 10;
b) y=x+ 52x-3.
Lời giải:
a) Hàm số đã cho xác định với mọi x∈R.
Ta có đạo hàm y’ = 2x + 2
Và y’ = 0 khi x = – 1.
Lập bảng biến thiên:
x
-∞
– 1
+∞
f’(x)
–
0
+
f(x)
– 11
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng chừng (-1;+∞) và nghịch biến trên khoảng chừng (-∞;-1).
b) y=x+ 52x-3
Hàm số đã cho xác định với ∀x≠32
Ta có: y'=-13(2x-3)2<0∀x≠32
Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng chừng (-∞;32) và (32;+∞).
- Chú ý:
Ta có định lí mở rộng sau đây:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x)≥0(f'(x)≤0);∀x∈K
Và f’(x) = 0 chỉ tại một số trong những hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.
Ví dụ 2. Tìm những khoảng chừng đơn điệu của hàm số y = x3 – 6x2 + 12x – 10.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x∈R.
Ta có: y’ = 3x2 – 12x + 12 = 3(x – 2)2
Do đó; y’ = 0 khi x = 2 và y’ > 0 với ∀x≠2.
Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên (mathbbR).
II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
1. Quy tắc
- Bước 1. Tìm tập xác định.
- Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm những điểm xi ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Bước 3. Sắp xếp những điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
- Bước 4. Nêu kết luận về những khoảng chừng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
2. Áp dụng
Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = 4x3 – 4x
y’ = 0 ⇔[x=0x=±1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (– 1; 0) và (1;+∞)
Hàm số nghịch biến trên (-∞;-1) và (0; 1).
Ví dụ 4. Cho hàm số y=-x3+6x2- 9x+ 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9
Và y’ = 0 ⇔[x= 1x= 3
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3); nghịch biến trên (-∞; 1) và (3;+∞).
Page 5
I. Tính đơn điệu của hàm số
1. Nhắc lại định nghĩa
- Định nghĩa:
Kí hiệu K là khoảng chừng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng chừng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) to hơn f(x2), tức là
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:
a) f(x) đồng biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1>0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2).
f(x) nghịch biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1< 0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2).
b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
- Định lí:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
- Chú ý:
Nếu f’(x) = 0 với ∀x∈K thì f(x) không đổi trên K.
Ví dụ 1. Tìm những khoảng chừng đơn điệu của hàm số
a) y = x2 + 2x – 10;
b) y=x+ 52x-3.
Lời giải:
a) Hàm số đã cho xác định với mọi x∈R.
Ta có đạo hàm y’ = 2x + 2
Và y’ = 0 khi x = – 1.
Lập bảng biến thiên:
x
-∞
– 1
+∞
f’(x)
–
0
+
f(x)
– 11
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng chừng (-1;+∞) và nghịch biến trên khoảng chừng (-∞;-1).
b) y=x+ 52x-3
Hàm số đã cho xác định với ∀x≠32
Ta có: y'=-13(2x-3)2<0∀x≠32
Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng chừng (-∞;32) và (32;+∞).
- Chú ý:
Ta có định lí mở rộng sau đây:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x)≥0(f'(x)≤0);∀x∈K
Và f’(x) = 0 chỉ tại một số trong những hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.
Ví dụ 2. Tìm những khoảng chừng đơn điệu của hàm số y = x3 – 6x2 + 12x – 10.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x∈R.
Ta có: y’ = 3x2 – 12x + 12 = 3(x – 2)2
Do đó; y’ = 0 khi x = 2 và y’ > 0 với ∀x≠2.
Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên (mathbbR).
II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
1. Quy tắc
- Bước 1. Tìm tập xác định.
- Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm những điểm xi ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Bước 3. Sắp xếp những điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
- Bước 4. Nêu kết luận về những khoảng chừng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
2. Áp dụng
Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = 4x3 – 4x
y’ = 0 ⇔[x=0x=±1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (– 1; 0) và (1;+∞)
Hàm số nghịch biến trên (-∞;-1) và (0; 1).
Ví dụ 4. Cho hàm số y=-x3+6x2- 9x+ 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9
Và y’ = 0 ⇔[x= 1x= 3
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3); nghịch biến trên (-∞; 1) và (3;+∞).
Page 6
I. Tính đơn điệu của hàm số
1. Nhắc lại định nghĩa
- Định nghĩa:
Kí hiệu K là khoảng chừng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng chừng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) to hơn f(x2), tức là
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:
a) f(x) đồng biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1>0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2).
f(x) nghịch biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1< 0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2).
b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
- Định lí:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
- Chú ý:
Nếu f’(x) = 0 với ∀x∈K thì f(x) không đổi trên K.
Ví dụ 1. Tìm những khoảng chừng đơn điệu của hàm số
a) y = x2 + 2x – 10;
b) y=x+ 52x-3.
Lời giải:
a) Hàm số đã cho xác định với mọi x∈R.
Ta có đạo hàm y’ = 2x + 2
Và y’ = 0 khi x = – 1.
Lập bảng biến thiên:
x
-∞
– 1
+∞
f’(x)
–
0
+
f(x)
– 11
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng chừng (-1;+∞) và nghịch biến trên khoảng chừng (-∞;-1).
b) y=x+ 52x-3
Hàm số đã cho xác định với ∀x≠32
Ta có: y'=-13(2x-3)2<0∀x≠32
Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng chừng (-∞;32) và (32;+∞).
- Chú ý:
Ta có định lí mở rộng sau đây:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x)≥0(f'(x)≤0);∀x∈K
Và f’(x) = 0 chỉ tại một số trong những hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.
Ví dụ 2. Tìm những khoảng chừng đơn điệu của hàm số y = x3 – 6x2 + 12x – 10.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x∈R.
Ta có: y’ = 3x2 – 12x + 12 = 3(x – 2)2
Do đó; y’ = 0 khi x = 2 và y’ > 0 với ∀x≠2.
Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên (mathbbR).
II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
1. Quy tắc
- Bước 1. Tìm tập xác định.
- Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm những điểm xi ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Bước 3. Sắp xếp những điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
- Bước 4. Nêu kết luận về những khoảng chừng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
2. Áp dụng
Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = 4x3 – 4x
y’ = 0 ⇔[x=0x=±1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (– 1; 0) và (1;+∞)
Hàm số nghịch biến trên (-∞;-1) và (0; 1).
Ví dụ 4. Cho hàm số y=-x3+6x2- 9x+ 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9
Và y’ = 0 ⇔[x= 1x= 3
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3); nghịch biến trên (-∞; 1) và (3;+∞).
Tải thêm tài liệu liên quan đến nội dung bài viết Cho hàm số yxx sin xác định nào sau đây là xác định đúng