Mẹo về Tìm miền quy tụ của chuỗi lũy thừa x^n 2022
Cao Thị Phương Thảo đang tìm kiếm từ khóa Tìm miền quy tụ của chuỗi lũy thừa x^n được Update vào lúc : 2022-12-03 16:46:05 . Với phương châm chia sẻ Kinh Nghiệm Hướng dẫn trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết Mới Nhất. Nếu sau khi đọc nội dung bài viết vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comment ở cuối bài để Tác giả lý giải và hướng dẫn lại nha.
Chuỗi lũy thừa bắt nguồn từ khai triển Taylor của một hàm khả vi vô hạn
có dạng
.
Các thắc mắc sau cần phải quan tâm:
+ Khi nào chuỗi (1) quy tụ? Nói rõ hơn ngoài chuỗi (1) còn quy tụ tại những điểm nào khác?
+ Trừ ra, nếu chuỗi (1) hội tụ thì nó quy tụ đến đâu? Liệu số lượng giới hạn đó có phải ?
Để trả lời thắc mắc đầu, ta quan sát chuỗi lũy thừa một cách độc lập, chưa phải là chuỗi Taylor của hàm nào,
.
Câu hỏi đầu tiên được trả lời qua hai ý sau:
+ (Định lý Abel) Có một số trong những thực không âm để
– khi chuỗi (2) quy tụ,
– khi chuỗi (2) phân kỳ.
Tại hai đầu mút nói chung ta không biết chuỗi có quy tụ không. Chẳng hạn chuỗi có bán kính quy tụ , quy tụ tại và phân kỳ tại .
Vấn đề tại mút những bạn hoàn toàn có thể tham khảo thêm ở bài
https://bomongiaitich.wordpress.com/2011/04/29/d%E1%BB%8Bnh-ly-abel-d%E1%BB%8Bnh-ly-tauber/
+ Từ ý trên ta có khái niệm bán kính quy tụ. Vậy bán kính quy tụ được tính như nào?
Bán kính quy tụ được tính nhờ công thức Cauchy-Hardamard
– hoặc với ,
– hoặc với .
Lưu ý rằng hai số lượng giới hạn trên chưa chắc tồn tại, tuy nhiên vẫn có bán kính quy tụ. Lúc đó bán kính được tính nhờ công thức
với .
Các bạn hoàn toàn có thể thấy điều này qua ví dụ
có bán kính của chuỗi (2) là .
Bán kính cũng hoàn toàn có thể bằng , ví dụ điển hình khi .
Bán kính cũng hoàn toàn có thể bằng , ví dụ điển hình khi .
Khi bán kính quy tụ thì chuỗi (2) quy tụ đều trên với bất kỳ .
Chuỗi gồm những số hạng là đạo hàm của từng số hạng của chuỗi (2)
cũng luôn có thể có bán kính quy tụ đó đó là bán kính quy tụ của chuỗi (2) vì
.
Khi đó chuỗi những đạo hàm cũng quy tụ đều trên với bất kỳ . Do đó chuỗi những đạo hàm quy tụ đến đạo hàm của chuỗi (2) tại mọi điểm trong . Chuỗi (2) quy tụ đến hàm khả vi trên .
Bằng quy nạp sẽ dẫn đến chuỗi (2) quy tụ đến hàm khả vi vô hạn trên . Đạo hàm cấp , của đó đó là hàm số lượng giới hạn của chuỗi gồm những số hạng là đạo hàm cấp của số hạng tương ứng trong chuỗi (2). Từ đó có chuỗi (2) là khai triển Taylor của hàm .
Giờ ta chuyển sang thắc mắc thứ hai, nghĩa là thời điểm hiện nay chuỗi (2) sinh ra từ việc khai triển Taylor của một hàm khả vi vô hạn và
.
Câu hỏi thứ hai trở thành, khi bán kính quy tụ phải chăng
với ?
Câu hỏi này mới nghe có vẻ như không thiết yếu lắm nhưng những ví dụ sau chỉ ra sự thiết yếu.
Ví dụ 1: Hàm xác định bởi
khi
khi
là hàm khả vi vô hạn và đạo hàm mọi cấp của nó tại đều có mức giá trị bằng .
Ví dụ 2: Hàm xác định bởi
khi
khi
là hàm khả vi vô hạn và đạo hàm mọi cấp của nó tại đều có mức giá trị bằng .
Hai ví dụ trên đều có chuỗi Taylor tại đồng nhất . Nói cách khác hàm và những tổ hợp tuyến tính của chúng là những hàm rất khác nhau nhưng có cùng chuỗi Taylor tại .
Hơn nữa, nếu một hàm có chuỗi Taylor quy tụ đến chính nó thì tổng của và bất kỳ hàm nào trong những hàm hay tổ hợp tuyến tính của hai hàm này còn có cùng chuỗi Taylor với hàm . Khi đó nếu ta chỉ biết chuỗi Taylor của thì ta chưa chắc như đinh nhiều về .
Vậy điều kiện gì để đảm bảo khi ?
Trong cuốn “Giáo trình giải tích tập 2” của những thầy Trần Đức long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn đưa ra hai cách sau:
+(Điều kiện cần và đủ – đơn giản nhưng khó kiểm tra)
với ,
trong đó .
+(Điều kiện đủ – Điều kiện bị chặn đều)
Có số dương để
.
Chứng minh điều kiện này ta dùng điều kiện trên với cách viết của Lagrange cho phần dư
với .
Có thể thấy điều kiện này cho ta thấy ngay chuỗi Taylor của những hàm quy tụ đến chính những hàm này trên toàn đường thẳng.
Ta hoàn toàn có thể dùng điều kiện này kiểm tra sự quy tụ của chuỗi Taylor của hàm tại từng điểm , nhưng tránh việc dùng bán kính quy tụ vì , mà chỉ xét trên tập đủ lớn để chứa .
Ta cũng hoàn toàn có thể làm tốt hơn, nghĩa là giảm nhẹ điều kiện trên
Có số dương để
.
Nếu viết phần dư dưới dạng tích phân
thì ta hoàn toàn có thể có điều kiện khác ví như sau.
Đạo hàm mọi cấp của hàm đều không âm trên .
(Bài 3.4.15 trong “Problems in Mathematical analysis II” của W.J. Kaczor – M.T. Nowak)
Với việc dùng điều kiện này thuận tiện và đơn giản có ngay chuỗi Taylor của hàm quy tụ đến chính hàm này.
Câu hỏi: liệu hoàn toàn có thể thay điều kiện không âm bởi điều kiện không đổi dấu?
Ngoài ra còn vài thắc mắc khác ví dụ điển hình:
– thắc mắc về chuỗi Taylor của tổng hai hàm khả vi vô hạn, tích của hai hàm khả vi vô hạn và (khó hơn) hợp thành của hai hàm khả vi vô hạn?
Với thắc mắc về tổng và tích ta dùng Điều kiện cần và đủ trong sách “Giáo trình giải tích tập 2”.
Với thắc mắc về hợp thành những bạn tham khảo những bài 3.4.16, 17, 18, 19 trong cuốn “Problems in mathematical analysis II”.
Đến lúc ta chuyển sự quan tâm sang chuỗi Fourier, một quan điểm từ hàm phức: chuỗi lũy thừa tại điểm mút!
Ta cũng thử đi in như chuỗi lũy thừa, nghĩa là ban đầu ta quan tâm chuỗi Fourier một cách độc lập
.
Tuy nhiên khác với chuỗi lũy thừa có bán kính quy tụ, chuỗi Fourier không còn bán kính quy tụ! Nói cách khác ta không xem với nào thì chuỗi quy tụ như kiểu chuỗi lũy thừa vì làm điều này khá khó! Giờ ta lại quan tâm đến những thông số .
Dùng Weierstrass hoàn toàn có thể thấy ngay nếu
thì chuỗi (3) quy tụ đều đến một hàm liên tục, tuần hoàn chu kỳ luân hồi .
Một số chuỗi ví dụ điển hình
hoàn toàn có thể thuận tiện và đơn giản kiểm tra bởi điều kiện trên.
Tuy nhiên ta cũng biết chuỗi
quy tụ
tuy nhiên chuỗi
phân kỳ.
Chú ý thêm chuỗi
quy tụ đến khi
(xem bài
https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/05/08/ham-phuc-moi-lien-he-giua-chuoi-fourier-va-chuoi-luy-thua/).
Thác triển lẻ, tuần hoàn chu kỳ luân hồi ta được hàm không liên tục tại .
Tiếp tục chuỗi Fourier-sine ta có một số trong những kết quả thú vị sau.
Bài 2.5.56, 57 (trong “Problems in mathematical analysis III”).
Cho dãy là dãy đơn điệu, quy tụ về . Chuỗi Fourier-sine
quy tụ đến hàm liên tục khi và chỉ khi
.
Chú ý: Nếu chỉ quan tâm đến quy tụ thì dùng Định lý Dirichlet ta không cần điều kiện .
Bài 2.5.58 (trong “Problems in mathematical analysis III”).
Cho dãy là dãy đơn điệu, quy tụ về . Chuỗi Fourier-sine
quy tụ đến hàm bị chặn khi và chỉ khi
(nghĩa là có số để ).
Phần còn sót lại là gì? Có vài ví dụ thực sự bất thần, rất khác so với chuỗi lũy thừa. Như đã biết ở trên khi đã quy tụ thì chuỗi lũy thừa sẽ quy tụ đến một hàm khả vi vô hạn nhận nó là khai triển Taylor.
Các chuỗi
(Problem 1/trang 95 trong “Fourier analysis: An introduction” của E.M. Stein – R. Shakarchi)
hay chuỗi
(Bài 2.5.22, 23 trong “Problems in mathematical analysis III”, ví dụ của P. Fatou)
tuy nhiên đều quy tụ, nhưng chúng đều không là khai triển Fourier của bất kỳ hàm khả tích (Lebesgue) trên .
Bài 2.5.59 trong “Problems in mathematical analysis” lại đã cho tất cả chúng ta biết với chuỗi Fourier-cosine có đôi chút khác ví như sau.
Nếu dãy là dãy giảm về và có tính lồi, nghĩa là
thì có hàm không âm, khả tích trên có khai triển Fourier
.
Trong trường hợp thì, theo Parseval, những chuỗi
và những chuỗi
đều không là chuỗi Fourier của bất kỳ hàm bình phương khả tích trên nào, nói riêng bất kỳ hàm liên tục trên nào.
Sự bất thần ở chuỗi Fourier-sine ở trên dường như đã cho tất cả chúng ta biết cách tiếp cận chuỗi Fourier độc lập với khai triển Fourier của hàm số có gì đó không ổn? Có lẽ nên làm quan sát sự quy tụ của chuỗi Fourier sinh ra từ khai triển Fourier của một hàm đủ tốt?
Trong sách “Giáo trình giải tích II” có đưa ra lớp hàm “khả vi từng khúc”. Có thể thấy sự xuất hiện của lớp hàm này qua việc thác triển tuần hoàn chu kỳ luân hồi của hàm khả vi liên tục trên . Với là hàm tuần hoàn chu kỳ luân hồi , khả vi từng khúc thì chuỗi Fourier
với
,
quy tụ đến ,
với là số lượng giới hạn trái, số lượng giới hạn phải của tại .
Nếu thêm điều kiện liên tục tại thì chuỗi Fourier sẽ quy tụ đến .
Nhưng tại sao lại cần đến tính “khả vi từng khúc” trong khi cứ có hàm liên tục tuần hoàn chu kỳ luân hồi là có chuỗi Fourier!
Khi đưa ra chuỗi Fourier vào năm 1807 trong khu công trình xây dựng “Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides” bản thân J. Fourier cũng đơn giản nhận định rằng chuỗi Fourier của hàm liên tục sẽ quy tụ. Phải đến năm 1873 Paul du Bois Reymond mới đưa ra ví dụ một hàm liên tục có chuỗi Fourier phân kỳ tại một vài điểm.
Một thắc mắc lại được đặt ra, liệu có cách nào khác để từ những thông số Fourier của một hàm liên tục, tuần hoàn chu kỳ luân hồi “Phục hồi” lại được hàm liên tục đó?
Năm 1900, khi đó mới 20 tuổi, L. Fejér có câu vấn đáp xác định cho thắc mắc trên như sau:
Tổng Cesaro
quy tụ đều đến hàm tuần hoàn chu kỳ luân hồi , liên tục trên .
(Bạn đọc hoàn toàn có thể xem
://en.wikipedia.org/wiki/Fej%C3%A9r%27s_theorem)
Từ kết quả trên của L. Fejer, U. Dini đưa ra cách kiểm tra nhẹ hơn điều kiện khả vi từng khúc như sau:
nếu hàm tuần hoàn chu kỳ luân hồi , khả tích thỏa mãn
với là hằng số
thì chuỗi Fourier sẽ quy tụ đến đúng .
Trong trường hợp f khả vi từng khúc thì
.
Từ điều kiện Dini cũng thấy được thêm vài ý sau.
+ Nếu là hàm tuần hoàn chu kỳ luân hồi và
hoặc Lipschitz, nghĩa là có số dương để
,
hoặc Holder cấp , nghĩa là có số dương để
,
thì chuỗi Fourier quy tụ đến đúng .
+ (Mở rộng kết quả trong sách “Giáo trình giải tích II”) Nếu hàm tuần hoàn chu kỳ luân hồi là hàm có biến phân bị chặn trong , nghĩa là
có một số trong những dương để với bất kỳ phân hoạch
thì chuỗi Fourier quy tụ đến .
Ta quay trở lại thắc mắc thứ hai, như của chuỗi lũy thừa, cho chuỗi Fourier:
Khi chuỗi Fourier của một hàm quy tụ thì nó có quy tụ đến chính hàm đó hay là không?
Câu trả lời nằm ngay trong những kết quả ở trên. Kết quả đó lại đã cho tất cả chúng ta biết sự rất khác nhau về chất giữa chuỗi lũy thừa và chuỗi Fourier.
Tải thêm tài liệu liên quan đến nội dung bài viết Tìm miền quy tụ của chuỗi lũy thừa x^n